7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，M 是边 AB 上一点(不与点 A，B 重合)，过点 M 作 ME⊥BC 于点 E，MF⊥AC 于点 F，连接 EF. 若 P 是 EF 的中点，则 PF 长的最小值是 (
A.1
B.1.2
C.2.4
D.4.8
B
)A.1
B.1.2
C.2.4
D.4.8
答案：7.B
解析：
解：连接CM。
∵∠ACB=90°，ME⊥BC，MF⊥AC，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，P是EF中点，
∴PF=1/2EF=1/2CM。
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC²+BC²)=5。
当CM⊥AB时，CM最小，此时CM=AC·BC/AB=12/5=2.4，
∴PF最小值=1/2×2.4=1.2。
答案：B
∵∠ACB=90°，ME⊥BC，MF⊥AC，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，P是EF中点，
∴PF=1/2EF=1/2CM。
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC²+BC²)=5。
当CM⊥AB时，CM最小，此时CM=AC·BC/AB=12/5=2.4，
∴PF最小值=1/2×2.4=1.2。
答案：B
8. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，E，F，G，H 分别为边 AD，AB，BC，CD 的中点. 若 AC=8，BD=6，则四边形 EFGH 的面积为
12
.答案：8.12
解析：
证明：
∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，GH为△CBD的中位线，
∴EF//BD，EF=$\frac{1}{2}$BD；GH//BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
同理，EH//AC，EH=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC⊥BD，EF//BD，EH//AC，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形.
∵AC=8，BD=6，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC=4，EF=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴四边形EFGH的面积=EH×EF=4×3=12.
12
∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，GH为△CBD的中位线，
∴EF//BD，EF=$\frac{1}{2}$BD；GH//BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
同理，EH//AC，EH=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC⊥BD，EF//BD，EH//AC，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形.
∵AC=8，BD=6，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC=4，EF=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴四边形EFGH的面积=EH×EF=4×3=12.
12
9. （2025·北京）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点 G 在 DE 的延长线上，DG=FC.
（1）求证：四边形 DFCG 是矩形；
（2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求 BC 和 AC 的长.
（1）求证：四边形 DFCG 是矩形；
（2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求 BC 和 AC 的长.
答案：9.(1)
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE//BC.
∵DG = FC,
∴四边形DFCG是平行四边形.又
∵DF⊥BC,
∴∠DFC = 90°.
∴四边形DFCG是矩形
(2)
∵DF⊥BC,
∴∠DFB = 90°.
∵∠B = 45°,
∴△BDF是等腰直角三角形.
∴BF = DF = 3.
∵易知DG = FC = 5,
∴BC = BF + FC = 3 + 5 = 8.由(1),可知DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4, CG = DF = 3,
∠G = 90°.
∴EG = DG - DE = 5 - 4 = 1.
∴在Rt△CGE中,
CE = $\sqrt{CG^2 + EG^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
∵E为AC的中点,
∴AC = 2CE = $2\sqrt{10}$
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE//BC.
∵DG = FC,
∴四边形DFCG是平行四边形.又
∵DF⊥BC,
∴∠DFC = 90°.
∴四边形DFCG是矩形
(2)
∵DF⊥BC,
∴∠DFB = 90°.
∵∠B = 45°,
∴△BDF是等腰直角三角形.
∴BF = DF = 3.
∵易知DG = FC = 5,
∴BC = BF + FC = 3 + 5 = 8.由(1),可知DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,
∴DE = $\frac{1}{2}$BC = 4, CG = DF = 3,
∠G = 90°.
∴EG = DG - DE = 5 - 4 = 1.
∴在Rt△CGE中,
CE = $\sqrt{CG^2 + EG^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
∵E为AC的中点,
∴AC = 2CE = $2\sqrt{10}$
10. 如图，在△ABC 中，O 是边 AC 上一个动点，过点 O 作直线 MN//BC，MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交△ABC 的外角∠ACD 的平分线于点 F，连接 AE，AF.
（1）求证：OE=OF.
（2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长.
（3）当点 O 在边 AC 的什么位置时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由.
（1）求证：OE=OF.
（2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长.
（3）当点 O 在边 AC 的什么位置时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由.
答案：10.(1)
∵CE平分∠ACB, CF平分∠ACD,
∴∠ACE = ∠BCE, ∠ACF = ∠DCF.
∵MN//BC,
∴∠FEC = ∠BCE,
∠EFC = ∠DCF.
∴∠FEC = ∠ACE, ∠EFC = ∠ACF.
∴OE = OC, OF = OC.
∴OE = OF (2)
∵CE平分∠ACB,
CF平分∠ACD,
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∴∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACB + $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$(∠ACB +
∠ACD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°,即∠ECF = 90°.在Rt△ECF中,
∵CE = 12, CF = 5,
∴EF = $\sqrt{CE^2 + CF^2} = 13$.由(1),知OE = OF = OC,
∴OC = $\frac{1}{2}$EF = 6.5 (3)当点O在边AC的中点处时,四边形AECF是矩形 理由:当点O在边AC的中点处时,OA = OC.
∵OE = OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵∠ECF = 90°,
∴四边形AECF是矩形.
∵CE平分∠ACB, CF平分∠ACD,
∴∠ACE = ∠BCE, ∠ACF = ∠DCF.
∵MN//BC,
∴∠FEC = ∠BCE,
∠EFC = ∠DCF.
∴∠FEC = ∠ACE, ∠EFC = ∠ACF.
∴OE = OC, OF = OC.
∴OE = OF (2)
∵CE平分∠ACB,
CF平分∠ACD,
∴∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACD.
∴∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$∠ACB + $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$(∠ACB +
∠ACD) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°,即∠ECF = 90°.在Rt△ECF中,
∵CE = 12, CF = 5,
∴EF = $\sqrt{CE^2 + CF^2} = 13$.由(1),知OE = OF = OC,
∴OC = $\frac{1}{2}$EF = 6.5 (3)当点O在边AC的中点处时,四边形AECF是矩形 理由:当点O在边AC的中点处时,OA = OC.
∵OE = OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵∠ECF = 90°,
∴四边形AECF是矩形.