1. (2025·烟台校级月考)关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x} + \frac{3}{x - a} = 0$ 的解为 $ x = 4 $，则常数 $ a $ 的值为 (
A.1
B.2
C.4
D.10
D
)A.1
B.2
C.4
D.10
答案：1. D 解析:把 $ x = 4 $ 代入分式方程得 $ \frac{2}{4} + \frac{3}{4 - a} = 0 $，解得 $ a = 10 $，经检验，$ a = 10 $ 是分式方程的解.故选 D.
2. 当 $ a = $
$\frac{1}{5}$
时，关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$ 的解为 $ x = 0 $。答案：2. $ \frac{1}{5} $ 解析:把 $ x = 0 $ 代入分式方程得 $ -\frac{1}{2} = \frac{2a - 3}{a + 5} $，解得 $ a = \frac{1}{5} $，经检验，$ a = \frac{1}{5} $ 是分式方程的解.
解析：
把 $ x = 0 $ 代入方程 $ \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5} $，得：
$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$
化简得：
$-\frac{1}{2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$
两边同乘 $ 2(a + 5) $ 去分母：
$-(a + 5) = 2(2a - 3)$
展开得：
$-a - 5 = 4a - 6$
移项合并同类项：
$-5a = -1$
解得：
$a = \frac{1}{5}$
经检验，当 $ a = \frac{1}{5} $ 时，$ a + 5 = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5} ≠ 0 $，所以 $ a = \frac{1}{5} $ 是原方程的解。
$\frac{1}{5}$
$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$
化简得：
$-\frac{1}{2} = \frac{2a - 3}{a + 5}$
两边同乘 $ 2(a + 5) $ 去分母：
$-(a + 5) = 2(2a - 3)$
展开得：
$-a - 5 = 4a - 6$
移项合并同类项：
$-5a = -1$
解得：
$a = \frac{1}{5}$
经检验，当 $ a = \frac{1}{5} $ 时，$ a + 5 = \frac{1}{5} + 5 = \frac{26}{5} ≠ 0 $，所以 $ a = \frac{1}{5} $ 是原方程的解。
$\frac{1}{5}$
3. (齐齐哈尔中考改编)如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x - m}{x + 1} = 1$ 的解是负数，那么实数 $ m $ 的取值范围是
$m ＜ -1$ 且 $m ≠ -2$
。答案：3. $ m ＜ -1 $ 且 $ m ≠ -2 $ 解析:解分式方程得 $ x = m + 1 $，$ \because x + 1 ≠ 0 $ 且分式方程的解为负数，$ \therefore m + 1 ≠ -1 $ 且 $ m + 1 ＜ 0 $，得 $ m ＜ -1 $ 且 $ m ≠ -2 $.
解析：
解：方程两边同乘$x + 1$，得$2x - m = x + 1$，解得$x = m + 1$。
因为分式方程的解是负数，所以$x = m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$m + 1 + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
因为分式方程的解是负数，所以$x = m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
又因为分母不能为$0$，即$x + 1 ≠ 0$，所以$m + 1 + 1 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$。
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
4. (2025·重庆期末)已知整数 $ a $ 使得关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{6 - ax}{x - 3} + 4 = \frac{x}{3 - x}$ 有整数解，且关于 $ x $ 的一次函数 $ y = (a + 1)x + 6 - a $ 的图象不经过第四象限，则 $ a $ 的最小值为
2
。答案：4. 2 解析: $ \because $ 关于 $ x $ 的一次函数 $ y = (a + 1)x + 6 - a $ 的图象不经过第四象限，$ \therefore \{ \begin{array} { l } { a + 1 ＞ 0, } \\ { 6 - a ≥ 0, } \end{array} $ 解得 $ -1 ＜ a ≤ 6 $. $ \because $ 整数 $ a $ 使得关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{6 - ax}{x - 3} + 4 = \frac{x}{3 - x} $ 有整数解，$ \therefore $ 解分式方程 $ \frac{6 - ax}{x - 3} + 4 = \frac{x}{3 - x} $，整理得 $ (5 - a)x = 6 $. $ \because $ 分式方程有解，$ \therefore a ≠ 5 $ 且 $ x ≠ 3 $. $ \therefore a ≠ 5 $ 且 $ a ≠ 3 $，$ \therefore -1 ＜ a ≤ 6 $ 且 $ a ≠ 3 $ 且 $ a ≠ 5 $. $ \therefore $ 当 $ a = 2, 4, 6 $ 时，$ x = \frac{6}{5 - a} $ 为整数，$ \therefore a $ 的最小值为 2.
