1. (滨州中考) 分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{3}{(x - 1)(x + 2)}$的解为(
A.$x = 1$
B.$x = - 1$
C.无解
D.$x = - 2$
C
)A.$x = 1$
B.$x = - 1$
C.无解
D.$x = - 2$
答案：1. C 解析:方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$可得$x(x + 2)-(x - 1)(x + 2)=3$，解得$x = 1$，经检验，$x = 1$是原分式方程的增根，则该分式方程无解.故选 C.
2. (巴中中考) 关于$x$的分式方程$\frac{m + x}{2 - x}-3 = 0$有解，则实数$m$应满足的条件是(
A.$m = - 2$
B.$m ≠ - 2$
C.$m = 2$
D.$m ≠ 2$
B
)A.$m = - 2$
B.$m ≠ - 2$
C.$m = 2$
D.$m ≠ 2$
答案：2. B 解析:方程两边同乘$(2 - x)$可得$m + x - 6 + 3x = 0$，要使得方程有解，则$x≠2$，将$x = 2$代入，则$m + 2 - 6 + 6≠0$，$m≠ - 2$，
∴要使得方程有解，$m$应满足的条件是$m≠ - 2$.故选 B.
∴要使得方程有解，$m$应满足的条件是$m≠ - 2$.故选 B.
3. 点$A$，$B$在数轴上对应的数分别是$-1$与$\frac{x + 2}{x}$，且点$A$，$B$到原点的距离相等，则$x =$
$-1$
。答案：3. $-1$ 解析:
∵点$A$，$B$到原点的距离相等，$\therefore\frac{x + 2}{x}=1$或$\frac{x + 2}{x}=-1$，当$\frac{x + 2}{x}=1$时，无解；当$\frac{x + 2}{x}=-1$时，$x = - 1$，经检验，符合题意，$\therefore x = - 1$.
∵点$A$，$B$到原点的距离相等，$\therefore\frac{x + 2}{x}=1$或$\frac{x + 2}{x}=-1$，当$\frac{x + 2}{x}=1$时，无解；当$\frac{x + 2}{x}=-1$时，$x = - 1$，经检验，符合题意，$\therefore x = - 1$.
4. (1) 关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 1}=1$，若方程有增根，则$m =$
(2) 关于$x$的分式方程$\frac{mx}{x - 1}=1$，若方程有增根，则$m =$
$0$
，若方程无解，则$m =$$0$
；(2) 关于$x$的分式方程$\frac{mx}{x - 1}=1$，若方程有增根，则$m =$
$0$
，若方程无解，则$m =$$0$或$1$
。答案：4. (1)$0$ $0$ 解析:由分式方程可得$x = m + 1$，$x - 1≠0$，即$x≠1$，则当$x = 1$时方程有增根且无解，得$m = 0$.
(2)$0$ $0$或$1$ 解析:由分式方程可得$x=\frac{1}{1 - m}$，$x - 1≠0$，即$x≠1$，则当$x = 1$时方程有增根，得$m = 0$，当$x = 1$或$1 - m = 0$时方程无解，得$m = 0$或$1$.
归纳总结 分式方程的无解与增根
①去分母后的整式方程有1个解，取该解时，原分式方程的分母不为0：分式方程有解；
②去分母后的整式方程有1个解，取该解时，原分式方程的分母为0：分式方程有增根，且无解；
③去分母后的整式方程无解$( $如整式方程为$x + 3 = x + 1$或$x=\frac{1}{m}(m = 0) )$：分式方程无增根，且无解.
(2)$0$ $0$或$1$ 解析:由分式方程可得$x=\frac{1}{1 - m}$，$x - 1≠0$，即$x≠1$，则当$x = 1$时方程有增根，得$m = 0$，当$x = 1$或$1 - m = 0$时方程无解，得$m = 0$或$1$.
归纳总结 分式方程的无解与增根
①去分母后的整式方程有1个解，取该解时，原分式方程的分母不为0：分式方程有解；
②去分母后的整式方程有1个解，取该解时，原分式方程的分母为0：分式方程有增根，且无解；
③去分母后的整式方程无解$( $如整式方程为$x + 3 = x + 1$或$x=\frac{1}{m}(m = 0) )$：分式方程无增根，且无解.
