9. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle ADC$ 的平分线 $DP$ 与边 $AB$ 相交于点 $P$，$E$ 是 $PD$ 的中点，连接 $OE$. 若 $AD = 4$，$CD = 6$，则 $EO$ 的长为
1
.答案：9.1
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD=6$，$AD=BC=4$，$O$为$BD$中点。
∵$DP$平分$\angle ADC$，
∴$\angle ADP=\angle CDP$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle APD=\angle CDP$，
∴$\angle ADP=\angle APD$，
∴$AP=AD=4$，
∴$PB=AB-AP=6-4=2$。
∵$E$是$PD$中点，$O$是$BD$中点，
∴$OE$是$\triangle DPB$的中位线，
∴$OE=\dfrac{1}{2}PB=\dfrac{1}{2}×2=1$。
1
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD=6$，$AD=BC=4$，$O$为$BD$中点。
∵$DP$平分$\angle ADC$，
∴$\angle ADP=\angle CDP$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle APD=\angle CDP$，
∴$\angle ADP=\angle APD$，
∴$AP=AD=4$，
∴$PB=AB-AP=6-4=2$。
∵$E$是$PD$中点，$O$是$BD$中点，
∴$OE$是$\triangle DPB$的中位线，
∴$OE=\dfrac{1}{2}PB=\dfrac{1}{2}×2=1$。
1
10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，且 $\angle DOC = 120^{\circ}$，$AC = 6$，$BD = 4$，则 $AD + BC$ 的最小值是
2$\sqrt{7}$
.答案：
10.2$\sqrt{7}$ 解析:如图，以DA,DB为邻边构造□ADBM,过点C 作CN⊥AM于点N,连接CM,则AM = DB = 4,BM = AD,AM//DB.
∴∠NAC = ∠BOC = 180° - ∠DOC = 60°.
∴在Rt△ANC中,∠ACN = 30°.
∴AN = $\frac{1}{2}$AC = 3.
∴CN = $\sqrt{AC^2 - AN^2}$ = 3$\sqrt{3}$,NM = AM - AN = 1.
∴在Rt△NCM 中,CM = $\sqrt{CN^2 + NM^2}$ = 2$\sqrt{7}$.
∵BM + BC≥CM,
∴AD + BC≥2$\sqrt{7}$,即AD + BC的最小值是2$\sqrt{7}$
10.2$\sqrt{7}$ 解析:如图，以DA,DB为邻边构造□ADBM,过点C 作CN⊥AM于点N,连接CM,则AM = DB = 4,BM = AD,AM//DB.
∴∠NAC = ∠BOC = 180° - ∠DOC = 60°.
∴在Rt△ANC中,∠ACN = 30°.
∴AN = $\frac{1}{2}$AC = 3.
∴CN = $\sqrt{AC^2 - AN^2}$ = 3$\sqrt{3}$,NM = AM - AN = 1.
∴在Rt△NCM 中,CM = $\sqrt{CN^2 + NM^2}$ = 2$\sqrt{7}$.
∵BM + BC≥CM,
∴AD + BC≥2$\sqrt{7}$,即AD + BC的最小值是2$\sqrt{7}$
11. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$E$ 为边 $BC$ 的中点，$DF⊥ AE$ 于点 $F$，$G$ 为 $DF$ 的中点，连接 $CG$，分别延长 $AE$，$DC$ 交于点 $H$. 求证：$CG⊥ DF$.
答案：11.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD,AB//CD.
∴∠B = ∠HCE.
∵E为边BC的中点，
∴BE = CE.在$\begin{cases} ∠B = ∠HCE, \\ BE = CE, \\ ∠AEB = ∠HEC, \end{cases}$
∴△ABE≌△HCE.
∴AB = HC.又
∵AB = CD,
∴CD = HC,即C为DH的中点.
∵G为DF的中点，
∴CG是△DFH的中位线.
∴CG//FH.
∵DF⊥AE,
∴CG⊥DF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD,AB//CD.
∴∠B = ∠HCE.
∵E为边BC的中点，
∴BE = CE.在$\begin{cases} ∠B = ∠HCE, \\ BE = CE, \\ ∠AEB = ∠HEC, \end{cases}$
∴△ABE≌△HCE.
∴AB = HC.又
∵AB = CD,
∴CD = HC,即C为DH的中点.
∵G为DF的中点，
∴CG是△DFH的中位线.
∴CG//FH.
∵DF⊥AE,
∴CG⊥DF
12. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ACB = \angle CAD = 90^{\circ}$，点 $E$ 在 $BC$ 上，$\angle AEB + \angle D = 180^{\circ}$，过点 $E$ 作 $EF⊥ AE$，交边 $AB$ 于点 $F$.