解析：
解：关于$x$的一次函数$y=(a + 1)x + 6 - a$的图象不经过第四象限，
$\therefore \begin{cases}a + 1＞0\\6 - a≥0\end{cases}$，解得$-1 ＜ a≤6$。
解分式方程$\frac{6 - ax}{x - 3} + 4=\frac{x}{3 - x}$，
方程两边同乘$x - 3$得：$6 - ax + 4(x - 3)= -x$，
整理得：$(5 - a)x = 6$。
$\because$分式方程有解，$\therefore a≠5$且$x≠3$，
当$x = 3$时，$3(5 - a)=6$，解得$a = 3$，$\therefore a≠3$。
$\because -1 ＜ a≤6$且$a$为整数，$a≠3$，$a≠5$，
$\therefore a$的可能值为$0,1,2,4,6$。
当$a = 0$时，$x=\frac{6}{5 - 0}=\frac{6}{5}$，不是整数；
当$a = 1$时，$x=\frac{6}{5 - 1}=\frac{3}{2}$，不是整数；
当$a = 2$时，$x=\frac{6}{5 - 2}=2$，是整数；
当$a = 4$时，$x=\frac{6}{5 - 4}=6$，是整数；
当$a = 6$时，$x=\frac{6}{5 - 6}=-6$，是整数。
$\therefore a$的最小值为$2$。
2
$\therefore \begin{cases}a + 1＞0\\6 - a≥0\end{cases}$，解得$-1 ＜ a≤6$。
解分式方程$\frac{6 - ax}{x - 3} + 4=\frac{x}{3 - x}$，
方程两边同乘$x - 3$得：$6 - ax + 4(x - 3)= -x$，
整理得：$(5 - a)x = 6$。
$\because$分式方程有解，$\therefore a≠5$且$x≠3$，
当$x = 3$时，$3(5 - a)=6$，解得$a = 3$，$\therefore a≠3$。
$\because -1 ＜ a≤6$且$a$为整数，$a≠3$，$a≠5$，
$\therefore a$的可能值为$0,1,2,4,6$。
当$a = 0$时，$x=\frac{6}{5 - 0}=\frac{6}{5}$，不是整数；
当$a = 1$时，$x=\frac{6}{5 - 1}=\frac{3}{2}$，不是整数；
当$a = 2$时，$x=\frac{6}{5 - 2}=2$，是整数；
当$a = 4$时，$x=\frac{6}{5 - 4}=6$，是整数；
当$a = 6$时，$x=\frac{6}{5 - 6}=-6$，是整数。
$\therefore a$的最小值为$2$。
2
5. (2024·重庆中考改编)若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $\begin{cases} \frac{2x + 1}{3} ≤ 3, \\ 4x - 2 ＜ 3x + a \end{cases}$ 的解集为 $ x ≤ 4 $，且关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$ 的解均为负整数，求所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和。
答案：5. $ \{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 1 } { 3 } ≤ 3, \quad ① } \\ { 4 x - 2 ＜ 3 x + a, \quad ② } \end{array} $ 解不等式①得 $ x ≤ 4 $，解不等式②得 $ x ＜ a + 2 $. $ \because $ 不等式组的解集为 $ x ≤ 4 $，$ \therefore a + 2 ＞ 4 $，$ \therefore a ＞ 2 $. 解关于 $ y $ 的分式方程 $ \frac { a - 8 } { y + 2 } - \frac { y } { y + 2 } = 1 $，得 $ y = \frac { a - 10 } { 2 } $. $ \because $ 关于 $ y $ 的分式方程 $ \frac { a - 8 } { y + 2 } - \frac { y } { y + 2 } = 1 $ 的解均为负整数，$ \therefore \frac { a - 10 } { 2 } ＜ 0 $ 且 $ \frac { a - 10 } { 2 } $ 是整数且 $ y + 2 = \frac { a - 10 } { 2 } + 2 ≠ 0 $，$ \therefore a ＜ 10 $ 且 $ a ≠ 6 $ 且 $ a $ 是偶数，$ \therefore 2 ＜ a ＜ 10 $ 且 $ a ≠ 6 $ 且 $ a $ 是偶数，$ \therefore $ 满足题意的 $ a $ 的值可以为 4 或 8，$ \therefore $ 所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是 $ 4 + 8 = 12 $.
