7. 如图,在△AEG中,GA=GE,∠G=40°,将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCD的边BC上,使得AB=BE.其中EG与AD交于点F,则∠DFG的度数是(
A.85°
B.75°
C.65°
D.45°
C
)A.85°
B.75°
C.65°
D.45°
答案：7.C
8. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=8,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=6.若M,N分别是DE,AB的中点,则MN长的最小值为(
A.10−√{41}
B.√{41}−3
C.2√{41}−6
D.3
B
)A.10−√{41}
B.√{41}−3
C.2√{41}−6
D.3
答案：8.B
解析：
解：连接CM，CN。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，
则AB=√(AC²+BC²)=√(10²+8²)=√164=2√41，
∵N是AB中点，
∴CN=1/2AB=√41。
∵DE=6，M是DE中点，∠C=90°，
∴CM=1/2DE=3。
在△CMN中，MN≥|CN-CM|=√41-3，
当C，M，N三点共线且M在C，N之间时，MN取最小值√41-3。
答案：B
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=8，
则AB=√(AC²+BC²)=√(10²+8²)=√164=2√41，
∵N是AB中点，
∴CN=1/2AB=√41。
∵DE=6，M是DE中点，∠C=90°，
∴CM=1/2DE=3。
在△CMN中，MN≥|CN-CM|=√41-3，
当C，M，N三点共线且M在C，N之间时，MN取最小值√41-3。
答案：B
9. (2025·扬州)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是
6
.答案：9.6
解析：
解：
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×4 = 2$，且DE//AC。
∵∠BFC = 90°，E是BC的中点，BC = 8，
∴EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
∵点F在线段DE的延长线上，
∴DF = DE + EF = 2 + 4 = 6。
6
∵D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×4 = 2$，且DE//AC。
∵∠BFC = 90°，E是BC的中点，BC = 8，
∴EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
∵点F在线段DE的延长线上，
∴DF = DE + EF = 2 + 4 = 6。
6
10. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线的交点O作EF⊥AC,交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是
$\frac{7}{4}$
.答案：10.$\frac{7}{4}$
解析：
解：在矩形$ABCD$中，$AB=6$，$BC=8$，则$AD=BC=8$，$CD=AB=6$，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
因为矩形对角线互相平分，所以$O$为$AC$中点，$AO=\frac{1}{2}AC=5$。
设$DE=x$，则$AE=AD - DE=8 - x$。
因为$EF⊥ AC$，所以$\angle AOE=90^{\circ}$，又$\angle OAE=\angle CAD$，故$\triangle AOE∼\triangle ADC$。
则$\frac{AE}{AC}=\frac{AO}{AD}$，即$\frac{8 - x}{10}=\frac{5}{8}$，解得$x=\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
因为矩形对角线互相平分，所以$O$为$AC$中点，$AO=\frac{1}{2}AC=5$。
设$DE=x$，则$AE=AD - DE=8 - x$。
因为$EF⊥ AC$，所以$\angle AOE=90^{\circ}$，又$\angle OAE=\angle CAD$，故$\triangle AOE∼\triangle ADC$。
则$\frac{AE}{AC}=\frac{AO}{AD}$，即$\frac{8 - x}{10}=\frac{5}{8}$，解得$x=\frac{7}{4}$。
$\frac{7}{4}$
11. 如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,AE=AD,DF⊥AE于点F.
(1) 求证:AB=DF；
(2) 若AB=8,CE=4,求BC的长.
(1) 求证:AB=DF；
(2) 若AB=8,CE=4,求BC的长.
答案：11.(1) 在矩形ABCD中,$AD // BC$,$\angle B=90°$,$\therefore \angle FAD=\angle BEA$. $\because DF ⊥ AE$,$\therefore \angle DFA=90°=\angle B$.在$\triangle ABE$和
$\begin{cases} \angle B=\angle DFA, \\ \angle BEA=\angle FAD, \end{cases}$$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DFA$.$\therefore AB=DF$ (2) $\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore BC=AD$,$\angle B=90°$.
$\therefore$在$Rt\triangle ABE$中,$AB^2+BE^2=AE^2$.设$BC=x$,则$8^2+(x-4)^2=x^2$,解得$x=10$.$\therefore BC=10$
$\begin{cases} \angle B=\angle DFA, \\ \angle BEA=\angle FAD, \end{cases}$$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DFA$.$\therefore AB=DF$ (2) $\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore BC=AD$,$\angle B=90°$.
$\therefore$在$Rt\triangle ABE$中,$AB^2+BE^2=AE^2$.设$BC=x$,则$8^2+(x-4)^2=x^2$,解得$x=10$.$\therefore BC=10$
12. 如图,在平面直角坐标系中有一矩形OABC,OA=8,OC=6,过点D(0,6)作y轴的垂线,交OA于点E,点B恰在这条直线上.求:
(1) 矩形OABC的对角线OB的长；
(2) 点B的坐标；
(3) △EOB的面积.
(1) 矩形OABC的对角线OB的长；
(2) 点B的坐标；
(3) △EOB的面积.
答案：12.(1) $\because$四边形OABC为矩形,$\therefore OC=AB=6$,$\angle A=90°$.
$\therefore$在$Rt\triangle OAB$中,$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,即矩
形OABC的对角线OB的长为10 (2) $\because BD ⊥ OD$,
$\therefore \angle ODB=90°$. $\because$点D的坐标为(0,6),$\therefore OD=6$.$\therefore$在
$Rt\triangle OBD$中,$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.$\therefore$点B的
坐标为(8,6) (3) $\because OD=6$,$AB=6$,$\therefore OD=AB$.在
$Rt\triangle OBD$和$Rt\triangle BOA$中,$\begin{cases} OB=BO, \\ OD=BA, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle OBD \cong Rt\triangle BOA$.
$\therefore \angle OBD=\angle BOA$.$\therefore BE=OE$.设$BE=OE=x$,则$DE=8-x$.在$Rt\triangle ODE$中,由勾股定理,得$OD^2+DE^2=OE^2$,即
$6^2+(8-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.$\therefore BE=\frac{25}{4}$.$\therefore \triangle EOB$的面
积=$\frac{1}{2}BE · OD=\frac{1}{2} × \frac{25}{4} × 6=\frac{75}{4}$
$\therefore$在$Rt\triangle OAB$中,$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,即矩
形OABC的对角线OB的长为10 (2) $\because BD ⊥ OD$,
$\therefore \angle ODB=90°$. $\because$点D的坐标为(0,6),$\therefore OD=6$.$\therefore$在
$Rt\triangle OBD$中,$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.$\therefore$点B的
坐标为(8,6) (3) $\because OD=6$,$AB=6$,$\therefore OD=AB$.在
$Rt\triangle OBD$和$Rt\triangle BOA$中,$\begin{cases} OB=BO, \\ OD=BA, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle OBD \cong Rt\triangle BOA$.
$\therefore \angle OBD=\angle BOA$.$\therefore BE=OE$.设$BE=OE=x$,则$DE=8-x$.在$Rt\triangle ODE$中,由勾股定理,得$OD^2+DE^2=OE^2$,即
$6^2+(8-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.$\therefore BE=\frac{25}{4}$.$\therefore \triangle EOB$的面
积=$\frac{1}{2}BE · OD=\frac{1}{2} × \frac{25}{4} × 6=\frac{75}{4}$