11. 已知化简$\sqrt{96}·\sqrt{a}$的结果是一个整数，则正整数$a$的最小值是
$6$
。答案：11. $6$ 解析：$∵\sqrt{96}·\sqrt{a}=\sqrt{96a}=\sqrt{16×6a}=4\sqrt{6a}$，且$\sqrt{96}·\sqrt{a}$的结果是一个整数，$∴\sqrt{6a}$是一个整数，$∴6a$是平方数，$∴$正整数$a$的最小值是$6$.
12. 已知$\sqrt{20 - x^{2}}-\sqrt{8 - x^{2}}=2$，则$\sqrt{20 - x^{2}}+\sqrt{8 - x^{2}}$
$6$
。答案：12. $6$ 解析：$∵(\sqrt{20 - x^{2}} - \sqrt{8 - x^{2}})·(\sqrt{20 - x^{2}} + \sqrt{8 - x^{2}})=20 - x^{2} - (8 - x^{2})=12$，而$\sqrt{20 - x^{2}} - \sqrt{8 - x^{2}}=2$，$∴\sqrt{20 - x^{2}} + \sqrt{8 - x^{2}}=6$.
解析：
设$a = \sqrt{20 - x^{2}}$，$b = \sqrt{8 - x^{2}}$，则原方程为$a - b = 2$。
因为$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$，又$a^{2} = 20 - x^{2}$，$b^{2} = 8 - x^{2}$，所以$a^{2} - b^{2} = (20 - x^{2}) - (8 - x^{2}) = 12$，即$(a - b)(a + b) = 12$。
已知$a - b = 2$，所以$2(a + b) = 12$，解得$a + b = 6$，即$\sqrt{20 - x^{2}} + \sqrt{8 - x^{2}} = 6$。
$6$
因为$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$，又$a^{2} = 20 - x^{2}$，$b^{2} = 8 - x^{2}$，所以$a^{2} - b^{2} = (20 - x^{2}) - (8 - x^{2}) = 12$，即$(a - b)(a + b) = 12$。
已知$a - b = 2$，所以$2(a + b) = 12$，解得$a + b = 6$，即$\sqrt{20 - x^{2}} + \sqrt{8 - x^{2}} = 6$。
$6$
13. (2024·德阳中考改编)将一组数$\sqrt{2},2,\sqrt{6},2\sqrt{2},\sqrt{10},2\sqrt{3},···,\sqrt{2n}$按以下方式进行排列：
第一行 $\sqrt{2}$
第二行 $2$ $\sqrt{6}$
第三行 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{10}$ $2\sqrt{3}$
$···$ $···$
则第八行左起第2个数是
第一行 $\sqrt{2}$
第二行 $2$ $\sqrt{6}$
第三行 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{10}$ $2\sqrt{3}$
$···$ $···$
则第八行左起第2个数是
$2\sqrt{15}$
。答案：13. $2\sqrt{15}$ 解析：由题图可知，第一行有$1$个数，第二行共有$2$个数，第三行共有$3$个数，归纳类推得第一行至第七行共有$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$（个）数，则第八行左起第$2$个数是$\sqrt{2×(28 + 2)}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.
解析：
第一行至第七行共有$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$个数，第八行左起第2个数是第$28 + 2 = 30$个数，该数为$\sqrt{2×30}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$。
$2\sqrt{15}$
$2\sqrt{15}$
14. 计算：
(1)$\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
(2)$(-\sqrt{xy^{5}})·\sqrt{x^{3}y}·(-\sqrt{\frac{1}{y^{6}}})(x≥0,y＞0)$；
(3)$\sqrt{108a^{3}b}·(-\sqrt{6b})(a≥0,b≥0)$；
(4)$\sqrt{2025^{2}-2023^{2}}$。
(1)$\sqrt{\frac{3}{4}}×\sqrt{2\frac{2}{3}}$；
(2)$(-\sqrt{xy^{5}})·\sqrt{x^{3}y}·(-\sqrt{\frac{1}{y^{6}}})(x≥0,y＞0)$；
(3)$\sqrt{108a^{3}b}·(-\sqrt{6b})(a≥0,b≥0)$；
(4)$\sqrt{2025^{2}-2023^{2}}$。
答案：14. (1)原式$=\sqrt{\frac{3}{4}×\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$.
(2)原式$=\sqrt{xy^{5}·x^{3}y·\frac{1}{y^{6}}}=\sqrt{x^{4}}=x^{2}$.
(3)原式$=-\sqrt{108a^{3}b}·\sqrt{6b}=-\sqrt{648a^{3}b^{2}}=-18ab\sqrt{2a}$.
(4)原式$=\sqrt{(2025 - 2023)×(2025 + 2023)}=\sqrt{2×4048}=4\sqrt{506}$.
(2)原式$=\sqrt{xy^{5}·x^{3}y·\frac{1}{y^{6}}}=\sqrt{x^{4}}=x^{2}$.
(3)原式$=-\sqrt{108a^{3}b}·\sqrt{6b}=-\sqrt{648a^{3}b^{2}}=-18ab\sqrt{2a}$.
(4)原式$=\sqrt{(2025 - 2023)×(2025 + 2023)}=\sqrt{2×4048}=4\sqrt{506}$.