解析：
解不等式组$\begin{cases} \frac{2x + 1}{3} ≤ 3, \\ 4x - 2 ＜ 3x + a \end{cases}$
解不等式①：$\frac{2x + 1}{3} ≤ 3$，两边同乘$3$得$2x + 1 ≤ 9$，移项得$2x ≤ 8$，解得$x ≤ 4$。
解不等式②：$4x - 2 ＜ 3x + a$，移项得$4x - 3x ＜ a + 2$，解得$x ＜ a + 2$。
因为不等式组的解集为$x ≤ 4$，所以$a + 2 ＞ 4$，解得$a ＞ 2$。
解分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$，方程两边同乘$y + 2$得$a - 8 - y = y + 2$，移项得$-y - y = 2 + 8 - a$，合并同类项得$-2y = 10 - a$，解得$y = \frac{a - 10}{2}$。
因为分式方程的解为负整数，所以$\frac{a - 10}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ 10$；且$y + 2 ≠ 0$，即$\frac{a - 10}{2} + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 6$；又因为$y$是整数，所以$\frac{a - 10}{2}$是整数，即$a - 10$是偶数，所以$a$是偶数。
综上，$2 ＜ a ＜ 10$，$a$是偶数且$a ≠ 6$，所以$a = 4$或$8$。
所有满足条件的整数$a$的值之和为$4 + 8 = 12$。
12
解不等式①：$\frac{2x + 1}{3} ≤ 3$，两边同乘$3$得$2x + 1 ≤ 9$，移项得$2x ≤ 8$，解得$x ≤ 4$。
解不等式②：$4x - 2 ＜ 3x + a$，移项得$4x - 3x ＜ a + 2$，解得$x ＜ a + 2$。
因为不等式组的解集为$x ≤ 4$，所以$a + 2 ＞ 4$，解得$a ＞ 2$。
解分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$，方程两边同乘$y + 2$得$a - 8 - y = y + 2$，移项得$-y - y = 2 + 8 - a$，合并同类项得$-2y = 10 - a$，解得$y = \frac{a - 10}{2}$。
因为分式方程的解为负整数，所以$\frac{a - 10}{2} ＜ 0$，解得$a ＜ 10$；且$y + 2 ≠ 0$，即$\frac{a - 10}{2} + 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 6$；又因为$y$是整数，所以$\frac{a - 10}{2}$是整数，即$a - 10$是偶数，所以$a$是偶数。
综上，$2 ＜ a ＜ 10$，$a$是偶数且$a ≠ 6$，所以$a = 4$或$8$。
所有满足条件的整数$a$的值之和为$4 + 8 = 12$。
12
6. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x + m}{4 - x^2} + \frac{x}{x - 2} = 1$ 有增根，则 $ m $ 的值是 (
A.2 或 6
B.2
C.6
D.2 或 -6
A
)A.2 或 6
B.2
C.6
D.2 或 -6
答案：6. A 解析: $ \because $ 原方程有增根，$ \therefore x = \pm 2 $ 是方程 $ x + m - x ( x + 2 ) = 4 - x ^ { 2 } $ 的根，当 $ x = 2 $ 时，$ 2 + m - 2 × ( 2 + 2 ) = 4 - 4 $，解得 $ m = 6 $；当 $ x = - 2 $ 时，$ - 2 + m = 4 - 4 $，解得 $ m = 2 $，故选 A.
