24. (13 分)阅读材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$。善于思考的小明进行了以下探索：
设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数)，则有$a + b\sqrt{2} = m^{2} + 2n^{2} + 2\sqrt{2}mn$。
$\therefore a = m^{2} + 2n^{2}$，$b = 2mn$。这样小明就找到了一种把式子$a + b\sqrt{2}$化为平方式的方法。
根据上面的材料，解决下列问题：
(1) 当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，则$a =$
(2) 利用(1)中的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n(m \neq n)$，使得$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$成立，且$a + b + m + n$的值最小，请直接写出$a$，$b$，$m$，$n$的值；
(3) 若$a + 6\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值。
小明在学习完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$。善于思考的小明进行了以下探索：
设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数)，则有$a + b\sqrt{2} = m^{2} + 2n^{2} + 2\sqrt{2}mn$。
$\therefore a = m^{2} + 2n^{2}$，$b = 2mn$。这样小明就找到了一种把式子$a + b\sqrt{2}$化为平方式的方法。
根据上面的材料，解决下列问题：
(1) 当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，则$a =$
$m^{2}+3n^{2}$
，$b =$$2mn$
；(2) 利用(1)中的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n(m \neq n)$，使得$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$成立，且$a + b + m + n$的值最小，请直接写出$a$，$b$，$m$，$n$的值；
(3) 若$a + 6\sqrt{5} = (m + n\sqrt{5})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值。
答案：24. (1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$ (2)当$n = 1$，$m = 2$时，$a = 2^{2}+3×1^{2}=7$，$b = 2×2×1 = 4$，$\therefore$当$a = 7$，$b = 4$，$m = 2$，$n = 1$时，$a + b + m + n$的值最小。(3)$(m + n\sqrt{5})^{2}=m^{2}+2\sqrt{5}mn+5n^{2}=a + 6\sqrt{5}$，$\therefore a = m^{2}+5n^{2}$，$6 = 2mn$，$\therefore mn = 3$。$\because a$，$m$，$n$均为正整数，$\therefore m = 1$，$n = 3$或$m = 3$，$n = 1$。当$m = 1$，$n = 3$时，$a = 1^{2}+5×3^{2}=46$；当$m = 3$，$n = 1$时，$a = 3^{2}+5×1^{2}=14$。综上所述，$a$的值为$14$或$46$。
解析：
(1) $m^{2}+3n^{2}$；$2mn$
(2) $a=7$，$b=4$，$m=2$，$n=1$
(3) $\because (m + n\sqrt{5})^{2}=m^{2}+2\sqrt{5}mn + 5n^{2}=a + 6\sqrt{5}$
$\therefore a = m^{2}+5n^{2}$，$6 = 2mn$
$\therefore mn = 3$
$\because a$，$m$，$n$均为正整数
$\therefore m = 1$，$n = 3$或$m = 3$，$n = 1$
当$m = 1$，$n = 3$时，$a = 1^{2}+5×3^{2}=46$
当$m = 3$，$n = 1$时，$a = 3^{2}+5×1^{2}=14$
$\therefore a$的值为$14$或$46$
(2) $a=7$，$b=4$，$m=2$，$n=1$
(3) $\because (m + n\sqrt{5})^{2}=m^{2}+2\sqrt{5}mn + 5n^{2}=a + 6\sqrt{5}$
$\therefore a = m^{2}+5n^{2}$，$6 = 2mn$
$\therefore mn = 3$
$\because a$，$m$，$n$均为正整数
$\therefore m = 1$，$n = 3$或$m = 3$，$n = 1$
当$m = 1$，$n = 3$时，$a = 1^{2}+5×3^{2}=46$
当$m = 3$，$n = 1$时，$a = 3^{2}+5×1^{2}=14$
$\therefore a$的值为$14$或$46$