15. (2025·绵阳校级月考)如图，从一个大正方形中裁去面积为$30cm^{2}$和$48cm^{2}$的两个小正方形，则余下部分的面积为
$24\sqrt{10}$
$cm^{2}$。答案：15. $24\sqrt{10}$ 解析：从一个大正方形中裁去面积为$30cm^{2}$和$48cm^{2}$的两个小正方形，大正方形的边长是$\sqrt{30} + \sqrt{48}=(\sqrt{30} + 4\sqrt{3})cm$，余下部分（即阴影部分）的面积是$(\sqrt{30} + 4\sqrt{3})^{2} - 30 - 48 = 24\sqrt{10}(cm^{2})$.
解析：
大正方形的边长是$\sqrt{30} + \sqrt{48}=(\sqrt{30} + 4\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$，余下部分的面积是$(\sqrt{30} + 4\sqrt{3})^{2} - 30 - 48 = 24\sqrt{10}\ \mathrm{cm}^2$。
16. 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如$\sqrt{a}$与$\sqrt{a},\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$。在解形如$\sqrt{24 - x}=\sqrt{8 - x}+2$的方程时也可以采用类似的策略：由$(\sqrt{24 - x}-\sqrt{8 - x})·(\sqrt{24 - x}+\sqrt{8 - x})=(\sqrt{24 - x})^{2}-(\sqrt{8 - x})^{2}=16$，考虑到$\sqrt{24 - x}-\sqrt{8 - x}=2$，可得$\sqrt{24 - x}+\sqrt{8 - x}=8$，故可得$\begin{cases}\sqrt{24 - x}=5,\\\sqrt{8 - x}=3,\end{cases}$将$\sqrt{24 - x}=5$两边平方可解得$x = - 1$，经检验，$x = - 1$是原方程的解。
请根据此方法，解下面的方程：
(1)方程$\sqrt{x + 1}=2$的解是
(2)方程$\sqrt{x^{2}+42}+\sqrt{x^{2}+10}=16$的解是
(3)解方程$\sqrt{4x^{2}+6x - 5}+\sqrt{4x^{2}-2x - 5}=4x$。
请根据此方法，解下面的方程：
(1)方程$\sqrt{x + 1}=2$的解是
$x = 3$
；(2)方程$\sqrt{x^{2}+42}+\sqrt{x^{2}+10}=16$的解是
$x = ±\sqrt{39}$
；(3)解方程$\sqrt{4x^{2}+6x - 5}+\sqrt{4x^{2}-2x - 5}=4x$。
答案：16. (1)$x = 3$ 解析：$∵\sqrt{x + 1}=2$，$∴x + 1 = 4$，解得$x = 3$，经检验，$x = 3$是原方程的解.
(2)$x = ±\sqrt{39}$ 解析：$∵(\sqrt{x^{2} + 42} + \sqrt{x^{2} + 10})(\sqrt{x^{2} + 42} - \sqrt{x^{2} + 10})=x^{2} + 42 - (x^{2} + 10)=32$，又$∵\sqrt{x^{2} + 42} + \sqrt{x^{2} + 10}=16$，$∴\sqrt{x^{2} + 42} - \sqrt{x^{2} + 10}=2$，$∴\begin{cases}\sqrt{x^{2} + 42}=9,\\\sqrt{x^{2} + 10}=7,\end{cases}$$∴x^{2}=39$，$∴x = ±\sqrt{39}$，经检验，$x = ±\sqrt{39}$是原方程的解.
(3)$∵\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} + \sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=4x$，$∴(\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} + \sqrt{4x^{2} - 2x - 5})(\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} - \sqrt{4x^{2} - 2x - 5})=4x^{2} + 6x - 5 - (4x^{2} - 2x - 5)=8x$，$∴\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} - \sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=2$，$∴\begin{cases}\sqrt{4x^{2} + 6x - 5}=2x + 1,\\\sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=2x - 1,\end{cases}$解得$x = 3$，经检验，$x = 3$是原方程的解，$∴$原方程的解为$x = 3$.
(2)$x = ±\sqrt{39}$ 解析：$∵(\sqrt{x^{2} + 42} + \sqrt{x^{2} + 10})(\sqrt{x^{2} + 42} - \sqrt{x^{2} + 10})=x^{2} + 42 - (x^{2} + 10)=32$，又$∵\sqrt{x^{2} + 42} + \sqrt{x^{2} + 10}=16$，$∴\sqrt{x^{2} + 42} - \sqrt{x^{2} + 10}=2$，$∴\begin{cases}\sqrt{x^{2} + 42}=9,\\\sqrt{x^{2} + 10}=7,\end{cases}$$∴x^{2}=39$，$∴x = ±\sqrt{39}$，经检验，$x = ±\sqrt{39}$是原方程的解.
(3)$∵\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} + \sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=4x$，$∴(\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} + \sqrt{4x^{2} - 2x - 5})(\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} - \sqrt{4x^{2} - 2x - 5})=4x^{2} + 6x - 5 - (4x^{2} - 2x - 5)=8x$，$∴\sqrt{4x^{2} + 6x - 5} - \sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=2$，$∴\begin{cases}\sqrt{4x^{2} + 6x - 5}=2x + 1,\\\sqrt{4x^{2} - 2x - 5}=2x - 1,\end{cases}$解得$x = 3$，经检验，$x = 3$是原方程的解，$∴$原方程的解为$x = 3$.