8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{mx}{(x - 3)(x - 6)}+\frac{2}{x - 3}=\frac{3}{x - 6}$无解，且一次函数$y=(m-\frac{1}{2})x + m-\frac{3}{2}$的图象不经过第二象限，则符合条件的所有$m$的值之和为(
A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
C
)A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案：8. C 解析:分式方程两边同时乘$(x - 3)(x - 6)$，得$mx + 2(x - 6)=3(x - 3)$，整理，得$(m - 1)x = 3$.$\because$此分式方程无解，$\therefore m = 1$或$x = 3$或$x = 6$，$\therefore m = 1$或$m = 2$或$m=\frac{3}{2}$.$\because$一次函数$y=(m-\frac{1}{2})x + m-\frac{3}{2}$的图象不经过第二象限，$\therefore m-\frac{1}{2}＞0$，且$m-\frac{3}{2}≤0$，$\therefore\frac{1}{2}＜m≤\frac{3}{2}$，$\therefore m = 1$或$m=\frac{3}{2}$，$\therefore$满足条件的$m$的值之和是$\frac{5}{2}$.故选 C.
9. (2024·牡丹江中考) 若分式方程$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$的解为正整数，则整数$m$的值为
$-1$
。答案：9. $-1$ 解析:$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$，即$\frac{x}{x - 1}=3+\frac{mx}{x - 1}$，去分母，得$x = 3(x - 1)+mx$，移项、合并同类项，得$(2 + m)x = 3$，解得$x=\frac{3}{2 + m}$.由方程的解是正整数，得到$x$为正整数，即$2 + m = 1$或$2 + m = 3$，解得$m = - 1$或$m = 1$(舍去，会使得分式无意义).
解析：
$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$，即$\frac{x}{x - 1}=3+\frac{mx}{x - 1}$，去分母，得$x = 3(x - 1)+mx$，移项、合并同类项，得$(2 + m)x = 3$，解得$x=\frac{3}{2 + m}$.由方程的解是正整数，得$2 + m = 1$或$2 + m = 3$，解得$m = - 1$或$m = 1$.当$m = 1$时，$x=\frac{3}{3}=1$，此时分母$x - 1=0$，分式无意义，舍去；当$m = - 1$时，$x=\frac{3}{1}=3$，符合题意.故整数$m$的值为$-1$.
10. 新题型 新定义 对于实数$x$，$y$定义一种新运算“※”：$x※y=\frac{y}{x^{2}-y}$，例如：$1※2=\frac{2}{1^{2}-2}=-2$，则分式方程$-1※x=\frac{mx}{x - 1}-1$无解时，$m$的值是
$0$或$-1$
。答案：10. $0$或$-1$ 解析:根据题意，$-1※x=\frac{mx}{x - 1}-1$可化为$\frac{x}{1 - x}=\frac{mx}{x - 1}-1$，化为整式方程为$mx = - 1$，当$m = 0$时，整式方程$mx = - 1$无解，即原分式方程无解；当$m≠0$时，整式方程$mx = - 1$的解为$x=-\frac{1}{m}$.$\because$当$x = 1$时，分式方程无解，$\therefore-\frac{1}{m}=1$，则$m = - 1$.综上，当$m = 0$或$m = - 1$时，原分式方程无解，故答案为$0$或$-1$.
解析：
根据新运算“※”的定义，$-1※x=\frac{x}{(-1)^2 - x}=\frac{x}{1 - x}$。
原分式方程可化为：$\frac{x}{1 - x}=\frac{mx}{x - 1}-1$
方程两边同乘$x - 1$（$x≠1$），得：$-x = mx - (x - 1)$
化简得：$-x = mx - x + 1$，即$mx = -1$
当$m = 0$时，方程$mx = -1$无解，原分式方程无解；
当$m≠0$时，$x=-\frac{1}{m}$。若原分式方程无解，则$x = 1$是增根，即$-\frac{1}{m}=1$，解得$m=-1$。
综上，$m$的值是$0$或$-1$。
$0$或$-1$
原分式方程可化为：$\frac{x}{1 - x}=\frac{mx}{x - 1}-1$
方程两边同乘$x - 1$（$x≠1$），得：$-x = mx - (x - 1)$
化简得：$-x = mx - x + 1$，即$mx = -1$
当$m = 0$时，方程$mx = -1$无解，原分式方程无解；
当$m≠0$时，$x=-\frac{1}{m}$。若原分式方程无解，则$x = 1$是增根，即$-\frac{1}{m}=1$，解得$m=-1$。
综上，$m$的值是$0$或$-1$。
$0$或$-1$
11. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$。
(1) 若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2) 若方程有增根，求$m$的值；
(3) 若方程无解，求$m$的值。
(1) 若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2) 若方程有增根，求$m$的值；
(3) 若方程无解，求$m$的值。
答案：11. 方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$，得$2(x + 2)+mx = x - 1$，整理，得$(m + 1)x = - 5$.
(1)$\because x = 1$是分式方程的增根，$\therefore1 + m = - 5$，解得$m = - 6$.