7. 解关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$ 会产生增根，则增根可能为 (
A.0 或 3
B.3
C.0
D.以上都不对
B
)A.0 或 3
B.3
C.0
D.以上都不对
答案：7. B 解析:去分母得到 $ x ( 2 m + x ) - x ( x - 3 ) = 2 ( x - 3 ) $ ①. $ \because $ 关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac { 2 m + x } { x - 3 } - 1 = \frac { 2 } { x } $ 有增根，$ \therefore x ( x - 3 ) = 0 $，$ \therefore x = 0 $ 或 $ x - 3 = 0 $，$ \therefore x = 0 $ 或 3. 把 $ x = 0 $ 代入①，左右不等，说明 $ x = 0 $ 不是整式方程①的根，故 0 不可能是增根，将 $ x = 3 $ 代入①，可能成立，$ \therefore $ 增根只可能是 3，故选 B.
8. 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 1}{x^2 - x} - \frac{1}{3x} = \frac{x + k}{3x - 3}$ 有增根，求增根和 $ k $ 的值。
答案：8. $ \because $ 关于 $ x $ 的方程 $ \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } - x } - \frac { 1 } { 3 x } = \frac { x + k } { 3 x - 3 } $ 有增根，最简公分母为 $ 3 x ( x - 1 ) $，$ \therefore 3 x ( x - 1 ) = 0 $，即 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $ 是增根，去分母得 $ 3 ( x + 1 ) - ( x - 1 ) = x ( x + k ) $，把 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $ 代入上式得 $ 3 × ( 0 + 1 ) - ( 0 - 1 ) = 0 × ( 0 + k ) $ (等式不成立，舍去) 或 $ 3 × ( 1 + 1 ) - ( 1 - 1 ) = 1 × ( 1 + k ) $，解得 $ k = 5 $. 综上，方程的增根为 $ x = 1 $，$ k $ 的值为 5.
解析：
解：方程$\frac{x + 1}{x^2 - x} - \frac{1}{3x} = \frac{x + k}{3x - 3}$，最简公分母为$3x(x - 1)$。
因为方程有增根，所以$3x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。
去分母，方程两边同乘$3x(x - 1)$得：$3(x + 1) - (x - 1) = x(x + k)$。
当$x = 0$时，代入上式得$3×(0 + 1) - (0 - 1) = 0×(0 + k)$，即$3 + 1 = 0$，等式不成立，舍去。
当$x = 1$时，代入上式得$3×(1 + 1) - (1 - 1) = 1×(1 + k)$，即$6 - 0 = 1 + k$，解得$k = 5$。
综上，增根为$x = 1$，$k$的值为$5$。
因为方程有增根，所以$3x(x - 1) = 0$，解得$x = 0$或$x = 1$。
去分母，方程两边同乘$3x(x - 1)$得：$3(x + 1) - (x - 1) = x(x + k)$。
当$x = 0$时，代入上式得$3×(0 + 1) - (0 - 1) = 0×(0 + k)$，即$3 + 1 = 0$，等式不成立，舍去。
当$x = 1$时，代入上式得$3×(1 + 1) - (1 - 1) = 1×(1 + k)$，即$6 - 0 = 1 + k$，解得$k = 5$。
综上，增根为$x = 1$，$k$的值为$5$。
9. 若分式方程 $\frac{x - a}{x + 1} = a$ 无解，则 $ a $ 的值为
$\pm 1$
。答案：9. $ \pm 1 $ 解析:去分母得 $ x - a = a x + a $，即 $ ( a - 1 ) x = - 2 a $，显然当 $ a = 1 $ 时，方程无解. 当 $ a ≠ 1 $ 时，由分式方程无解，得到 $ x + 1 = 0 $，即 $ x = - 1 $，把 $ x = - 1 $ 代入整式方程得 $ - 1 - a = - a + a $，解得 $ a = - 1 $. 综上，$ a $ 的值为 $ \pm 1 $.
