10. (2025·邯郸校级月考)如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的 $ a,b $ 后，按照程序图运行，会输出一个结果。若 $ a = 5,b = x $ 时，输出的结果为 $ 2 $，则 $ x $ 的值为
]
$\frac{5}{2}$或10
。]
答案：10. $\frac{5}{2}$或10 解析:当$x＜5$时,$\frac{5}{5-x}=2$,解得$x=\frac{5}{2}$;当$x＞5$时,$\frac{x}{x-5}=2$,解得$x=10$.经检验,均符合题意.综上,x的值为$\frac{5}{2}$或10.
解析：
解：当$x ＜ 5$时，$\frac{5}{5 - x} = 2$，解得$x = \frac{5}{2}$；
当$x ＞ 5$时，$\frac{x}{x - 5} = 2$，解得$x = 10$。
经检验，$x = \frac{5}{2}$和$x = 10$均符合题意。
综上，$x$的值为$\frac{5}{2}$或$10$。
当$x ＞ 5$时，$\frac{x}{x - 5} = 2$，解得$x = 10$。
经检验，$x = \frac{5}{2}$和$x = 10$均符合题意。
综上，$x$的值为$\frac{5}{2}$或$10$。
11. (2025·眉山中考改编)若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{3x - 1}{2} ≤ x + 2, \\ x + 1 ≥ -x + a\end{cases}$ 至少有两个正整数解，且关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$ 的解为正整数，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和为 ______ 。
答案：11. 14 解析:$\begin{cases}\frac{3x-1}{2}≤ x+2, & ①\\x+1≥ -x+a, & ②\end{cases}$解①得$x≤5$,解②得$x≥\frac{a-1}{2}$.
∵关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{3x-1}{2}≤ x+2,\\x+1≥ -x+a\end{cases}$至少有两个正整数解,
∴不等式组的解集为$\frac{a-1}{2}≤ x≤5$.当$\frac{a-1}{2}≤4$时满足题意,此时$a≤9$.分式方程$\frac{a-1}{x-1}=2-\frac{3}{1-x}$化简为$\frac{a-1}{x-1}=\frac{2x+1}{x-1}$,解得$x=\frac{a-2}{2}$.要求解为正整数且$x≠1$,则$\frac{a-2}{2}$为大于等于2的整数,即a为大于等于6的偶数.$\because a≤9$,$\therefore a=6$或8,当$a=6$时,不等式组的解集为$2.5≤ x≤5$,整数解为3,4,5,满足条件.当$a=8$时,不等式组的解集为$3.5≤ x≤5$,整数解为4,5,满足条件.则所有满足条件的整数a的值之和为$6+8=14$.
∵关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{3x-1}{2}≤ x+2,\\x+1≥ -x+a\end{cases}$至少有两个正整数解,
∴不等式组的解集为$\frac{a-1}{2}≤ x≤5$.当$\frac{a-1}{2}≤4$时满足题意,此时$a≤9$.分式方程$\frac{a-1}{x-1}=2-\frac{3}{1-x}$化简为$\frac{a-1}{x-1}=\frac{2x+1}{x-1}$,解得$x=\frac{a-2}{2}$.要求解为正整数且$x≠1$,则$\frac{a-2}{2}$为大于等于2的整数,即a为大于等于6的偶数.$\because a≤9$,$\therefore a=6$或8,当$a=6$时,不等式组的解集为$2.5≤ x≤5$,整数解为3,4,5,满足条件.当$a=8$时,不等式组的解集为$3.5≤ x≤5$,整数解为4,5,满足条件.则所有满足条件的整数a的值之和为$6+8=14$.
12. 关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c} $ 的解为 $ x_1 = c,x_2 = \frac{1}{c} $，$ x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c} $（可变形为 $ x + \frac{-1}{x} = c + \frac{-1}{c} $）的解为 $ x_1 = c,x_2 = -\frac{1}{c} $，$ x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c} $ 的解为 $ x_1 = c,x_2 = \frac{2}{c} $，$ x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c} $ 的解为 $ x_1 = c,x_2 = \frac{3}{c} $，…。
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}(m ≠ 0) $ 的解是什么。
(2)请总结上面的结论，并求出关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1} $ 的解。
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}(m ≠ 0) $ 的解是什么。
(2)请总结上面的结论，并求出关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1} $ 的解。
答案：12. (1)$x_{1}=c$,$x_{2}=\frac{m}{c}(m≠0)$.
(2)结论:方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}(n≠0)$的解为$x_{1}=c$,$x_{2}=\frac{n}{c}(n≠0)$.关于x的方程$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$,即$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,则$x-1=a-1$或$x-1=\frac{2}{a-1}$,解得$x_{1}=a$,$x_{2}=\frac{2}{a-1}+1=\frac{a+1}{a-1}$.
(2)结论:方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}(n≠0)$的解为$x_{1}=c$,$x_{2}=\frac{n}{c}(n≠0)$.关于x的方程$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$,即$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,则$x-1=a-1$或$x-1=\frac{2}{a-1}$,解得$x_{1}=a$,$x_{2}=\frac{2}{a-1}+1=\frac{a+1}{a-1}$.
