1. (易错题)下列命题正确的是 (
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
A
)A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
答案：1.A [易错分析]对矩形的判定方法理解错误导致出错.
2. (新情境·日常生活)如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线 AC，BD 的长就可以判断，其数学依据是 (
A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C
)A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
答案：2.C
3. 如图，DE 是△ABC 的中位线，BE 与 CD 交于点 O，F，G 分别是 OC，OB 的中点，连接 DG，EF，FG，要使得四边形 DEFG 为矩形，有下列补充条件：① AB=AC；② ∠ACB=90°；③ BE=CD；④ ∠EFG=90°. 其中，正确的有
①③④
(填序号).答案：3. ①③④
解析：
证明：
∵DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC。
∵F、G分别为OC、OB中点，
∴FG//BC，FG=1/2BC。
∴DE//FG且DE=FG，四边形DEFG为平行四边形。
①AB=AC：
AB=AC⇒△ABC为等腰三角形，DE//BC⇒AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∠BDE=∠CED。
∵D、E为中点，
∴BD=CE，DE=DE，△BDE≌△CED(SAS)，
∴∠BED=∠CDE，OD=OE。
∵四边形DEFG为平行四边形，OD=OE，OG=OF，
∴EG=DF，平行四边形DEFG为矩形。
②∠ACB=90°：
仅∠ACB=90°无法推出平行四边形DEFG有直角，不成立。
③BE=CD：
平行四边形DEFG中，若BE=CD，则OG=OF，OB=OC，
∴OE=OD，EG=DF，平行四边形DEFG为矩形。
④∠EFG=90°：
平行四边形DEFG中，∠EFG=90°，则为矩形。
综上，正确的有①③④。
答案：①③④
∵DE是△ABC中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC。
∵F、G分别为OC、OB中点，
∴FG//BC，FG=1/2BC。
∴DE//FG且DE=FG，四边形DEFG为平行四边形。
①AB=AC：
AB=AC⇒△ABC为等腰三角形，DE//BC⇒AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，∠BDE=∠CED。
∵D、E为中点，
∴BD=CE，DE=DE，△BDE≌△CED(SAS)，
∴∠BED=∠CDE，OD=OE。
∵四边形DEFG为平行四边形，OD=OE，OG=OF，
∴EG=DF，平行四边形DEFG为矩形。
②∠ACB=90°：
仅∠ACB=90°无法推出平行四边形DEFG有直角，不成立。
③BE=CD：
平行四边形DEFG中，若BE=CD，则OG=OF，OB=OC，
∴OE=OD，EG=DF，平行四边形DEFG为矩形。
④∠EFG=90°：
平行四边形DEFG中，∠EFG=90°，则为矩形。
综上，正确的有①③④。
答案：①③④
4. （2025·通州期中）如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=90°，O 是边 AB 的中点，∠AOD=∠BOC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
答案：4.
∵O是边AB的中点，
∴OA=OB.在△AOD和△BOC中，
$\begin{cases} \angle AOD = \angle BOC, \\ OA = OB, \\ \angle A = \angle B, \end{cases}$
∴△AOD ≌ △BOC.
∴DA = CB.
∵∠A = ∠B = 90°,
∴∠A + ∠B = 180°.
∴DA//CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.又
∵∠A = 90°,
∴四边形ABCD是矩形
∵O是边AB的中点，
∴OA=OB.在△AOD和△BOC中，
$\begin{cases} \angle AOD = \angle BOC, \\ OA = OB, \\ \angle A = \angle B, \end{cases}$
∴△AOD ≌ △BOC.
∴DA = CB.
∵∠A = ∠B = 90°,
∴∠A + ∠B = 180°.
∴DA//CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.又
∵∠A = 90°,
∴四边形ABCD是矩形
5. （2024·如东期中）如图，将▱ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BE=AB，DE 交边 BC 于点 F，连接 BD，CE.
（1）求证：四边形 BECD 为平行四边形；
（2）若∠BFD=2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形.
（1）求证：四边形 BECD 为平行四边形；
（2）若∠BFD=2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形.
答案：5.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD, AB = CD.
∵BE = AB,
∴BE = CD.
∵BE//CD,
∴四边形BECD为平行四边形 (2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A = ∠DCB.
∵∠BFD = 2∠A,
∴∠BFD = 2∠DCB.
∴∠DCF = ∠FDC.
∴DF = CF.由(1),得四边形BECD为平行四边形,
∴EF = DF, BF = CF,
∴易得DE = BC.
∴四边形BECD是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD, AB = CD.
∵BE = AB,
∴BE = CD.
∵BE//CD,
∴四边形BECD为平行四边形 (2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A = ∠DCB.
∵∠BFD = 2∠A,
∴∠BFD = 2∠DCB.
∴∠DCF = ∠FDC.
∴DF = CF.由(1),得四边形BECD为平行四边形,
∴EF = DF, BF = CF,
∴易得DE = BC.
∴四边形BECD是矩形
6. (2025·启东期末)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形 ABCD 为矩形，添加的条件可以是 (
A.OB=5
B.OD=5
C.AB=5
D.BC=8
B
)A.OB=5
B.OD=5
C.AB=5
D.BC=8
答案：6.B
解析：
解：若添加条件OD=5，
∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且OA=5，OC=5，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵AC=OA+OC=10，BD=OB+OD=10，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形。
B
∵四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且OA=5，OC=5，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又
∵AC=OA+OC=10，BD=OB+OD=10，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形。
B