解析：
解：去分母得 $x - a = a(x + 1)$，整理得 $(a - 1)x = -2a$。
当 $a - 1 = 0$，即 $a = 1$ 时，方程 $(a - 1)x = -2a$ 无解，原分式方程无解。
当 $a - 1 ≠ 0$，即 $a ≠ 1$ 时，解得 $x = \frac{-2a}{a - 1}$。由分式方程无解，得 $x + 1 = 0$，即 $x = -1$。将 $x = -1$ 代入 $x = \frac{-2a}{a - 1}$，得 $-1 = \frac{-2a}{a - 1}$，解得 $a = -1$。
综上，$a$ 的值为 $\pm 1$。
当 $a - 1 = 0$，即 $a = 1$ 时，方程 $(a - 1)x = -2a$ 无解，原分式方程无解。
当 $a - 1 ≠ 0$，即 $a ≠ 1$ 时，解得 $x = \frac{-2a}{a - 1}$。由分式方程无解，得 $x + 1 = 0$，即 $x = -1$。将 $x = -1$ 代入 $x = \frac{-2a}{a - 1}$，得 $-1 = \frac{-2a}{a - 1}$，解得 $a = -1$。
综上，$a$ 的值为 $\pm 1$。
10. (2025·遂宁中考改编)若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{3 - ax}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$ 无解，求 $ a $ 的值。
答案：10. 原方程两边同乘 $ ( x - 2 ) $，得 $ - ( 3 - a x ) = a - ( x - 2 ) $，化简得 $ a x - 3 = a - x + 2 $，即 $ ( a + 1 ) x = a + 5 $. 当整式方程无解，即当 $ a + 1 = 0 $ 且 $ a + 5 ≠ 0 $ 时，即 $ a = - 1 $，此时方程无解；当解为增根，即当 $ x = \frac { a + 5 } { a + 1 } = 2 $ 时，解得 $ a = 3 $，此时 $ x = 2 $ 使原方程分母为零，无意义. 综上，$ a $ 的值为 - 1 或 3.
解析：
原方程两边同乘$(x - 2)$，得$-(3 - ax) = a - (x - 2)$，化简得$ax - 3 = a - x + 2$，即$(a + 1)x = a + 5$。
当$a + 1 = 0$且$a + 5 ≠ 0$时，即$a = -1$，整式方程无解，原方程无解；
当$x = \frac{a + 5}{a + 1} = 2$时，解得$a = 3$，此时$x = 2$为增根，原方程无解。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
当$a + 1 = 0$且$a + 5 ≠ 0$时，即$a = -1$，整式方程无解，原方程无解；
当$x = \frac{a + 5}{a + 1} = 2$时，解得$a = 3$，此时$x = 2$为增根，原方程无解。
综上，$a$的值为$-1$或$3$。
11. (齐齐哈尔中考改编)若关于 $ x $ 的方程 $\frac{1}{x - 4} + \frac{m}{x + 4} = \frac{m + 3}{x^2 - 16}$ 无解，求 $ m $ 的值。
答案：11. 去分母，得 $ x + 4 + m ( x - 4 ) = m + 3 $，整理，得 $ ( m + 1 ) x = 5 m - 1 $，当 $ m + 1 = 0 $ 时，方程无解，此时 $ m = - 1 $；当 $ m + 1 ≠ 0 $ 时，则 $ x = \frac { 5 m - 1 } { m + 1 } = \pm 4 $ 时关于 $ x $ 的方程无解，解得 $ m = 5 $ 或 $ - \frac { 1 } { 3 } $. 综上所述，$ m = - 1 $ 或 5 或 $ - \frac { 1 } { 3 } $.
解析：
解：方程两边同乘$(x - 4)(x + 4)$，得$x + 4 + m(x - 4) = m + 3$，整理得$(m + 1)x = 5m - 1$。
当$m + 1 = 0$，即$m = -1$时，方程无解。
当$m + 1 ≠ 0$时，$x = \frac{5m - 1}{m + 1}$。若原方程无解，则$x = \frac{5m - 1}{m + 1} = 4$或$x = \frac{5m - 1}{m + 1} = -4$。
当$\frac{5m - 1}{m + 1} = 4$时，解得$m = 5$；当$\frac{5m - 1}{m + 1} = -4$时，解得$m = -\frac{1}{3}$。
综上，$m = -1$或$5$或$-\frac{1}{3}$。
当$m + 1 = 0$，即$m = -1$时，方程无解。
当$m + 1 ≠ 0$时，$x = \frac{5m - 1}{m + 1}$。若原方程无解，则$x = \frac{5m - 1}{m + 1} = 4$或$x = \frac{5m - 1}{m + 1} = -4$。
当$\frac{5m - 1}{m + 1} = 4$时，解得$m = 5$；当$\frac{5m - 1}{m + 1} = -4$时，解得$m = -\frac{1}{3}$。
综上，$m = -1$或$5$或$-\frac{1}{3}$。