1. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2\sqrt{2}$，$P$ 为对角线 $BD$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$，$PF ⊥ CD$ 于点 $F$，连接 $EF$，则 $EF$ 长的最小值为 (
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
A
)A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$
答案：1.A
解析：
解：连接PC。
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$，
∴∠BCD=90°，BD为对角线。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴EF=PC。
当PC⊥BD时，PC最小。
正方形对角线BD=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，
此时PC=$\frac{1}{2}$BD=2，即EF最小值为2。
答案：A
∵四边形ABCD是正方形，边长为$2\sqrt{2}$，
∴∠BCD=90°，BD为对角线。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴EF=PC。
当PC⊥BD时，PC最小。
正方形对角线BD=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，
此时PC=$\frac{1}{2}$BD=2，即EF最小值为2。
答案：A
2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 上的动点，沿 $EF$ 折叠 $\triangle BEF$，使点 $B$ 的对应点 $B'$ 始终落在边 $CD$ 上，则 $A$，$E$ 两点之间的最大距离为
2−$\sqrt{3}$
.答案：2.2−$\sqrt{3}$
解析：
解：设 $ AE = x $，则 $ BE = 2 - x $，由折叠性质得 $ B'E = BE = 2 - x $。
过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ CD $ 于点 $ H $，过点 $ E $ 作 $ EG ⊥ CD $ 于点 $ G $。
在菱形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2 $，$ \angle BAD = 120° $，则 $ \angle ADC = 60° $，$ AD = 2 $，$ AH = AD · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $，$ EG = AH = \sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle EB'G $ 中，$ B'G = \sqrt{B'E^2 - EG^2} = \sqrt{(2 - x)^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 - x)^2 - 3} $。
要使点 $ B' $ 在边 $ CD $ 上，则 $ B'G \geq 0 $，即 $ (2 - x)^2 - 3 \geq 0 $，解得 $ x \leq 2 - \sqrt{3} $ 或 $ x \geq 2 + \sqrt{3} $（舍去）。
故 $ A $，$ E $ 两点之间的最大距离为 $ 2 - \sqrt{3} $。
$ 2 - \sqrt{3} $
过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ CD $ 于点 $ H $，过点 $ E $ 作 $ EG ⊥ CD $ 于点 $ G $。
在菱形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2 $，$ \angle BAD = 120° $，则 $ \angle ADC = 60° $，$ AD = 2 $，$ AH = AD · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $，$ EG = AH = \sqrt{3} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle EB'G $ 中，$ B'G = \sqrt{B'E^2 - EG^2} = \sqrt{(2 - x)^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 - x)^2 - 3} $。
要使点 $ B' $ 在边 $ CD $ 上，则 $ B'G \geq 0 $，即 $ (2 - x)^2 - 3 \geq 0 $，解得 $ x \leq 2 - \sqrt{3} $ 或 $ x \geq 2 + \sqrt{3} $（舍去）。
故 $ A $，$ E $ 两点之间的最大距离为 $ 2 - \sqrt{3} $。
$ 2 - \sqrt{3} $
3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AD = 2$，$E$ 是对角线 $AC$ 上一动点，$F$ 是边 $CD$ 上一动点，连接 $BE$，$EF$，则 $BE + EF$ 的最小值为 (
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$
A
)A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$
答案：3.A
解析：
证明：作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'F⊥CD于点F，交AC于点E，连接BE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=2，AB//CD。
∵∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，∠BCD=60°。
∵点B与B'关于AC对称，
∴BE=B'E，
∴BE+EF=B'E+EF=B'F。
当B'F⊥CD时，B'F最小。
在Rt△B'FC中，∠B'CF=60°，B'C=BC=2，
∴B'F=B'C·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
即BE+EF的最小值为$\sqrt{3}$。
答案：A
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC=2，AB//CD。
∵∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，∠BCD=60°。
∵点B与B'关于AC对称，
∴BE=B'E，
∴BE+EF=B'E+EF=B'F。
当B'F⊥CD时，B'F最小。
在Rt△B'FC中，∠B'CF=60°，B'C=BC=2，
∴B'F=B'C·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
即BE+EF的最小值为$\sqrt{3}$。
