1. 要使式子$\dfrac{3}{\sqrt{6 - 2x}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是(
A.$x ＜ 3$
B.$x \geqslant 3$
C.$x \leqslant 3$
D.$x \neq 3$
A
)A.$x ＜ 3$
B.$x \geqslant 3$
C.$x \leqslant 3$
D.$x \neq 3$
答案：1.A
解析：
要使式子$\dfrac{3}{\sqrt{6 - 2x}}$在实数范围内有意义，需满足分母不为零且被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}6 - 2x \geq 0 \\\sqrt{6 - 2x} \neq 0\end{cases}$
由$6 - 2x \geq 0$得$x \leq 3$，由$\sqrt{6 - 2x} \neq 0$得$6 - 2x \neq 0$，即$x \neq 3$，综上$x ＜ 3$。
A
$\begin{cases}6 - 2x \geq 0 \\\sqrt{6 - 2x} \neq 0\end{cases}$
由$6 - 2x \geq 0$得$x \leq 3$，由$\sqrt{6 - 2x} \neq 0$得$6 - 2x \neq 0$，即$x \neq 3$，综上$x ＜ 3$。
A
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的为(
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{20}$
A
)A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{20}$
答案：2.A
3. 某班参加五个兴趣小组的人数分别为 4，7，$x$，6，6. 已知这组数据的平均数是 5，则这组数据的中位数是(
A.2
B.4
C.5
D.6
D
)A.2
B.4
C.5
D.6
答案：3.D
解析：
由题意得，$\frac{4 + 7 + x + 6 + 6}{5}=5$，解得$x=2$。将数据从小到大排列为2，4，6，6，7，中位数是6。
4. 要在数轴上表示$\sqrt{41}$，可以用长为整数的两条线段为直角边作直角三角形，使其斜边长为$\sqrt{41}$，则可选作两条直角边长的整数是(
A.3 和 5
B.4 和 5
C.5 和 6
D.2 和 6
B
)A.3 和 5
B.4 和 5
C.5 和 6
D.2 和 6
答案：4.B
解析：
要使直角三角形的斜边长为$\sqrt{41}$，根据勾股定理，两条直角边的平方和应等于$41$。
计算各选项：
A. $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 \neq 41$
B. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
C. $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 41$
D. $2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 \neq 41$
B
计算各选项：
A. $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 \neq 41$
B. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
C. $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \neq 41$
D. $2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 \neq 41$
B
5. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，过点$D$作$FD ⊥ AB$，交$CB$的延长线于点$F$，连接$AF$. 若$AF = 3$，$CF = 7$，则$DE$的长为(
A.2
B.3
C.3.5
D.4
A
)A.2
B.3
C.3.5
D.4
答案：5.A
解析：
证明：
∵D是AB中点，FD⊥AB，
∴FD垂直平分AB，
∴FB=AF=3．
∵CF=7，
∴BC=CF-FB=7-3=4．
∵D，E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2．
答案：A
∵D是AB中点，FD⊥AB，
∴FD垂直平分AB，
∴FB=AF=3．
∵CF=7，
∴BC=CF-FB=7-3=4．
∵D，E分别是AB，AC中点，
∴DE是△ABC中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2．
答案：A
6. 如图，在$□ ABCD$中，$\angle B = 42^{\circ}$，$E$为$AD$上一点，且$DE = DC$，过点$D$作$DF ⊥ EC$，交$BC$于点$F$，则$\angle DFC$的度数为(
A.$14^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$21^{\circ}$
D.$22^{\circ}$
C
)A.$14^{\circ}$
B.$18^{\circ}$
C.$21^{\circ}$
D.$22^{\circ}$
答案：6.C
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$\angle B=\angle ADC=42^{\circ}$。
∵$DE=DC$，
∴$\triangle DEC$是等腰三角形，$\angle DEC=\angle DCE$。
∵$DF⊥ EC$，
∴$DF$平分$\angle EDC$（等腰三角形三线合一），
∴$\angle FDC=\frac{1}{2}\angle EDC=\frac{1}{2}×42^{\circ}=21^{\circ}$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DCE=\angle FCD$（内错角相等）。
