8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 4$，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，点 $P$，$Q$ 在 $EF$ 上，且满足 $PQ = 2$，则四边形 $APQB$ 的周长的最小值为 (
A.$10$
B.$12$
C.$14$
D.$16$
B
)A.$10$
B.$12$
C.$14$
D.$16$
答案：8.B
9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 10$，点 $E$，$F$，$G$，$H$ 分别在矩形各边上，$F$，$H$ 为不动点，$E$，$G$ 为动点.若使 $AF = CH$，$BE = DG$，则四边形 $EFGH$ 的周长的最小值为 (
A.$5\sqrt{5}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$15\sqrt{3}$
D.$10\sqrt{5}$
D
)A.$5\sqrt{5}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$15\sqrt{3}$
D.$10\sqrt{5}$
答案：9.D
10. （2024·启东期中）【问题原型】如图①，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 是边 $BC$ 的中点，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CF$ 于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“$E$ 是边 $BC$ 的中点”改为“$E$ 是直线 $BC$ 上任意一点（$B$，$C$ 两点除外）”时，结论 $AE = EF$ 还能成立.现请你证明下面这种情况：
如图②，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 为 $BC$ 反向延长线上一点，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CM$ 所在直线于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【拓展迁移】
如图③，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$E$ 为 $BC$ 边上一动点（点 $E$，$B$ 不重合），以 $AE$ 为直角边在 $BC$ 上方作等腰直角三角形 $AEF$，$\angle AEF = 90^{\circ}$，连接 $DF$，$CF$.在点 $E$ 的运动过程中，求 $\triangle ADF$ 周长的最小值.
【问题应用】
小红在老师的启发下对题目进行了探索，发现：当原题中的“$E$ 是边 $BC$ 的中点”改为“$E$ 是直线 $BC$ 上任意一点（$B$，$C$ 两点除外）”时，结论 $AE = EF$ 还能成立.现请你证明下面这种情况：
如图②，四边形 $ABCD$ 是正方形，$E$ 为 $BC$ 反向延长线上一点，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CM$ 所在直线于点 $F$.求证：$AE = EF$.
【拓展迁移】
如图③，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 1$，$E$ 为 $BC$ 边上一动点（点 $E$，$B$ 不重合），以 $AE$ 为直角边在 $BC$ 上方作等腰直角三角形 $AEF$，$\angle AEF = 90^{\circ}$，连接 $DF$，$CF$.在点 $E$ 的运动过程中，求 $\triangle ADF$ 周长的最小值.
答案：
10.【问题原型】如图①，取AB的中点G，连接EG．$\therefore BG=AG=\frac{1}{2}AB$．$\because$E是边BC的中点，$\therefore EC=BE=\frac{1}{2}BC$．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle B=\angle DCB=90^{\circ}$．$\therefore AG=BG=BE=EC$．$\therefore \angle BGE=\angle BEG=45^{\circ}$．$\therefore \angle AGE=135^{\circ}$．$\because$CF是正方形ABCD的外角的平分线，$\therefore \angle DCF=45^{\circ}$．$\therefore \angle ECF=135^{\circ}=\angle AGE$．$\because \angle AEF=90^{\circ}=\angle ABC$，$\therefore \angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}=\angle AEB+\angle FEC$．$\therefore \angle BAE=\angle FEC$．$\therefore \triangle AGE\cong\triangle ECF$．$\therefore AE=EF$．【问题应用】如图②，在AB延长线上截取$BG=BE$，连接EG．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}$．又$\because BG=BE$，$\therefore AG=CE$．$\because \angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}$，$BG=BE$，CM为正方形ABCD的外角平分线，$\therefore \angle AGE=\angle ECF=45^{\circ}$．$\because \angle ABE=90^{\circ}$，$\angle AEF=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEB+\angle EAG=90^{\circ}$，$\angle AEB+\angle FEC=90^{\circ}$．$\therefore \angle EAG=\angle FEC$．在$\triangle EAG$和$\triangle FEC$中，$\begin{cases}\angle EAG=\angle FEC,\\AG=EC,\\\angle AGE=\angle ECF,\end{cases}\therefore \triangle EAG\cong\triangle FEC$．$\therefore AE=EF$．【拓展迁移】如图③，在AB上取点H，使$AH=CE$，连接HE．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle B=\angle BCD=90^{\circ}$．