23. （13 分）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”。
【应用探究】
(1) 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = \sqrt{3}$，$AC = 2$。求证：$\triangle ABC$是“奇异三角形”。
(2) 已知等腰三角形$ABC$是“奇异三角形”，$AB = AC = 20$，求底边$BC$的长（结果保留根号）。
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”。
【应用探究】
(1) 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = \sqrt{3}$，$AC = 2$。求证：$\triangle ABC$是“奇异三角形”。
(2) 已知等腰三角形$ABC$是“奇异三角形”，$AB = AC = 20$，求底边$BC$的长（结果保留根号）。
答案：
23. (1)如图①，取$AC$的中点$D$，连接$BD$，则$BD$为$Rt\triangle ABC$的边$AC$上的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}AC = 1$。又$\because BC=\sqrt{3}$，$\therefore BD=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} = 2 = AC$，$\therefore \triangle ABC$是“奇异三角形”。(2)分两种情况：如图②，当腰上的中线$BD = AC$时，$AB = BD$，过点$B$作$BE⊥ AD$于点$E$。$\because AB = AC = 20$，$\therefore BD = 20$，$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC = 5$，$\therefore CE = 10 + 5 = 15$。在$Rt\triangle BDE$中，$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}=375$。在$Rt\triangle BCE$中，$BC=\sqrt{BE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{375 + 15^{2}} = 10\sqrt{6}$。如图③，当底边上的中线$AD = BC$时，$AD⊥ BC$，且$AD = 2BD$。设$BD = x$，则$x^{2}+(2x)^{2}=20^{2}$，$\therefore x=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$(负值舍去)，$\therefore BC = 2x = 8\sqrt{5}$。综上所述，底边$BC$的长为$10\sqrt{6}$或$8\sqrt{5}$。
23. (1)如图①，取$AC$的中点$D$，连接$BD$，则$BD$为$Rt\triangle ABC$的边$AC$上的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}AC = 1$。又$\because BC=\sqrt{3}$，$\therefore BD=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}} = 2 = AC$，$\therefore \triangle ABC$是“奇异三角形”。(2)分两种情况：如图②，当腰上的中线$BD = AC$时，$AB = BD$，过点$B$作$BE⊥ AD$于点$E$。$\because AB = AC = 20$，$\therefore BD = 20$，$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AC = 5$，$\therefore CE = 10 + 5 = 15$。在$Rt\triangle BDE$中，$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}=375$。在$Rt\triangle BCE$中，$BC=\sqrt{BE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{375 + 15^{2}} = 10\sqrt{6}$。如图③，当底边上的中线$AD = BC$时，$AD⊥ BC$，且$AD = 2BD$。设$BD = x$，则$x^{2}+(2x)^{2}=20^{2}$，$\therefore x=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$(负值舍去)，$\therefore BC = 2x = 8\sqrt{5}$。综上所述，底边$BC$的长为$10\sqrt{6}$或$8\sqrt{5}$。