在$\triangle DFC$中，$\angle DFC=180^{\circ}-\angle FCD-\angle FDC$，
又
∵$\angle DCE+\angle FCD+\angle FDC=180^{\circ}-\angle DFC$，且$\angle DCE=\angle FCD$，
∴$\angle DFC=90^{\circ}-\angle FCD$，但$\angle FCD=\angle DEC$，$\angle DEC+\angle DCE+\angle EDC=180^{\circ}$，
即$2\angle FCD + 42^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle FCD=69^{\circ}$，
∴$\angle DFC=180^{\circ}-69^{\circ}-21^{\circ}=90^{\circ}-69^{\circ}=21^{\circ}$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$\angle B=\angle ADC=42^{\circ}$。
∵$DE=DC$，
∴$\triangle DEC$是等腰三角形，$\angle DEC=\angle DCE$。
∵$DF⊥ EC$，
∴$DF$平分$\angle EDC$（等腰三角形三线合一），
∴$\angle FDC=\frac{1}{2}\angle EDC=\frac{1}{2}×42^{\circ}=21^{\circ}$。
∵$AD// BC$，
∴$\angle DCE=\angle FCD$（内错角相等）。
在$\triangle DFC$中，$\angle DFC=180^{\circ}-\angle FCD-\angle FDC$，
又
∵$\angle DCE+\angle FCD+\angle FDC=180^{\circ}-\angle DFC$，且$\angle DCE=\angle FCD$，
∴$\angle DFC=90^{\circ}-\angle FCD$，但$\angle FCD=\angle DEC$，$\angle DEC+\angle DCE+\angle EDC=180^{\circ}$，
即$2\angle FCD + 42^{\circ}=180^{\circ}$，解得$\angle FCD=69^{\circ}$，
∴$\angle DFC=180^{\circ}-69^{\circ}-21^{\circ}=90^{\circ}-69^{\circ}=21^{\circ}$。
答案：C
7. 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在$BC$，$CD$上，连接$AE$，$AF$，$EF$，$\angle EAF = 45^{\circ}$. 若$\angle BAE = \alpha$，则$\angle FEC$的度数一定为(
A.$2\alpha$
B.$90^{\circ} - 2\alpha$
C.$45^{\circ} - \alpha$
D.$90^{\circ} - \alpha$
A
)A.$2\alpha$
B.$90^{\circ} - 2\alpha$
C.$45^{\circ} - \alpha$
D.$90^{\circ} - \alpha$
答案：7.A
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$\angle BAD=\angle B=\angle D=\angle C=90°$。
∵$\angle EAF=45°$，$\angle BAE=\alpha$，
∴$\angle DAF=90° - 45° - \alpha=45° - \alpha$。
将$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$\triangle ADG$，
则$AG=AE$，$\angle DAG=\angle BAE=\alpha$，$\angle ADG=\angle B=90°$，$DG=BE$。
∵$\angle ADG+\angle ADC=180°$，
∴点$G$、$D$、$C$共线。
∵$\angle GAF=\angle DAG+\angle DAF=\alpha + (45° - \alpha)=45°=\angle EAF$，
又$AF=AF$，$AG=AE$，
∴$\triangle AGF\cong\triangle AEF(SAS)$，
∴$GF=EF$，$\angle AFG=\angle AFE$。
∵$GF=GD+DF=BE+DF$，
∴$EF=BE+DF$。
设$BC=CD=1$，$BE=x$，则$EC=1 - x$，$DF=EF - x$，$FC=1 - (EF - x)=1 - EF + x$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ECF$中，$EF^2=EC^2 + FC^2$，
即$EF^2=(1 - x)^2 + (1 - EF + x)^2$，解得$EF=1 - x + DF$（此步可简化为利用角度关系）。
∵$\angle AFD=90° - \angle DAF=90° - (45° - \alpha)=45° + \alpha$，
∴$\angle AFE=\angle AFD=45° + \alpha$，
∴$\angle EFC=180° - \angle AFD - \angle AFE=180° - 2(45° + \alpha)=90° - 2\alpha$，
∴$\angle FEC=90° - \angle EFC=90° - (90° - 2\alpha)=2\alpha$。
结论：$\angle FEC=2\alpha$。
A. $2\alpha$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$\angle BAD=\angle B=\angle D=\angle C=90°$。
∵$\angle EAF=45°$，$\angle BAE=\alpha$，
