25. （14 分）如图①，在矩形纸片$ABCD$中，$AD = 8\ cm$，$AB = 12\ cm$。
【实践操作】
第一步：如图②，将图①中的矩形纸片$ABCD$沿过点$A$的直线折叠，使点$D$落在$AB$上的点$E$处，折痕为$AF$，然后把纸片展平，连接$EF$；
第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点$D$与点$F$重合，折痕为$GH$，然后展平，隐去$AF$；
第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿$AH$折叠，得到$\triangle AD'H$，延长$AD'$与$EF$交于点$N$，与$DC$交于点$M$。
【问题解决】
(1) 求证：图②中的四边形$AEFD$是正方形；
(2) 请判断图④中的$NF$与$ND'$的数量关系，并加以证明；
(3) 求图④中的$NE$的长。
【实践操作】
第一步：如图②，将图①中的矩形纸片$ABCD$沿过点$A$的直线折叠，使点$D$落在$AB$上的点$E$处，折痕为$AF$，然后把纸片展平，连接$EF$；
第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点$D$与点$F$重合，折痕为$GH$，然后展平，隐去$AF$；
第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿$AH$折叠，得到$\triangle AD'H$，延长$AD'$与$EF$交于点$N$，与$DC$交于点$M$。
【问题解决】
(1) 求证：图②中的四边形$AEFD$是正方形；
(2) 请判断图④中的$NF$与$ND'$的数量关系，并加以证明；
(3) 求图④中的$NE$的长。
答案：
25. (1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle D=\angle DAE = 90°$。由折叠的性质，知$AE = AD$，$\angle AEF=\angle D = 90°$，$\therefore \angle D=\angle DAE=\angle AEF = 90°$，$\therefore$四边形$AEFD$是矩形。$\because AE = AD$，$\therefore$四边形$AEFD$是正方形。(2)$NF = ND'$。如图，连接$HN$。由折叠的性质，知$\angle AD'H=\angle D = 90°$，$HF = HD = HD'$。$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore \angle EFD = 90°$。$\because \angle AD'H = 90°$，$\therefore \angle HD'N = 90°$。在$Rt\triangle HNF$和$Rt\triangle HND'$中，$\begin{cases}HN = HN\\HF = HD'\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle HNF\cong Rt\triangle HND'$，$\therefore NF = ND'$。(3)$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore AE = EF = AD = 8\ cm$。由折叠的性质，知$AD' = AD = 8\ cm$。设$NF = x\ cm$，则$ND' = x\ cm$，$\therefore AN=AD'+ND'=(8 + x)\ cm$，$EN = EF - NF=(8 - x)\ cm$。在$Rt\triangle AEN$中，由勾股定理，得$(8 + x)^{2}=8^{2}+(8 - x)^{2}$，解得$x = 2$，$\therefore EN = 8 - 2 = 6(cm)$。
25. (1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle D=\angle DAE = 90°$。由折叠的性质，知$AE = AD$，$\angle AEF=\angle D = 90°$，$\therefore \angle D=\angle DAE=\angle AEF = 90°$，$\therefore$四边形$AEFD$是矩形。$\because AE = AD$，$\therefore$四边形$AEFD$是正方形。(2)$NF = ND'$。如图，连接$HN$。由折叠的性质，知$\angle AD'H=\angle D = 90°$，$HF = HD = HD'$。$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore \angle EFD = 90°$。$\because \angle AD'H = 90°$，$\therefore \angle HD'N = 90°$。在$Rt\triangle HNF$和$Rt\triangle HND'$中，$\begin{cases}HN = HN\\HF = HD'\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle HNF\cong Rt\triangle HND'$，$\therefore NF = ND'$。(3)$\because$四边形$AEFD$是正方形，$\therefore AE = EF = AD = 8\ cm$。由折叠的性质，知$AD' = AD = 8\ cm$。设$NF = x\ cm$，则$ND' = x\ cm$，$\therefore AN=AD'+ND'=(8 + x)\ cm$，$EN = EF - NF=(8 - x)\ cm$。在$Rt\triangle AEN$中，由勾股定理，得$(8 + x)^{2}=8^{2}+(8 - x)^{2}$，解得$x = 2$，$\therefore EN = 8 - 2 = 6(cm)$。