新知梳理
1. 二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$. 可以推广到多个二次根式进行相乘的运算，如$\sqrt{x} · \sqrt{y} · \sqrt{z} =$_________$(x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0)$.
2. 二次根式的乘法法则的逆用：$\sqrt{ab} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$，利用积的算术平方根，可将二次根式中开得尽方的因数(或因式)移到根号的外面.
3. 利用二次根式的乘法法则可将根号外的因数(或因式)移到根号内，它的理论依据是$a =$_________$(a \geqslant 0)$，$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$. 在向根号内移非负因数(或因式)时，应保持原式的正负性不变.
1. 二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$. 可以推广到多个二次根式进行相乘的运算，如$\sqrt{x} · \sqrt{y} · \sqrt{z} =$_________$(x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 0)$.
2. 二次根式的乘法法则的逆用：$\sqrt{ab} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$，利用积的算术平方根，可将二次根式中开得尽方的因数(或因式)移到根号的外面.
3. 利用二次根式的乘法法则可将根号外的因数(或因式)移到根号内，它的理论依据是$a =$_________$(a \geqslant 0)$，$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$_________$(a \geqslant 0,b \geqslant 0)$. 在向根号内移非负因数(或因式)时，应保持原式的正负性不变.
答案：1.$\sqrt{ab}$ $\sqrt{xyz}$ 2.$\sqrt{a}·\sqrt{b}$ 3.$\sqrt{a^2}$ $\sqrt{ab}$
1. 计算$-\sqrt{2} × \sqrt{5}$的结果为(
A.$\sqrt{10}$
B.$-\sqrt{10}$
C.$\sqrt{7}$
D.$-\sqrt{7}$
B
)A.$\sqrt{10}$
B.$-\sqrt{10}$
C.$\sqrt{7}$
D.$-\sqrt{7}$
答案：1.B
解析：
$-\sqrt{2} × \sqrt{5} = -\sqrt{2 × 5} = -\sqrt{10}$，答案选B。
2. 根据二次根式的性质，$\sqrt{x + 1} × \sqrt{x - 1} =\sqrt{x^2 - 1}$成立的条件是(
A.$x \geqslant 1$
B.$x \geqslant -1$
C.$-1 \leqslant x \leqslant 1$
D.$x \geqslant 1$或$x \leqslant -1$
A
)A.$x \geqslant 1$
B.$x \geqslant -1$
C.$-1 \leqslant x \leqslant 1$
D.$x \geqslant 1$或$x \leqslant -1$
答案：2.A
解析：
要使$\sqrt{x + 1} × \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$成立，根据二次根式乘法法则，需满足：
$\sqrt{x + 1}$有意义，则$x + 1 \geq 0$，即$x \geq -1$；
$\sqrt{x - 1}$有意义，则$x - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$；
$\sqrt{x^2 - 1}$有意义，则$x^2 - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$或$x \leq -1$。
综合以上条件，取交集得$x \geq 1$。
A
$\sqrt{x + 1}$有意义，则$x + 1 \geq 0$，即$x \geq -1$；
$\sqrt{x - 1}$有意义，则$x - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$；
$\sqrt{x^2 - 1}$有意义，则$x^2 - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$或$x \leq -1$。
综合以上条件，取交集得$x \geq 1$。
A
3. 计算：
(1) $\sqrt{12.5 × 8} =$
(2) $\sqrt{2} × 3\sqrt{6} =$
(1) $\sqrt{12.5 × 8} =$
10
；(2) $\sqrt{2} × 3\sqrt{6} =$
$6\sqrt{3}$
.答案：3.(1)10 (2)$6\sqrt{3}$
解析：
(1) $\sqrt{12.5×8}=\sqrt{100}=10$；
(2) $\sqrt{2}×3\sqrt{6}=3\sqrt{2×6}=3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
(2) $\sqrt{2}×3\sqrt{6}=3\sqrt{2×6}=3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
4. 某直角三角形两条直角边的长分别为$\sqrt{3}\mathrm{ cm}$，$\sqrt{12}\mathrm{ cm}$，则该直角三角形的面积为
3
$\mathrm{cm}^2$.答案：4.3
解析：
直角三角形面积为两直角边乘积的一半，即$\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{12}$。
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 2 × (\sqrt{3})^2 = 3$。
3
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，则$\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} × 2 × (\sqrt{3})^2 = 3$。
3
5. 计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{36}$；
(2) $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}}$；
(3) $\sqrt{6} × \sqrt{8} × \sqrt{12}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{\dfrac{15}{8}} × \sqrt{\dfrac{1}{5}}$.
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{36}$；
(2) $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}}$；
(3) $\sqrt{6} × \sqrt{8} × \sqrt{12}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{\dfrac{15}{8}} × \sqrt{\dfrac{1}{5}}$.
答案：5.(1)$3\sqrt{2}$ (2)$\frac{3}{2}$ (3)24 (4)$\frac{1}{2}$
解析：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{2}} × \sqrt{36} = \sqrt{\dfrac{1}{2} × 36} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}} = \sqrt{5 × \dfrac{9}{20}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$；
(3) $\sqrt{6} × \sqrt{8} × \sqrt{12} = \sqrt{6 × 8 × 12} = \sqrt{576} = 24$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{\dfrac{15}{8}} × \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \sqrt{\dfrac{2}{3} × \dfrac{15}{8} × \dfrac{1}{5}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$.
(2) $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{9}{20}} = \sqrt{5 × \dfrac{9}{20}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}$；
(3) $\sqrt{6} × \sqrt{8} × \sqrt{12} = \sqrt{6 × 8 × 12} = \sqrt{576} = 24$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{3}} × \sqrt{\dfrac{15}{8}} × \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \sqrt{\dfrac{2}{3} × \dfrac{15}{8} × \dfrac{1}{5}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$.