证明：
∵菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，
∴ $O$ 为 $AC$ 中点（菱形对角线互相平分）。
∵ $E$ 是 $AB$ 的中点，
∴ $OE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线（三角形中位线定义）。
∴ $OE = \frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
∵ $OE = 3$，
∴ $BC = 2OE = 6$。
∵菱形的四条边相等，
∴菱形的边长为 $6$。
A

解：
∵菱形$ABOC$，$B$在$x$轴负半轴，$C(3,4)$
$\therefore CO=CA$，$CO// AB$，$CA// OB$
$\because C(3,4)$，$\therefore CO=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
$\because CA// OB$，$OB$在$x$轴，$\therefore A$与$C$纵坐标相同，设$A(x,4)$
$\because CO=CA=5$，$\therefore |x - 3|=5$
$\because B$在$x$轴负半轴，菱形$ABOC$，$\therefore A$在$C$左侧，$x ＜ 3$
$\therefore 3 - x=5$，$x=-2$
$\therefore A(-2,4)$
A

(1)
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC$与$BD$相交于点$O$，
∴$AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
∵$AC=8$，$2BD=8$，
∴$AO=4$，$BD=4$，$BO=2$。
在$Rt△AOB$中，$AB=\sqrt{AO^2 + BO^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
∴菱形$ABCD$的周长为$4AB=4×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$。
(2)
∵菱形周长为$20\,\mathrm{cm}$，
∴边长$a=\frac{20}{4}=5\,\mathrm{cm}$。
设菱形的高为$h$，内角$45°$所对的高为$h$，
则$h=a·\sin45°=5×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{cm}$。

解：
∵菱形$ABCD$的对角线$AC=16$，面积$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=64$，
又$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC · BD$，
∴$\frac{1}{2} × 16 · BD=64$，解得$BD=8$。
∵菱形对角线互相平分，
∴$OD=\frac{1}{2}BD=4$。
∵$DH ⊥ AB$，$O$为$BD$中点，
∴在$\mathrm{Rt}\triangle DHB$中，$OH=\frac{1}{2}BD=OD=4$。
故$OH=4$。

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AC⊥ BD$，$AO = CO$，$BO = DO=\frac{1}{2}BD = 3$。
∵$E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，
∴$EF$是$\triangle ABC$的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}AC$。
∵$EF = 2$，
∴$AC=4$。
∴菱形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
12

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD$，$\angle B=\angle D=75°$，$AC$平分$\angle DAB$。
∵$\angle DAB=180°-\angle B=105°$，
∴$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle DAB=52.5°$。
由作图知，$EF$是$AB$的垂直平分线，
∴$GA=GB$，$\angle GAB=\angle GBA$。
设$\angle GAB=x$，则$\angle GBA=x$，
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180°$，
∵$\angle ACB=\angle DAC=52.5°$（菱形对角线性质），
∴$x+75°+52.5°=180°$，解得$x=52.5°$。
∴$\angle AGD=180°-\angle DAC-\angle ADG$，
∵$AD=AB$，$GA=GB$，$\angle DAG=\angle BAG=52.5°$，$AG=AG$，
∴$\triangle ADG\cong\triangle ABG(SAS)$，
∴$\angle ADG=\angle ABG=52.5°$，
∴$\angle AGD=180°-52.5°-52.5°=75°$。
答案：D