答案：A
4. 如图，正方形 $ABCD$ 的面积为 $12$，$\triangle ABE$ 是等边三角形，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内，在对角线 $AC$ 上有一点 $P$，连接 $PD$，$PE$，则 $PD + PE$ 的最小值为 (
A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{3}$
答案：4.B
解析：
证明：
∵ 正方形 $ABCD$ 面积为 $12$，
∴ 边长 $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
∵ 点 $D$ 与点 $B$ 关于对角线 $AC$ 对称，
∴ $PD = PB$。
则 $PD + PE = PB + PE$，当 $P$ 为 $BE$ 与 $AC$ 的交点时，$PB + PE = BE$（两点之间线段最短）。
∵ $\triangle ABE$ 是等边三角形，
∴ $BE = AB = 2\sqrt{3}$。
故 $PD + PE$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$。
答案：B
∵ 正方形 $ABCD$ 面积为 $12$，
∴ 边长 $AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
∵ 点 $D$ 与点 $B$ 关于对角线 $AC$ 对称，
∴ $PD = PB$。
则 $PD + PE = PB + PE$，当 $P$ 为 $BE$ 与 $AC$ 的交点时，$PB + PE = BE$（两点之间线段最短）。
∵ $\triangle ABE$ 是等边三角形，
∴ $BE = AB = 2\sqrt{3}$。
故 $PD + PE$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$。
答案：B
5. (2024·广安)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 4$，$AD = 5$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$M$ 为直线 $BC$ 上一动点，则 $MA + MD$ 的最小值为
$\sqrt{41}$
.答案：
5.$\sqrt{41}$ 解析：如图，作点A关于直线BC的对称点$A^{\prime}$，设$AA^{\prime}$交BC于点H，连接$A^{\prime}D$交直线BC于点$M^{\prime}$，连接$AM^{\prime}$，则$AH=A^{\prime}H$，$AH⊥ BC$，$AM^{\prime}=A^{\prime}M^{\prime}$．$\therefore$当点M与点$M^{\prime}$重合时，$MA+MD$的值最小，最小值为$A^{\prime}D$的长．在$\mathrm{Rt}\triangle ABH$中，$\because AB=4$，$\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=2$．$\therefore AA^{\prime}=2AH=4$．在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$\because AH⊥ BC$，$\therefore AA^{\prime}⊥ AD$．$\because AD=5$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}\triangle AA^{\prime}D$中，$A^{\prime}D=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$．$\therefore MA+MD$的最小值为$\sqrt{41}$．
5.$\sqrt{41}$ 解析：如图，作点A关于直线BC的对称点$A^{\prime}$，设$AA^{\prime}$交BC于点H，连接$A^{\prime}D$交直线BC于点$M^{\prime}$，连接$AM^{\prime}$，则$AH=A^{\prime}H$，$AH⊥ BC$，$AM^{\prime}=A^{\prime}M^{\prime}$．$\therefore$当点M与点$M^{\prime}$重合时，$MA+MD$的值最小，最小值为$A^{\prime}D$的长．在$\mathrm{Rt}\triangle ABH$中，$\because AB=4$，$\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore AH=\frac{1}{2}AB=2$．$\therefore AA^{\prime}=2AH=4$．在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$\because AH⊥ BC$，$\therefore AA^{\prime}⊥ AD$．$\because AD=5$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}\triangle AA^{\prime}D$中，$A^{\prime}D=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$．$\therefore MA+MD$的最小值为$\sqrt{41}$．
6. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AF = CE$，过点 $E$ 作 $CD$ 的垂线，与边 $CD$ 交于点 $G$，连接 $DF$.若 $AC = 8$，$BD = 6$，则 $EG + DF$ 的最小值为
4.8
.答案：6.4.8 解析：连接BE．$\because$四边形ABCD为菱形，$\therefore AD=CB$，$AD// CB$．$\therefore \angle DAF=\angle BCE$．在$\triangle DAF$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AD=CB,\\\angle DAF=\angle BCE,\\AF=CE,\end{cases}\therefore \triangle DAF\cong\triangle BCE$．$\therefore DF=BE$．$\therefore$当B，E，G三点共线时，$EG+BE$有最小值，即$EG+DF$有最小值，最小值为BG的长．$\because$四边形ABCD为菱形，$AC=8$，$BD=6$，$\therefore \angle BOC=90^{\circ}$，$BC=CD$，$CO=4$，$BO=3$．$\therefore CD=BC=\sqrt{CO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$．在$\mathrm{Rt}\triangle BGC$中，$BG^2=BC^2-CG^2$；在$\mathrm{Rt}\triangle BGD$中，$BG^2=BD^2-DG^2$，$\therefore BC^2-CG^2=BD^2-DG^2$．$\therefore 5^2-CG^2=6^2-(5-CG)^2$，解得$CG=1.4$．$\therefore BG=\sqrt{BC^2-CG^2}=\sqrt{5^2-1.4^2}=4.8$．$\therefore EG+DF$的最小值为4.8．
