8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 4$，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，点 $P$，$Q$ 在 $EF$ 上，且满足 $PQ = 2$，则四边形 $APQB$ 的周长的最小值为 (
A.$10$
B.$12$
C.$14$
D.$16$
B
)A.$10$
B.$12$
C.$14$
D.$16$
答案：8.B
9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 10$，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别在矩形各边上，$F$，$H$ 为不动点，$E$，$G$ 为动点.若使 $AF = CH$，$BE = DG$，则四边形 $EFGH$ 的周长的最小值为 (
A.$5\sqrt{5}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$15\sqrt{3}$
D.$10\sqrt{5}$
D
)A.$5\sqrt{5}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$15\sqrt{3}$
D.$10\sqrt{5}$
答案：9.D
10. （2024·启东期中）【问题原型】如图①，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 是边 $BC$ 的中点，$∠ AEF = 90°$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CF$ 于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“$E$ 是边 $BC$ 的中点”改为“$E$ 是直线 $BC$ 上任意一点（$B$，$C$ 两点除外）”时，结论 $AE = EF$ 还能成立.现请你证明下面这种情况：
如图②，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 为 $BC$ 反向延长线上一点，$∠ AEF = 90°$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CM$ 所在直线于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【拓展迁移】
如图③，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$E$ 为 $BC$ 边上一动点（点 $E$，$B$ 不重合），以 $AE$ 为直角边在 $BC$ 上方作等腰直角三角形 $AEF$，$∠ AEF = 90°$，连接 $DF$，$CF$.在点 $E$ 的运动过程中，求 $△ ADF$ 周长的最小值.
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“$E$ 是边 $BC$ 的中点”改为“$E$ 是直线 $BC$ 上任意一点（$B$，$C$ 两点除外）”时，结论 $AE = EF$ 还能成立.现请你证明下面这种情况：
如图②，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 为 $BC$ 反向延长线上一点，$∠ AEF = 90°$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CM$ 所在直线于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【拓展迁移】
如图③，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$E$ 为 $BC$ 边上一动点（点 $E$，$B$ 不重合），以 $AE$ 为直角边在 $BC$ 上方作等腰直角三角形 $AEF$，$∠ AEF = 90°$，连接 $DF$，$CF$.在点 $E$ 的运动过程中，求 $△ ADF$ 周长的最小值.
答案：
10.【问题原型】如图①，取AB的中点G，连接EG．$\therefore BG=AG=\frac{1}{2}AB$．$\because$E是边BC的中点，$\therefore EC=BE=\frac{1}{2}BC$．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ B=∠ DCB=90°$．$\therefore AG=BG=BE=EC$．$\therefore ∠ BGE=∠ BEG=45°$．$\therefore ∠ AGE=135°$．$\because$CF是正方形ABCD的外角的平分线，$\therefore ∠ DCF=45°$．$\therefore ∠ ECF=135°=∠ AGE$．$\because ∠ AEF=90°=∠ ABC$，$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°=∠ AEB+∠ FEC$．$\therefore ∠ BAE=∠ FEC$．$\therefore △ AGE≌△ ECF$．$\therefore AE=EF$．【问题应用】如图②，在AB延长线上截取$BG=BE$，连接EG．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ BCD=90°$．又$\because BG=BE$，$\therefore AG=CE$．$\because ∠ ABC=∠ BCD=90°$，$BG=BE$，CM为正方形ABCD的外角平分线，$\therefore ∠ AGE=∠ ECF=45°$．$\because ∠ ABE=90°$，$∠ AEF=90°$，$\therefore ∠ AEB+∠ EAG=90°$，$∠ AEB+∠ FEC=90°$．$\therefore ∠ EAG=∠ FEC$．