13. (1)实数 $ m $ 满足 $\frac{1}{m - 4} + \frac{4}{m - 1} = \frac{2}{m - 3} + \frac{3}{m - 2}$ 这个等式，则 $ m $ 的值为
5或$\frac{5}{2}$
。答案：13. (1)5或$\frac{5}{2}$ 解析:原等式化为$\frac{1}{m-4}-\frac{3}{m-2}=\frac{2}{m-3}-\frac{4}{m-1}$,整理得$\frac{-2m+10}{m^{2}-6m+8}=\frac{-2m+10}{m^{2}-4m+3}$,若使等式两边相等,需分两种情况讨论.①当分子都为0时,即$-2m+10=0$,解得$m=5$,经检验知$m=5$是原方程的解.②当分母相等时,即$m^{2}-6m+8=m^{2}-4m+3$,解得$m=\frac{5}{2}$.把$m=\frac{5}{2}$代入原方程检验知$m=\frac{5}{2}$是原方程的解.故$m=5$或$m=\frac{5}{2}$.
(2)实数 $ a,b $ 满足 $ ab ≠ 0 $，且使得 $\frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} = \frac{a + b}{1 + a + b}$，则 $ a + b $ 的
值为
值为
-2
。答案：(2)-2 解析:$\because \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}$,$\therefore \frac{a}{1+a}-\frac{a}{1+a+b}=\frac{b}{1+a+b}-\frac{b}{1+b}$,$\therefore \frac{a(1+a+b-1-a)}{(1+a)(1+a+b)}=\frac{b(1+b-1-a-b)}{(1+a+b)(1+b)}$,$\therefore \frac{ab}{1+a}=-\frac{ab}{1+b}$.$\because ab≠0$,$\therefore 1+a=-(1+b)$,$\therefore a+b=-2$.
14. 新趋势 过程性学习 阅读下面材料，解答后面的问题。
解方程：$\frac{x - 1}{x} - \frac{4x}{x - 1} = 0$。
解：设 $ y = \frac{x - 1}{x} $，则原方程化为 $ y - \frac{4}{y} = 0 $，
方程两边同时乘 $ y $，得 $ y^2 - 4 = 0 $，解得 $ y = \pm 2 $，
经检验，$ y = \pm 2 $ 都是方程 $ y - \frac{4}{y} = 0 $ 的解。
∴ 当 $ y = 2 $ 时，$\frac{x - 1}{x} = 2$，解得 $ x = -1 $；
当 $ y = -2 $ 时，$\frac{x - 1}{x} = -2$，解得 $ x = \frac{1}{3} $。
经检验，$ x = -1 $ 或 $ x = \frac{1}{3} $ 都是原分式方程的解，
∴ 原分式方程的解为 $ x = -1 $ 或 $ x = \frac{1}{3} $。
上述这种解分式方程的方法称为换元法。
问题：(1)解分式方程 $\frac{x^2}{2x + 1} = \frac{4x + 2}{x^2} + 1$，用 $ y = \frac{x^2}{2x + 1} $ 换元整理后得到的关于 $ y $ 的整式方程是
(2)模仿上述换元法解方程：$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{4x - 4}{x + 2} = 0$。
解方程：$\frac{x - 1}{x} - \frac{4x}{x - 1} = 0$。
解：设 $ y = \frac{x - 1}{x} $，则原方程化为 $ y - \frac{4}{y} = 0 $，
方程两边同时乘 $ y $，得 $ y^2 - 4 = 0 $，解得 $ y = \pm 2 $，
经检验，$ y = \pm 2 $ 都是方程 $ y - \frac{4}{y} = 0 $ 的解。
∴ 当 $ y = 2 $ 时，$\frac{x - 1}{x} = 2$，解得 $ x = -1 $；
当 $ y = -2 $ 时，$\frac{x - 1}{x} = -2$，解得 $ x = \frac{1}{3} $。
经检验，$ x = -1 $ 或 $ x = \frac{1}{3} $ 都是原分式方程的解，
∴ 原分式方程的解为 $ x = -1 $ 或 $ x = \frac{1}{3} $。
上述这种解分式方程的方法称为换元法。
问题：(1)解分式方程 $\frac{x^2}{2x + 1} = \frac{4x + 2}{x^2} + 1$，用 $ y = \frac{x^2}{2x + 1} $ 换元整理后得到的关于 $ y $ 的整式方程是
$y^{2}-y-2=0$
。(2)模仿上述换元法解方程：$\frac{x + 2}{x - 1} - \frac{4x - 4}{x + 2} = 0$。
答案：14. (1)$y^{2}-y-2=0$
(2)$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4x-4}{x+2}=0$,即$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4(x-1)}{x+2}=0$.设$\frac{x+2}{x-1}=a$,则原方程化为$a-\frac{4}{a}=0$,方程两边同时乘a,得$a^{2}-4=0$,解得$a=\pm2$,经检验,$a=\pm2$都是$a-\frac{4}{a}=0$的解.当$a=2$时,$\frac{x+2}{x-1}=2$,解得$x=4$.当$a=-2$时,$\frac{x+2}{x-1}=-2$,解得$x=0$.经检验,$x=4$或$x=0$都是分式方程$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4x-4}{x+2}=0$的解,$\therefore$分式方程的解为$x=4$或$x=0$.
(2)$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4x-4}{x+2}=0$,即$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4(x-1)}{x+2}=0$.设$\frac{x+2}{x-1}=a$,则原方程化为$a-\frac{4}{a}=0$,方程两边同时乘a,得$a^{2}-4=0$,解得$a=\pm2$,经检验,$a=\pm2$都是$a-\frac{4}{a}=0$的解.当$a=2$时,$\frac{x+2}{x-1}=2$,解得$x=4$.当$a=-2$时,$\frac{x+2}{x-1}=-2$,解得$x=0$.经检验,$x=4$或$x=0$都是分式方程$\frac{x+2}{x-1}-\frac{4x-4}{x+2}=0$的解,$\therefore$分式方程的解为$x=4$或$x=0$.