(2)$\because$原分式方程有增根，$\therefore(x + 2)(x - 1)=0$，解得$x = - 2$或$x = 1$.当$x = - 2$时，$m = 1.5$；当$x = 1$时，$m = - 6$.
(3)当$m + 1 = 0$时，该方程无解，此时$m = - 1$；当$m + 1≠0$时，要使原方程无解，由(2)得$m = - 6$或$m = 1.5$.综上，$m$的值为$-1$或$-6$或$1.5$.
(1)$\because x = 1$是分式方程的增根，$\therefore1 + m = - 5$，解得$m = - 6$.
(2)$\because$原分式方程有增根，$\therefore(x + 2)(x - 1)=0$，解得$x = - 2$或$x = 1$.当$x = - 2$时，$m = 1.5$；当$x = 1$时，$m = - 6$.
(3)当$m + 1 = 0$时，该方程无解，此时$m = - 1$；当$m + 1≠0$时，要使原方程无解，由(2)得$m = - 6$或$m = 1.5$.综上，$m$的值为$-1$或$-6$或$1.5$.
12. 整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法。
如$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3,\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=7,\end{cases}$此题设$\begin{cases}\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\end{cases}$得方程组$\begin{cases}a + b = 3,\\2a + 3b = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1,\end{cases}$$\therefore\begin{cases}x = 0.5,\\y = 1.\end{cases}$
利用整体思想解决问题：采采家准备装修厨房，若甲、乙两个装修公司一起做，需$6$周完成，甲公司单独做$4$周后，剩下的由乙公司来做，还需$9$周才能完成，则甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
如$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3,\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=7,\end{cases}$此题设$\begin{cases}\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\end{cases}$得方程组$\begin{cases}a + b = 3,\\2a + 3b = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1,\end{cases}$$\therefore\begin{cases}x = 0.5,\\y = 1.\end{cases}$
利用整体思想解决问题：采采家准备装修厨房，若甲、乙两个装修公司一起做，需$6$周完成，甲公司单独做$4$周后，剩下的由乙公司来做，还需$9$周才能完成，则甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
答案：12. 设甲公司单独完成装修任务需$x$周，乙公司单独完成装修任务需$y$周，依题意得$\{\begin{array}{l}6(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1,\\ \frac{4}{x}+\frac{9}{y}=1.\end{array} $设$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=a,\\ \frac{1}{y}=b,\end{array} $原方程组化为$\{\begin{array}{l}6(a + b)=1,\\ 4a + 9b = 1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{10},\\ b=\frac{1}{15},\end{array} $$\therefore\{\begin{array}{l}x = 10,\\ y = 15.\end{array} $经检验，$x = 10$，$y = 15$符合题意，$\therefore$甲公司单独完成装修任务需$10$周，乙公司单独完成装修任务需$15$周.
13. 若关于$x$的方程$\frac{1}{(x - 3)(x + 1)}-\frac{k}{(x + 1)(x + 7)}=\frac{x + 1}{x^{3}+5x^{2}-17x - 21}$无解，求$k$的值。
答案：13. $\because(x - 3)(x + 1)(x + 7)=x^{3}+5x^{2}-17x - 21$，$\therefore$去分母得$x + 7 - k(x - 3)=x + 1$，整理得$kx = 6 + 3k$.$\because$方程$\frac{1}{(x - 3)(x + 1)}-\frac{k}{(x + 1)(x + 7)}=\frac{x + 1}{x^{3}+5x^{2}-17x - 21}$无解，$\therefore k = 0$或$x = - 1$或$3$或$-7$.当$x = - 1$时，$-k = 6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{2}$，经检验符合要求；当$x = 3$时，$3k = 6 + 3k$，方程无解；当$x = - 7$时，$-7k = 6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{5}$，经检验符合要求；当$k = 0$时，方程$x + 7 - k(x - 3)=x + 1$无解，则原方程无解，$\therefore k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$.
解析：
解：因为$(x - 3)(x + 1)(x + 7)=x^{3}+5x^{2}-17x - 21$，方程两边同乘$(x - 3)(x + 1)(x + 7)$去分母得：$x + 7 - k(x - 3)=x + 1$，整理得$kx = 6 + 3k$。
因为原方程无解，所以分以下情况：
1. 当$k = 0$时，方程$0x=6$无解，原方程无解；
2. 当$k≠0$时，$x=\frac{6 + 3k}{k}$，若$x$为增根，则原方程无解。增根为$x=-1$或$3$或$-7$。
当$x=-1$时，$-k=6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{2}$；
当$x=3$时，$3k=6 + 3k$，方程无解；
当$x=-7$时，$-7k=6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
综上，$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$。
因为原方程无解，所以分以下情况：
1. 当$k = 0$时，方程$0x=6$无解，原方程无解；
2. 当$k≠0$时，$x=\frac{6 + 3k}{k}$，若$x$为增根，则原方程无解。增根为$x=-1$或$3$或$-7$。
当$x=-1$时，$-k=6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{2}$；
当$x=3$时，$3k=6 + 3k$，方程无解；
当$x=-7$时，$-7k=6 + 3k$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
综上，$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或$0$。