解析：
解：连接$BE$。
因为四边形$ABCD$为菱形，所以$AD = CB$，$AD// CB$，$\angle DAF=\angle BCE$。
在$\triangle DAF$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AD = CB\\\angle DAF=\angle BCE\\AF = CE\end{cases}$，所以$\triangle DAF\cong\triangle BCE$，故$DF = BE$。
当$B$，$E$，$G$三点共线时，$EG + BE$有最小值，即$EG + DF$的最小值为$BG$的长。
因为四边形$ABCD$为菱形，$AC = 8$，$BD = 6$，所以$\angle BOC = 90^{\circ}$，$CO=\frac{AC}{2}=4$，$BO=\frac{BD}{2}=3$，$BC = CD=\sqrt{CO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
设$CG=x$，则$DG=5 - x$。在$\mathrm{Rt}\triangle BGC$中，$BG^{2}=BC^{2}-CG^{2}=5^{2}-x^{2}$；在$\mathrm{Rt}\triangle BGD$中，$BG^{2}=BD^{2}-DG^{2}=6^{2}-(5 - x)^{2}$。
所以$5^{2}-x^{2}=6^{2}-(5 - x)^{2}$，解得$x = 1.4$。
则$BG=\sqrt{5^{2}-1.4^{2}}=4.8$，即$EG + DF$的最小值为$4.8$。
$4.8$
因为四边形$ABCD$为菱形，所以$AD = CB$，$AD// CB$，$\angle DAF=\angle BCE$。
在$\triangle DAF$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}AD = CB\\\angle DAF=\angle BCE\\AF = CE\end{cases}$，所以$\triangle DAF\cong\triangle BCE$，故$DF = BE$。
当$B$，$E$，$G$三点共线时，$EG + BE$有最小值，即$EG + DF$的最小值为$BG$的长。
因为四边形$ABCD$为菱形，$AC = 8$，$BD = 6$，所以$\angle BOC = 90^{\circ}$，$CO=\frac{AC}{2}=4$，$BO=\frac{BD}{2}=3$，$BC = CD=\sqrt{CO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
设$CG=x$，则$DG=5 - x$。在$\mathrm{Rt}\triangle BGC$中，$BG^{2}=BC^{2}-CG^{2}=5^{2}-x^{2}$；在$\mathrm{Rt}\triangle BGD$中，$BG^{2}=BD^{2}-DG^{2}=6^{2}-(5 - x)^{2}$。
所以$5^{2}-x^{2}=6^{2}-(5 - x)^{2}$，解得$x = 1.4$。
则$BG=\sqrt{5^{2}-1.4^{2}}=4.8$，即$EG + DF$的最小值为$4.8$。
$4.8$
7. 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，延长 $AD$ 到点 $E$，使 $DE = AD$，且 $BE ⊥ DC$，连接 $CE$，$BD$.
（1）求证：四边形 $DBCE$ 是菱形；
（2）若 $\triangle DBC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $P$，$M$，$N$ 分别在线段 $BE$，$BC$，$CE$ 上运动，求 $PM + PN$ 的最小值.
（1）求证：四边形 $DBCE$ 是菱形；
（2）若 $\triangle DBC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $P$，$M$，$N$ 分别在线段 $BE$，$BC$，$CE$ 上运动，求 $PM + PN$ 的最小值.
答案：
7.(1)$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$AD=BC$．$\because DE=AD$，$\therefore DE=BC$．$\because$点E在AD的延长线上，$\therefore DE// BC$．$\therefore$四边形DBCE是平行四边形．$\because BE⊥ DC$，$\therefore$四边形DBCE是菱形．(2)如图，作点N关于BE的对称点$N^{\prime}$，连接$PN^{\prime}$，过点D作$DH⊥ BC$于点H．由菱形的对称性，知点N关于BE的对称点$N^{\prime}$在DE上，$\therefore PM+PN=PM+PN^{\prime}$．$\therefore$当点M，P，$N^{\prime}$共线时，$PM+PN=PM+PN^{\prime}=MN^{\prime}$．$\because DE// BC$，$\therefore MN^{\prime}$的长的最小值为DH的长，即$PM+PN$的最小值为DH的长．在$\mathrm{Rt}\triangle DBH$中，$\because$易得$\angle DBC=60^{\circ}$，$DB=2$，$\therefore \angle BDH=30^{\circ}$．$\therefore BH=\frac{1}{2}DB=1$．由勾股定理，得$DH=\sqrt{3}$，$\therefore PM+PN$的最小值为$\sqrt{3}$．
7.(1)$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$AD=BC$．$\because DE=AD$，$\therefore DE=BC$．$\because$点E在AD的延长线上，$\therefore DE// BC$．$\therefore$四边形DBCE是平行四边形．$\because BE⊥ DC$，$\therefore$四边形DBCE是菱形．(2)如图，作点N关于BE的对称点$N^{\prime}$，连接$PN^{\prime}$，过点D作$DH⊥ BC$于点H．由菱形的对称性，知点N关于BE的对称点$N^{\prime}$在DE上，$\therefore PM+PN=PM+PN^{\prime}$．$\therefore$当点M，P，$N^{\prime}$共线时，$PM+PN=PM+PN^{\prime}=MN^{\prime}$．$\because DE// BC$，$\therefore MN^{\prime}$的长的最小值为DH的长，即$PM+PN$的最小值为DH的长．在$\mathrm{Rt}\triangle DBH$中，$\because$易得$\angle DBC=60^{\circ}$，$DB=2$，$\therefore \angle BDH=30^{\circ}$．$\therefore BH=\frac{1}{2}DB=1$．由勾股定理，得$DH=\sqrt{3}$，$\therefore PM+PN$的最小值为$\sqrt{3}$．