（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；
（2）若 $AE$ 平分 $\angle BAC$，$AF = 5$，$AE = 2\sqrt{5}$，求边 $AD$ 的长.
（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；
（2）若 $AE$ 平分 $\angle BAC$，$AF = 5$，$AE = 2\sqrt{5}$，求边 $AD$ 的长.
答案：12.(1)
∵∠ACB = ∠CAD,
∴AD//BC.
∴∠AEB = ∠EAD.
∵∠AEB + ∠D = 180°,
∴∠EAD + ∠D = 180°.
∴AE//CD.
∴四边形AECD是平行四边形 (2)过点E作EH⊥AB于点H,则∠AHE = ∠ACB = 90°.
∵AE平分∠BAC，
∴EC = EH.
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD = EC,即AD = EC = EH.在Rt△AEF中,∠AEF = 90°,
∴由勾股定理，可得EF^2 + AE^2 = AF^2.
∵AF = 5,AE = 2$\sqrt{5}$,
∴EF = $\sqrt{5}$
∵$S_{\triangle AEF}$ = $\frac{1}{2}$AF·EH = $\frac{1}{2}$AE·EF,
∴AD = EH = $\frac{AE·EF}{AF}$ = 2
∵∠ACB = ∠CAD,
∴AD//BC.
∴∠AEB = ∠EAD.
∵∠AEB + ∠D = 180°,
∴∠EAD + ∠D = 180°.
∴AE//CD.
∴四边形AECD是平行四边形 (2)过点E作EH⊥AB于点H,则∠AHE = ∠ACB = 90°.
∵AE平分∠BAC，
∴EC = EH.
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD = EC,即AD = EC = EH.在Rt△AEF中,∠AEF = 90°,
∴由勾股定理，可得EF^2 + AE^2 = AF^2.
∵AF = 5,AE = 2$\sqrt{5}$,
∴EF = $\sqrt{5}$
∵$S_{\triangle AEF}$ = $\frac{1}{2}$AF·EH = $\frac{1}{2}$AE·EF,
∴AD = EH = $\frac{AE·EF}{AF}$ = 2
13. 如图，$AD$，$BE$ 分别是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$，$AC$ 上的中线，过点 $C$ 作 $CF// AB$，交 $BE$ 的延长线于点 $F$，连接 $AF$.
（1）求证：四边形 $ABCF$ 是平行四边形；
（2）连接 $DE$，若 $DE = EC = 3$，$\angle AFC = 45^{\circ}$，求 $BF$ 的长.
（1）求证：四边形 $ABCF$ 是平行四边形；
（2）连接 $DE$，若 $DE = EC = 3$，$\angle AFC = 45^{\circ}$，求 $BF$ 的长.
答案：13.(1)
∵CF//AB,
∴∠ABE = ∠CFE,∠BAE = ∠FCE.
∵BE是△ABC的边AC上的中线，
∴AE = CE.在△ABE和△CFE中，$\begin{cases} ∠ABE = ∠CFE, \\ ∠BAE = ∠FCE, \\ AE = CE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CFE.
∴BE = FE.又
∵AE = CE,
∴四边形ABCF是平行四边形 (2)
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴∠ABC = ∠AFC = 45°,BE = EF = $\frac{1}{2}$BF.
∵AE = CE,AD是△ABC的边BC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE = $\frac{1}{2}$AB,DE//AB.
∴∠EDC = ∠ABC = 45°.
∵DE = EC = AE = 3,
∴∠EDC = ∠ECD = 45°,AC = AB = 6.
∴∠BAC = 180° - 45° - 45° = 90°.
∴BE = $\sqrt{AB^2 + AE^2}$ = $\sqrt{6^2 + 3^2}$ = 3$\sqrt{5}$
∴BF = 2BE = 6$\sqrt{5}$
∵CF//AB,
∴∠ABE = ∠CFE,∠BAE = ∠FCE.
∵BE是△ABC的边AC上的中线，
∴AE = CE.在△ABE和△CFE中，$\begin{cases} ∠ABE = ∠CFE, \\ ∠BAE = ∠FCE, \\ AE = CE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CFE.
∴BE = FE.又
∵AE = CE,
∴四边形ABCF是平行四边形 (2)
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴∠ABC = ∠AFC = 45°,BE = EF = $\frac{1}{2}$BF.
∵AE = CE,AD是△ABC的边BC上的中线，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE = $\frac{1}{2}$AB,DE//AB.
∴∠EDC = ∠ABC = 45°.
∵DE = EC = AE = 3,
∴∠EDC = ∠ECD = 45°,AC = AB = 6.
∴∠BAC = 180° - 45° - 45° = 90°.
∴BE = $\sqrt{AB^2 + AE^2}$ = $\sqrt{6^2 + 3^2}$ = 3$\sqrt{5}$
∴BF = 2BE = 6$\sqrt{5}$