在$△ EAG$和$△ FEC$中，$\begin{cases}∠ EAG=∠ FEC,\\AG=EC,\\∠ AGE=∠ ECF,\end{cases}\therefore △ EAG≌△ FEC$．$\therefore AE=EF$．【拓展迁移】如图③，在AB上取点H，使$AH=CE$，连接HE．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ B=∠ BCD=90°$．$\because ∠ AEF=90°$，$\therefore ∠ AEB+∠ CEF=90°$，$∠ BAE+∠ AEB=90°$．$\therefore ∠ CEF=∠ BAE$．$\because AB - AH=BC - EC$，$\therefore BH=BE$．$\therefore ∠ BHE=45°$．$\therefore ∠ AHE=135°$．$\because AH=CE$，$∠ HAE=∠ CEF$，$AE=EF$，$\therefore △ HAE≌ △ CEF$．$\therefore ∠ AHE=∠ ECF=135°$．$\therefore ∠ DCF=45°$．作点D关于CF的对称点M，延长BC，则易知点B，C，M在同一条直线上，连接AM，此时$AF+DF$的最小值即为AM的长．$\because ∠ ECF=135°$，$\therefore ∠ FCM=45°$．$\therefore ∠ DMC=45°$．$\because ∠ DCM=90°$，$\therefore △ DCM$为等腰直角三角形．$\therefore DC=MC$．$\therefore MC=BC=AB=AD=1$．$\therefore BM=BC+MC=2$．在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理，得$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$．$\therefore △ ADF$周长的最小值为$1+\sqrt{5}$．
10.【问题原型】如图①，取AB的中点G，连接EG．$\therefore BG=AG=\frac{1}{2}AB$．$\because$E是边BC的中点，$\therefore EC=BE=\frac{1}{2}BC$．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ B=∠ DCB=90°$．$\therefore AG=BG=BE=EC$．$\therefore ∠ BGE=∠ BEG=45°$．$\therefore ∠ AGE=135°$．$\because$CF是正方形ABCD的外角的平分线，$\therefore ∠ DCF=45°$．$\therefore ∠ ECF=135°=∠ AGE$．$\because ∠ AEF=90°=∠ ABC$，$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°=∠ AEB+∠ FEC$．$\therefore ∠ BAE=∠ FEC$．$\therefore △ AGE≌△ ECF$．$\therefore AE=EF$．【问题应用】如图②，在AB延长线上截取$BG=BE$，连接EG．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=∠ BCD=90°$．又$\because BG=BE$，$\therefore AG=CE$．$\because ∠ ABC=∠ BCD=90°$，$BG=BE$，CM为正方形ABCD的外角平分线，$\therefore ∠ AGE=∠ ECF=45°$．$\because ∠ ABE=90°$，$∠ AEF=90°$，$\therefore ∠ AEB+∠ EAG=90°$，$∠ AEB+∠ FEC=90°$．$\therefore ∠ EAG=∠ FEC$．在$△ EAG$和$△ FEC$中，$\begin{cases}∠ EAG=∠ FEC,\\AG=EC,\\∠ AGE=∠ ECF,\end{cases}\therefore △ EAG≌△ FEC$．$\therefore AE=EF$．【拓展迁移】如图③，在AB上取点H，使$AH=CE$，连接HE．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$∠ B=∠ BCD=90°$．$\because ∠ AEF=90°$，$\therefore ∠ AEB+∠ CEF=90°$，$∠ BAE+∠ AEB=90°$．$\therefore ∠ CEF=∠ BAE$．$\because AB - AH=BC - EC$，$\therefore BH=BE$．$\therefore ∠ BHE=45°$．$\therefore ∠ AHE=135°$．$\because AH=CE$，$∠ HAE=∠ CEF$，$AE=EF$，$\therefore △ HAE≌ △ CEF$．$\therefore ∠ AHE=∠ ECF=135°$．$\therefore ∠ DCF=45°$．作点D关于CF的对称点M，延长BC，则易知点B，C，M在同一条直线上，连接AM，此时$AF+DF$的最小值即为AM的长．$\because ∠ ECF=135°$，$\therefore ∠ FCM=45°$．$\therefore ∠ DMC=45°$．$\because ∠ DCM=90°$，$\therefore △ DCM$为等腰直角三角形．$\therefore DC=MC$．$\therefore MC=BC=AB=AD=1$．$\therefore BM=BC+MC=2$．在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理，得$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$．$\therefore △ ADF$周长的最小值为$1+\sqrt{5}$．