20. （8 分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路. 如图，现从 A 地分别向 C，D，B 三地修建了三条笔直的公路 AC，AD 和 AB，C，D，B 三地在同一条笔直公路上，公路 AC 和公路 CB 互相垂直，又从 D 地修建了一条笔直的公路 DH 与公路 AB 在点 H 处连接，且公路 DH 和公路 AB 互相垂直. 已知 AC = 9 千米，AB = 15 千米，BD = 5 千米.
（1）求公路 CD 的长度；
（2）若修建公路 DH 每千米的费用是 2 000 万元，求修建公路 DH 的总费用.
（1）求公路 CD 的长度；
（2）若修建公路 DH 每千米的费用是 2 000 万元，求修建公路 DH 的总费用.
答案：20.(1)在$Rt△ABC$中，
∵$∠C = 90°$,$AC = 9$千米,$AB = 15$千米,
∴$BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = \sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$千米.
∵$BD = 5$千米,
∴$CD = 12 - 5 = 7$千米.
∴公路$CD$的长度为$7$千米
(2)
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}DB· AC=\frac{1}{2}AB· DH$,
∴$DH=\frac{DB· AC}{AB}=\frac{5×9}{15}=3$千米.
∴修建公路$DH$的总费用为$3×2000 = 6000$万元
∵$∠C = 90°$,$AC = 9$千米,$AB = 15$千米,
∴$BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = \sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$千米.
∵$BD = 5$千米,
∴$CD = 12 - 5 = 7$千米.
∴公路$CD$的长度为$7$千米
(2)
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}DB· AC=\frac{1}{2}AB· DH$,
∴$DH=\frac{DB· AC}{AB}=\frac{5×9}{15}=3$千米.
∴修建公路$DH$的总费用为$3×2000 = 6000$万元
21. （8 分）如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，村庄 A 到公路 l 的距离 AC = 1 km，村庄 B 到公路 l 的距离 BD = 2 km，CD = 4 km.
（1）求 A，B 两个村庄之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路 CD 的中点处新建一个汽车站 P，汽车站 P 到哪个村庄较近一些？为什么？
（1）求 A，B 两个村庄之间的距离.
（2）为方便村民出行，计划在公路 CD 的中点处新建一个汽车站 P，汽车站 P 到哪个村庄较近一些？为什么？
答案：
21.(1)如图，过点$B$作直线$l$的平行线，交$AC$的延长线于点$E$, 易知$∠E = 90°$,$CE = BD = 2km$,$BE = CD = 4km$.在$Rt△AEB$中,$AE = AC + CE = 3km$,$BE = 4km$,
∴由勾股定理,得$AB = \sqrt{AE^{2}+BE^{2}} = 5km$.
∴$A$,$B$两个村庄之间的距离为$5km$ (2)汽车站$P$到村庄$A$较近一些.
∵$P$为$CD$的中点，
∴$CP = PD=\frac{1}{2}CD = 2km$.在$Rt△ACP$中,由勾股定理,得$AP = \sqrt{AC^{2}+CP^{2}}=\sqrt{5}km$.在$Rt△PBD$中,由勾股定理,得$BP = \sqrt{PD^{2}+BD^{2}} = 2\sqrt{2}km$.
∵$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}$,
∴汽车站$P$到村庄$A$较近一些
21.(1)如图，过点$B$作直线$l$的平行线，交$AC$的延长线于点$E$, 易知$∠E = 90°$,$CE = BD = 2km$,$BE = CD = 4km$.在$Rt△AEB$中,$AE = AC + CE = 3km$,$BE = 4km$,
∴由勾股定理,得$AB = \sqrt{AE^{2}+BE^{2}} = 5km$.
∴$A$,$B$两个村庄之间的距离为$5km$ (2)汽车站$P$到村庄$A$较近一些.
∵$P$为$CD$的中点，
∴$CP = PD=\frac{1}{2}CD = 2km$.在$Rt△ACP$中,由勾股定理,得$AP = \sqrt{AC^{2}+CP^{2}}=\sqrt{5}km$.在$Rt△PBD$中,由勾股定理,得$BP = \sqrt{PD^{2}+BD^{2}} = 2\sqrt{2}km$.
∵$\sqrt{5}＜2\sqrt{2}$,
∴汽车站$P$到村庄$A$较近一些
22. （10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，D 为边 AB 上的一个动点（不与点 A，B 及 AB 的中点重合），连接 CD，点 A 关于直线 CD 的对称点为 E，直线 BE，CD 交于点 F.
（1）如图①，当∠ACD = 15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC 的度数；
（2）如图②，当 45° ＜ ∠ACD ＜ 90°时，用等式表示线段 AC，EF，BF 之间的数量关系，并加以证明.
（1）如图①，当∠ACD = 15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC 的度数；
（2）如图②，当 45° ＜ ∠ACD ＜ 90°时，用等式表示线段 AC，EF，BF 之间的数量关系，并加以证明.
答案：
22.(1)如图①所示 $∠BFC = 45°$ (2)$BF^{2}+EF^{2}=2AC^{2}$
如图②,连接$CE$,$AF$，延长$AC$交直线$FE$于点$G$.
∵点$A$,$E$ 关于直线$CD$对称，
∴$AC = EC$,$AF = EF$.又
∵$CF = CF$,
∴$△ACF≌△ECF$.
∴$∠CAF = ∠CEF$.
∵$AC = BC$,
∴$BC = CE$.
∴$∠CBE = ∠CEF$.
∴$∠CAF = ∠CBE$.
∵$∠ACB = 90°$,
∴$∠CGB + ∠CBE = 90°$.
∴$∠CGB + ∠CAF = 90°$.
∴$∠AFG = 90°$.在$Rt△AFB$中,由勾股定理，得$AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$;在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2}$.
∴$BF^{2}+AF^{2}=2AC^{2}$.
∴$BF^{2}+EF^{2}=2AC^{2}$
22.(1)如图①所示 $∠BFC = 45°$ (2)$BF^{2}+EF^{2}=2AC^{2}$
如图②,连接$CE$,$AF$，延长$AC$交直线$FE$于点$G$.
∵点$A$,$E$ 关于直线$CD$对称，
∴$AC = EC$,$AF = EF$.又
∵$CF = CF$,
∴$△ACF≌△ECF$.
∴$∠CAF = ∠CEF$.
∵$AC = BC$,
∴$BC = CE$.
∴$∠CBE = ∠CEF$.
∴$∠CAF = ∠CBE$.
∵$∠ACB = 90°$,
∴$∠CGB + ∠CBE = 90°$.
∴$∠CGB + ∠CAF = 90°$.
∴$∠AFG = 90°$.在$Rt△AFB$中,由勾股定理，得$AB^{2}=AF^{2}+BF^{2}$;在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=2AC^{2}$.
∴$BF^{2}+AF^{2}=2AC^{2}$.
∴$BF^{2}+EF^{2}=2AC^{2}$