25. 如图，在五边形 $ABCDE$ 中，$AP$ 平分 $\angle EAB$，且 $AP// DE$，交 $CD$ 于点 $P$.
(1)五边形 $ABCDE$ 的内角和为
(2)若 $\angle C = 100^{\circ}$，$\angle D = 75^{\circ}$，$\angle E = 135^{\circ}$，求 $\angle B$ 的度数.
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(1)五边形 $ABCDE$ 的内角和为
$540 ^ { \circ }$
；(2)若 $\angle C = 100^{\circ}$，$\angle D = 75^{\circ}$，$\angle E = 135^{\circ}$，求 $\angle B$ 的度数.
]答案：25.(1)$540 ^ { \circ }$ (2)$\because AP// DE$，$\angle E=135°$，$\therefore \angle EAP=180°-\angle E=45°$。$\because AP$平分$\angle EAB$，$\therefore \angle EAB=2\angle EAP=90°$。$\because \angle C=100°$，$\angle D=75°$，$\therefore \angle B=540°-\angle C-\angle EAB-\angle E-\angle D=140°$
解析：
(1) $540°$
(2) 解：$\because AP // DE$，$\angle E = 135°$，
$\therefore \angle EAP = 180° - \angle E = 180° - 135° = 45°$。
$\because AP$平分$\angle EAB$，
$\therefore \angle EAB = 2\angle EAP = 2 × 45° = 90°$。
$\because$五边形内角和为$540°$，$\angle C = 100°$，$\angle D = 75°$，
$\therefore \angle B = 540° - \angle EAB - \angle E - \angle D - \angle C = 540° - 90° - 135° - 75° - 100° = 140°$。
(2) 解：$\because AP // DE$，$\angle E = 135°$，
$\therefore \angle EAP = 180° - \angle E = 180° - 135° = 45°$。
$\because AP$平分$\angle EAB$，
$\therefore \angle EAB = 2\angle EAP = 2 × 45° = 90°$。
$\because$五边形内角和为$540°$，$\angle C = 100°$，$\angle D = 75°$，
$\therefore \angle B = 540° - \angle EAB - \angle E - \angle D - \angle C = 540° - 90° - 135° - 75° - 100° = 140°$。
26. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AE⊥ BC$ 于点 $E$，延长 $BC$ 至点 $F$，使 $CF = BE$，连接 $DF$，$AF$ 与 $DE$ 交于点 $O$.
（1）求证：四边形 $AEFD$ 为矩形；
（2）若 $AB = 6$，$OE = 4$，$\angle BAE = \angle DEF$，求 $BF$，$DF$ 的长.
（1）求证：四边形 $AEFD$ 为矩形；
（2）若 $AB = 6$，$OE = 4$，$\angle BAE = \angle DEF$，求 $BF$，$DF$ 的长.
答案：26.(1)$\because BE=CF$，$\therefore BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$AD=BC$。$\therefore AD=BC=EF$。又$\because AD// EF$，$\therefore$四边形AEFD为平行四边形。$\because AE⊥ BC$，$\therefore \angle AEF=90°$。$\therefore$四边形AEFD为矩形
(2)$\because$四边形AEFD为矩形，$\therefore AF=DE$，$OA=OF=\frac{1}{2}AF$，$OD=OE=\frac{1}{2}DE$，$AE=DF$。$\therefore AF=DE=2OE=8$，$OA=OF=OD=OE$。$\therefore \angle DEF=\angle AFE$。又$\because \angle AEF=90°$，$\therefore \angle EAF+\angle AFE=90°$。$\because \angle BAE=\angle DEF$，$\therefore \angle BAE+\angle EAF=90°$，即$\angle BAF=90°$。在$Rt\triangle BAF$中，由勾股定理，得$BF=\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。$\because S_{\triangle BAF}=\frac{1}{2}AB· AF=\frac{1}{2}BF· AE$，$\therefore \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AE$。$\therefore AE=4.8$。$\therefore DF=AE=4.8$
(2)$\because$四边形AEFD为矩形，$\therefore AF=DE$，$OA=OF=\frac{1}{2}AF$，$OD=OE=\frac{1}{2}DE$，$AE=DF$。$\therefore AF=DE=2OE=8$，$OA=OF=OD=OE$。$\therefore \angle DEF=\angle AFE$。又$\because \angle AEF=90°$，$\therefore \angle EAF+\angle AFE=90°$。$\because \angle BAE=\angle DEF$，$\therefore \angle BAE+\angle EAF=90°$，即$\angle BAF=90°$。在$Rt\triangle BAF$中，由勾股定理，得$BF=\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。$\because S_{\triangle BAF}=\frac{1}{2}AB· AF=\frac{1}{2}BF· AE$，$\therefore \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AE$。$\therefore AE=4.8$。$\therefore DF=AE=4.8$
27. (2025·海门期中)在正方形 $ABCD$ 中，$G$ 是射线 $AC$ 上一动点(不与点 $A$，$C$ 重合)，连接 $BG$，作 $BH⊥ BG$，且使 $BH = BG$，连接 $GH$，$CH$.
(1)如图①，若点 $G$ 在线段 $AC$ 上.
① 图中与 $\triangle ABG$ 全等的三角形是
② 线段 $AG$，$CG$，$GH$ 之间的数量关系是
(2)如图②，若点 $G$ 在 $AC$ 的延长线上，则线段 $AG$，$CG$，$BG$ 之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明.
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(1)如图①，若点 $G$ 在线段 $AC$ 上.
① 图中与 $\triangle ABG$ 全等的三角形是
$\triangle CBH$
；② 线段 $AG$，$CG$，$GH$ 之间的数量关系是
$AG^{2}+CG^{2}=GH^{2}$
。(2)如图②，若点 $G$ 在 $AC$ 的延长线上，则线段 $AG$，$CG$，$BG$ 之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明.
]答案：27.(1)①$\triangle CBH$ ②$AG^{2}+CG^{2}=GH^{2}$ (2)$AG^{2}+CG^{2}=2BG^{2}$ $\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore \angle ABC=90°$，$\angle BAC=\angle BCA=45°$，$AB=BC$。$\because \angle GBH=90°$，$\therefore \angle ABC+\angle GBC=\angle GBH+\angle GBC$，即$\angle ABG=\angle CBH$。又$\because BG=BH$，$\therefore \triangle ABG\cong\triangle CBH$。$\therefore AG=CH$，$\angle BAG=\angle BCH=45°$。$\therefore \angle ACH=\angle ACB+\angle BCH=45°+45°=90°$。$\therefore \angle GCH=180°-\angle ACH=90°$。在$Rt\triangle GCH$中，由勾股定理，得$CH^{2}+CG^{2}=GH^{2}$，$\therefore AG^{2}+CG^{2}=GH^{2}$。$\because \angle GBH=90°$，$BG=BH$，$\therefore GH^{2}=BG^{2}+BH^{2}=2BG^{2}$。$\therefore AG^{2}+CG^{2}=2BG^{2}$