$\because \angle AEF=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEB+\angle CEF=90^{\circ}$，$\angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}$．$\therefore \angle CEF=\angle BAE$．$\because AB - AH=BC - EC$，$\therefore BH=BE$．$\therefore \angle BHE=45^{\circ}$．$\therefore \angle AHE=135^{\circ}$．$\because AH=CE$，$\angle HAE=\angle CEF$，$AE=EF$，$\therefore \triangle HAE\cong \triangle CEF$．$\therefore \angle AHE=\angle ECF=135^{\circ}$．$\therefore \angle DCF=45^{\circ}$．作点D关于CF的对称点M，延长BC，则易知点B，C，M在同一条直线上，连接AM，此时$AF+DF$的最小值即为AM的长．$\because \angle ECF=135^{\circ}$，$\therefore \angle FCM=45^{\circ}$．$\therefore \angle DMC=45^{\circ}$．$\because \angle DCM=90^{\circ}$，$\therefore \triangle DCM$为等腰直角三角形．$\therefore DC=MC$．$\therefore MC=BC=AB=AD=1$．$\therefore BM=BC+MC=2$．在$\mathrm{Rt}\triangle ABM$中，由勾股定理，得$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$．$\therefore \triangle ADF$周长的最小值为$1+\sqrt{5}$．
10.【问题原型】如图①，取AB的中点G，连接EG．$\therefore BG=AG=\frac{1}{2}AB$．$\because$E是边BC的中点，$\therefore EC=BE=\frac{1}{2}BC$．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle B=\angle DCB=90^{\circ}$．$\therefore AG=BG=BE=EC$．$\therefore \angle BGE=\angle BEG=45^{\circ}$．$\therefore \angle AGE=135^{\circ}$．$\because$CF是正方形ABCD的外角的平分线，$\therefore \angle DCF=45^{\circ}$．$\therefore \angle ECF=135^{\circ}=\angle AGE$．$\because \angle AEF=90^{\circ}=\angle ABC$，$\therefore \angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}=\angle AEB+\angle FEC$．$\therefore \angle BAE=\angle FEC$．$\therefore \triangle AGE\cong\triangle ECF$．$\therefore AE=EF$．【问题应用】如图②，在AB延长线上截取$BG=BE$，连接EG．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}$．又$\because BG=BE$，$\therefore AG=CE$．$\because \angle ABC=\angle BCD=90^{\circ}$，$BG=BE$，CM为正方形ABCD的外角平分线，$\therefore \angle AGE=\angle ECF=45^{\circ}$．$\because \angle ABE=90^{\circ}$，$\angle AEF=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEB+\angle EAG=90^{\circ}$，$\angle AEB+\angle FEC=90^{\circ}$．$\therefore \angle EAG=\angle FEC$．在$\triangle EAG$和$\triangle FEC$中，$\begin{cases}\angle EAG=\angle FEC,\\AG=EC,\\\angle AGE=\angle ECF,\end{cases}\therefore \triangle EAG\cong\triangle FEC$．$\therefore AE=EF$．【拓展迁移】如图③，在AB上取点H，使$AH=CE$，连接HE．$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC$，$\angle B=\angle BCD=90^{\circ}$．$\because \angle AEF=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEB+\angle CEF=90^{\circ}$，$\angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}$．$\therefore \angle CEF=\angle BAE$．$\because AB - AH=BC - EC$，$\therefore BH=BE$．$\therefore \angle BHE=45^{\circ}$．$\therefore \angle AHE=135^{\circ}$．$\because AH=CE$，$\angle HAE=\angle CEF$，$AE=EF$，$\therefore \triangle HAE\cong \triangle CEF$．$\therefore \angle AHE=\angle ECF=135^{\circ}$．$\therefore \angle DCF=45^{\circ}$．作点D关于CF的对称点M，延长BC，则易知点B，C，M在同一条直线上，连接AM，此时$AF+DF$的最小值即为AM的长．$\because \angle ECF=135^{\circ}$，$\therefore \angle FCM=45^{\circ}$．$\therefore \angle DMC=45^{\circ}$．$\because \angle DCM=90^{\circ}$，$\therefore \triangle DCM$为等腰直角三角形．$\therefore DC=MC$．$\therefore MC=BC=AB=AD=1$．$\therefore BM=BC+MC=2$．在$\mathrm{Rt}\triangle ABM$中，由勾股定理，得$AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$．$\therefore \triangle ADF$周长的最小值为$1+\sqrt{5}$．