1. (2025·南通期中)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,∠AFB=90°.若AB=7,BC=13,则EF的长为(
A.1.5
B.2.5
C.3
D.4
C
)A.1.5
B.2.5
C.3
D.4
答案：1.C
解析：
证明：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，D是AB中点，
∵BC=13，
∴DE=$\frac{13}{2}$=6.5，
∵∠AFB=90°，AB=7，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=3.5，
∴EF=DE-DF=6.5-3.5=3.
C
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，D是AB中点，
∵BC=13，
∴DE=$\frac{13}{2}$=6.5，
∵∠AFB=90°，AB=7，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB=3.5，
∴EF=DE-DF=6.5-3.5=3.
C
2. (2024·南通)如图,直线a//b,矩形ABCD的顶点A在直线b上.若∠2=41°,则∠1的度数为(
A.41°
B.51°
C.49°
D.59°
C
)A.41°
B.51°
C.49°
D.59°
答案：2.C
解析：
解：过点B作BE//a，
∵a//b，
∴BE//a//b，
∴∠2=∠CBE=41°，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠1=∠ABC-∠CBE=90°-41°=49°，
答案：C
∵a//b，
∴BE//a//b，
∴∠2=∠CBE=41°，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠1=∠ABC-∠CBE=90°-41°=49°，
答案：C
3. (教材变式)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=AO.
(1) ∠ABD的度数为
(2) 若AC=6,则$S_{△AOD}=$
(1) ∠ABD的度数为
$60°$
；(2) 若AC=6,则$S_{△AOD}=$
$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
.答案：3.(1) $60°$ (2) $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
解析：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴OA=OB。
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2)
∵AC=6，
∴OA=1/2AC=3，OD=1/2BD=1/2AC=3。
由(1)知∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOB=120°。
∴S△AOD=1/2·OA·OD·sin∠AOD=1/2×3×3×sin120°=1/2×9×√3/2=9√3/4。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴OA=OB。
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
(2)
∵AC=6，
∴OA=1/2AC=3，OD=1/2BD=1/2AC=3。
由(1)知∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°-∠AOB=120°。
∴S△AOD=1/2·OA·OD·sin∠AOD=1/2×3×3×sin120°=1/2×9×√3/2=9√3/4。
4. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,点E在AD上,DE=2.若EC平分∠BED,则BC的长为
10
.答案：4.10
解析：
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，∠A=90°，AB=CD=6，
∴∠DEC=∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC=∠DEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
设BC=AD=x，则AE=AD-DE=x-2，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
即6²+(x-2)²=x²，
解得x=10，
∴BC的长为10.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，∠A=90°，AB=CD=6，
∴∠DEC=∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC=∠DEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
设BC=AD=x，则AE=AD-DE=x-2，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
即6²+(x-2)²=x²，
解得x=10，
∴BC的长为10.
5. (2025·吉林)如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
(1) 求证:△ABE≌△DCF；
(2) 当AB=12,DF=13时,求BE的长.
(1) 求证:△ABE≌△DCF；
(2) 当AB=12,DF=13时,求BE的长.
答案：5.(1) 在矩形ABCD中,AB=CD,$\angle B=\angle C=90°$.在$\triangle ABE$
和$\triangle DCF$中,$\begin{cases} \angle BAE=\angle CDF, \\ AB=DC, \\ \angle B=\angle C=90°, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF$ (2) 由
(1),知$\triangle ABE \cong \triangle DCF$,$\therefore AE=DF=13$. $\therefore$在$Rt\triangle ABE$中,
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=5$
和$\triangle DCF$中,$\begin{cases} \angle BAE=\angle CDF, \\ AB=DC, \\ \angle B=\angle C=90°, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCF$ (2) 由
(1),知$\triangle ABE \cong \triangle DCF$,$\therefore AE=DF=13$. $\therefore$在$Rt\triangle ABE$中,
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=5$
6. 如图,在矩形ABCD中,连接AC,延长BC至点E,使BE=AC,连接DE.若∠ACB=40°,则∠E的度数是(
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
D
)A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案：6.D