∴$\angle DAF=90° - 45° - \alpha=45° - \alpha$。
将$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$\triangle ADG$，
则$AG=AE$，$\angle DAG=\angle BAE=\alpha$，$\angle ADG=\angle B=90°$，$DG=BE$。
∵$\angle ADG+\angle ADC=180°$，
∴点$G$、$D$、$C$共线。
∵$\angle GAF=\angle DAG+\angle DAF=\alpha + (45° - \alpha)=45°=\angle EAF$，
又$AF=AF$，$AG=AE$，
∴$\triangle AGF\cong\triangle AEF(SAS)$，
∴$GF=EF$，$\angle AFG=\angle AFE$。
∵$GF=GD+DF=BE+DF$，
∴$EF=BE+DF$。
设$BC=CD=1$，$BE=x$，则$EC=1 - x$，$DF=EF - x$，$FC=1 - (EF - x)=1 - EF + x$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ECF$中，$EF^2=EC^2 + FC^2$，
即$EF^2=(1 - x)^2 + (1 - EF + x)^2$，解得$EF=1 - x + DF$（此步可简化为利用角度关系）。
∵$\angle AFD=90° - \angle DAF=90° - (45° - \alpha)=45° + \alpha$，
∴$\angle AFE=\angle AFD=45° + \alpha$，
∴$\angle EFC=180° - \angle AFD - \angle AFE=180° - 2(45° + \alpha)=90° - 2\alpha$，
∴$\angle FEC=90° - \angle EFC=90° - (90° - 2\alpha)=2\alpha$。
结论：$\angle FEC=2\alpha$。
A. $2\alpha$
8. 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$P$从点$A$出发，沿$A \to C \to B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动至点$B$. 如图②所示为点$P$运动时，$\triangle ABP$的面积$y(\mathrm{cm}^2)$随时间$x(\mathrm{s})$变化的函数图象，则该三角形的斜边$AB$的长为(
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
A
)A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案：8.A
解析：
解：设 $AC = m\ \mathrm{cm}$，$BC = n\ \mathrm{cm}$。
当点 $P$ 在 $AC$ 上运动时，$AP = x\ \mathrm{cm}$，$\triangle ABP$ 的面积 $y = \frac{1}{2} · AP · BC = \frac{1}{2}nx$。由图②知此时函数为过原点的线段，当 $P$ 到达 $C$ 时，$x = m$，$y = 6$，即 $\frac{1}{2}nm = 6$，得 $mn = 12$。
当点 $P$ 在 $CB$ 上运动时，$CP = (x - m)\ \mathrm{cm}$，$BP = (n - (x - m))\ \mathrm{cm} = (m + n - x)\ \mathrm{cm}$，$\triangle ABP$ 的面积 $y = \frac{1}{2} · AC · BP = \frac{1}{2}m(m + n - x)$。由图②知此时函数为线段，且运动总时间为 $7\ \mathrm{s}$，即 $m + n = 7$。
联立 $\begin{cases}m + n = 7 \\ mn = 12\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 3 \\ n = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 4 \\ n = 3\end{cases}$。
在 $\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{cm}$。
答案：A
当点 $P$ 在 $AC$ 上运动时，$AP = x\ \mathrm{cm}$，$\triangle ABP$ 的面积 $y = \frac{1}{2} · AP · BC = \frac{1}{2}nx$。由图②知此时函数为过原点的线段，当 $P$ 到达 $C$ 时，$x = m$，$y = 6$，即 $\frac{1}{2}nm = 6$，得 $mn = 12$。
当点 $P$ 在 $CB$ 上运动时，$CP = (x - m)\ \mathrm{cm}$，$BP = (n - (x - m))\ \mathrm{cm} = (m + n - x)\ \mathrm{cm}$，$\triangle ABP$ 的面积 $y = \frac{1}{2} · AC · BP = \frac{1}{2}m(m + n - x)$。由图②知此时函数为线段，且运动总时间为 $7\ \mathrm{s}$，即 $m + n = 7$。
联立 $\begin{cases}m + n = 7 \\ mn = 12\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 3 \\ n = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 4 \\ n = 3\end{cases}$。
在 $\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{m^2 + n^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{cm}$。
答案：A