新知梳理
满足以下两个条件的二次根式叫作最简二次根式：(1) 被开方数不含
满足以下两个条件的二次根式叫作最简二次根式：(1) 被开方数不含
分母
；(2) 被开方数中不含能开得尽方
的因数或因式.答案：(1) 分母 (2) 能开得尽方
1. 下列根式中，不是最简二次根式的为(
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{52}$
D.$\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{52}$
D.$\sqrt{3}$
答案：1. C
2. 下列根式中，是最简二次根式的为(
A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{28}$
C
)A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{28}$
答案：2. C
3. 若$\sqrt{x - 3}$是最简二次根式，则$x$的值可能是(
A.11
B.13
C.21
D.27
B
)A.11
B.13
C.21
D.27
答案：3. B
解析：
要使$\sqrt{x - 3}$是最简二次根式，则$x-3$需满足：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
选项A：$x=11$时，$x-3=8$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项B：$x=13$时，$x-3=10$，$\sqrt{10}$是最简二次根式。
选项C：$x=21$时，$x-3=18$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$x=27$时，$x-3=24$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，不是最简二次根式。
B
选项A：$x=11$时，$x-3=8$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项B：$x=13$时，$x-3=10$，$\sqrt{10}$是最简二次根式。
选项C：$x=21$时，$x-3=18$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$x=27$时，$x-3=24$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，不是最简二次根式。
B
4. 化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{3}{4}} =$
(2) $\sqrt{75} =$
(3) $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} =$
(1) $\sqrt{\dfrac{3}{4}} =$
$\frac {\sqrt{3}} {2}$
；(2) $\sqrt{75} =$
$5\sqrt{3}$
；(3) $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} =$
$\frac {\sqrt{21}} {3}$
.答案：4. (1) $\frac {\sqrt{3}} {2}$ (2) $5\sqrt{3}$ (3) $\frac {\sqrt{21}} {3}$
5. 化简：
(1) $\sqrt{48}$；
(2) $\sqrt{90}$；
(3) $\sqrt{12×50}$；
(4) $\sqrt{3.5}$.
(1) $\sqrt{48}$；
(2) $\sqrt{90}$；
(3) $\sqrt{12×50}$；
(4) $\sqrt{3.5}$.
答案：5. (1) $4\sqrt{3}$ (2) $3\sqrt{10}$ (3) $10\sqrt{6}$ (4) $\frac {\sqrt{14}} {2}$
解析：
(1) $\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{90}=\sqrt{9×10}=\sqrt{9}×\sqrt{10}=3\sqrt{10}$；
(3) $\sqrt{12×50}=\sqrt{600}=\sqrt{100×6}=\sqrt{100}×\sqrt{6}=10\sqrt{6}$；
(4) $\sqrt{3.5}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(2) $\sqrt{90}=\sqrt{9×10}=\sqrt{9}×\sqrt{10}=3\sqrt{10}$；
(3) $\sqrt{12×50}=\sqrt{600}=\sqrt{100×6}=\sqrt{100}×\sqrt{6}=10\sqrt{6}$；
(4) $\sqrt{3.5}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
6. 一个三角形的面积为$4\sqrt{6}$，其中一边的长为$3\sqrt{5}$，求这条边上的高.
答案：6. 这条边上的高为$\frac {4\sqrt{6} × 2} {3\sqrt{5}}$=$\frac {8\sqrt{30}} {15}$
解析：
设这条边上的高为$h$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$为面积，$a$为底边长，$h$为这条边上的高），可得：
$4\sqrt{6} = \frac{1}{2} × 3\sqrt{5} × h$
解得$h = \frac{4\sqrt{6} × 2}{3\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{30}}{15}$
这条边上的高为$\frac{8\sqrt{30}}{15}$
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中$S$为面积，$a$为底边长，$h$为这条边上的高），可得：
$4\sqrt{6} = \frac{1}{2} × 3\sqrt{5} × h$
解得$h = \frac{4\sqrt{6} × 2}{3\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{30}}{15}$
这条边上的高为$\frac{8\sqrt{30}}{15}$