5. 解分式方程：
(1) (天门中考)$\frac{5}{x^{2}+x}-\frac{1}{x^{2}-x}=0$；
(2)$\frac{5x - 8}{x^{2}-9}-1=\frac{3 - x}{x + 3}$；
(3) (贺州中考)$\frac{4}{x^{2}-1}+1=\frac{x - 1}{x + 1}$。
(1) (天门中考)$\frac{5}{x^{2}+x}-\frac{1}{x^{2}-x}=0$；
(2)$\frac{5x - 8}{x^{2}-9}-1=\frac{3 - x}{x + 3}$；
(3) (贺州中考)$\frac{4}{x^{2}-1}+1=\frac{x - 1}{x + 1}$。
答案：5. (1)方程两边同乘$x(x - 1)(x + 1)$，得$5(x - 1)-(x + 1)=0$.去括号得$5x - 5 - x - 1 = 0$，合并同类项，得$4x - 6 = 0$，解得$x=\frac{3}{2}$.检验:当$x=\frac{3}{2}$时，$x(x - 1)(x + 1)≠0$，$\therefore x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘$(x + 3)(x - 3)$，得$5x - 8-(x^{2}-9)=(3 - x)·(x - 3)$，去括号，得$5x - 8 - x^{2}+9=-x^{2}+6x - 9$，移项、合并同类项，得$-x = - 10$，解得$x = 10$.检验:当$x = 10$时，$(x + 3)(x - 3)≠0$，$\therefore x = 10$是该分式方程的解.
(3)方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$4 + x^{2}-1=x^{2}-2x + 1$，移项、合并同类项，得$2x = - 2$，解得$x = - 1$，检验:当$x = - 1$时，$(x + 1)(x - 1)=0$，$\therefore x = - 1$是原分式方程的增根，即原分式方程无解.
(2)方程两边同乘$(x + 3)(x - 3)$，得$5x - 8-(x^{2}-9)=(3 - x)·(x - 3)$，去括号，得$5x - 8 - x^{2}+9=-x^{2}+6x - 9$，移项、合并同类项，得$-x = - 10$，解得$x = 10$.检验:当$x = 10$时，$(x + 3)(x - 3)≠0$，$\therefore x = 10$是该分式方程的解.
(3)方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$4 + x^{2}-1=x^{2}-2x + 1$，移项、合并同类项，得$2x = - 2$，解得$x = - 1$，检验:当$x = - 1$时，$(x + 1)(x - 1)=0$，$\therefore x = - 1$是原分式方程的增根，即原分式方程无解.
6. (2025·沧州期末) 王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚：$\frac{x}{x - 3}=2-\frac{?}{x - 3}$。
(1) 她把这个数“?”猜成$-2$，请你帮王涵解这个分式方程。
(2) 王涵的妈妈说：“我看到标准答案是$x = 3$是方程的增根，原分式方程无解。”请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少。
(1) 她把这个数“?”猜成$-2$，请你帮王涵解这个分式方程。
(2) 王涵的妈妈说：“我看到标准答案是$x = 3$是方程的增根，原分式方程无解。”请你求出原分式方程中“?”代表的数是多少。
答案：6. (1)由题意，得$\frac{x}{x - 3}=2-\frac{2}{x - 3}$，去分母，得$x = 2(x - 3)+2$，去括号，得$x = 2x - 6 + 2$，移项、合并同类项，得$x = 4$，经检验，当$x = 4$时，$x - 3≠0$，$\therefore x = 4$是原分式方程的解.
(2)设原分式方程中“?”代表的数为$m$，方程两边同乘$(x - 3)$，得$x = 2(x - 3)-m$.由于$x = 3$是原分式方程的增根，把$x = 3$代入上面的等式，解得$m = - 3$，$\therefore$原分式方程中“?”代表的数是$-3$.
(2)设原分式方程中“?”代表的数为$m$，方程两边同乘$(x - 3)$，得$x = 2(x - 3)-m$.由于$x = 3$是原分式方程的增根，把$x = 3$代入上面的等式，解得$m = - 3$，$\therefore$原分式方程中“?”代表的数是$-3$.
7. (2025·黑龙江中考改编) 已知关于$x$的分式方程$\frac{x + k}{x - 4}-\frac{2k}{4 - x}=3$解为负数，则$k$的取值范围为(
A.$k ＜ - 4$
B.$k ＞ 4$
C.$k ＞ - 4$且$k ≠ -\frac{4}{3}$
D.$k ＜ 4$且$k ≠ -\frac{4}{3}$
A
)A.$k ＜ - 4$
B.$k ＞ 4$
C.$k ＞ - 4$且$k ≠ -\frac{4}{3}$
D.$k ＜ 4$且$k ≠ -\frac{4}{3}$
答案：7. A 解析:$\frac{x + k}{x - 4}-\frac{2k}{4 - x}=3$，得$\frac{x + 3k}{x - 4}=3$，得$x + 3k = 3x - 12$，解得$x=\frac{3k + 12}{2}$，根据题意，$\frac{3k + 12}{2}＜0$，解得$k ＜ - 4$.$\because x - 4≠0$，即$x≠4$，即$\frac{3k + 12}{2}≠4$，解得$k≠-\frac{4}{3}$，$\therefore k ＜ - 4$，故选 A.