1. 计算$\sqrt{12}÷\sqrt{3}$的结果是(
A.4
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.2
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C
)A.4
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.2
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
答案：1. C 解析：$\sqrt{12}÷\sqrt{3}=\sqrt{\frac{12}{3}} = 2$. 故选 C.
2. 下列化简错误的是(
A.$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
B.$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{3}{8}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{1\frac{9}{16}}=1\frac{3}{4}$
D.$-\sqrt{\frac{24}{27}}=-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
C
)A.$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
B.$\sqrt{\frac{27}{64}}=\frac{3}{8}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{1\frac{9}{16}}=1\frac{3}{4}$
D.$-\sqrt{\frac{24}{27}}=-\frac{2}{3}\sqrt{2}$
答案：2. C 解析：A，B，D 均化简正确，C. $\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$，原式化简错误. 故选 C.
易错提醒
形如 $\sqrt{1\frac{9}{16}}$ 的二次根式，本质上为 $\sqrt{1+\frac{9}{16}}$，而不是 $\sqrt{1×\frac{9}{16}}$，故需要整合为 $\sqrt{\frac{25}{16}}$ 之后再进行化简.
易错提醒
形如 $\sqrt{1\frac{9}{16}}$ 的二次根式，本质上为 $\sqrt{1+\frac{9}{16}}$，而不是 $\sqrt{1×\frac{9}{16}}$，故需要整合为 $\sqrt{\frac{25}{16}}$ 之后再进行化简.
3. 等式$\sqrt{\frac{x - 3}{x - 5}}=\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x - 5}}$成立的条件是(
A.$x≠5$
B.$x≥3$
C.$x≥3$且$x≠5$
D.$x＞5$
D
)A.$x≠5$
B.$x≥3$
C.$x≥3$且$x≠5$
D.$x＞5$
答案：3. D 解析：由题意可得 $x - 3≥0$，$x - 5≥0$，$x - 5≠0$，解得 $x＞5$. 故选 D.
4. 计算：
(1)$\sqrt{\frac{-48}{-3}}=$
(3)$\sqrt{12}÷\sqrt{1\frac{1}{2}}=$
(4)$\sqrt{54ab}÷\sqrt{\frac{9b}{a^{2}}}(a＞0,b＞0)=$
(1)$\sqrt{\frac{-48}{-3}}=$
4
；(2)$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}=$$2\sqrt{2}$
；(3)$\sqrt{12}÷\sqrt{1\frac{1}{2}}=$
$2\sqrt{2}$
；(4)$\sqrt{54ab}÷\sqrt{\frac{9b}{a^{2}}}(a＞0,b＞0)=$
$a\sqrt{6a}$
。答案：4. (1) 4 解析：原式 $=\sqrt{16}=4$.
(2) $2\sqrt{2}$ 解析：原式 $=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
(3) $2\sqrt{2}$ 解析：原式 $=\sqrt{12÷\frac{3}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
(4) $a\sqrt{6a}$ 解析：$\sqrt{54ab}÷\sqrt{\frac{9b}{a^{2}}}=\sqrt{54ab÷\frac{9b}{a^{2}}}=\sqrt{6a^{3}}=a\sqrt{6a}$.
(2) $2\sqrt{2}$ 解析：原式 $=\sqrt{\frac{40}{5}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
(3) $2\sqrt{2}$ 解析：原式 $=\sqrt{12÷\frac{3}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
(4) $a\sqrt{6a}$ 解析：$\sqrt{54ab}÷\sqrt{\frac{9b}{a^{2}}}=\sqrt{54ab÷\frac{9b}{a^{2}}}=\sqrt{6a^{3}}=a\sqrt{6a}$.
5. 当$x = - 2$时，二次根式$m\sqrt{x^{2}+1}$的值为$\sqrt{10}$，则$m$的值为
$\sqrt{2}$
。答案：5. $\sqrt{2}$ 解析：将 $x = - 2$ 代入得 $\sqrt{5}m=\sqrt{10}$，$\therefore m=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$.
解析：
将$x = - 2$代入二次根式$m\sqrt{x^{2}+1}$，得$m\sqrt{(-2)^{2}+1}=m\sqrt{5}$。
因为此时该二次根式的值为$\sqrt{10}$，所以$m\sqrt{5}=\sqrt{10}$，解得$m = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$
因为此时该二次根式的值为$\sqrt{10}$，所以$m\sqrt{5}=\sqrt{10}$，解得$m = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$
6. 如果$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{x}{8}}$是整数，那么整数$x$的值是
1 或 4 或 16
。答案：6. 1 或 4 或 16 解析：$\because\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{x}{8}}=\sqrt{\frac{16}{x}}=\frac{4}{\sqrt{x}}$ 是整数，$\therefore x = 1$ 或 $x = 4$ 或 $x = 16$.
解析：
$\sqrt{2} ÷ \sqrt{\frac{x}{8}} = \sqrt{\frac{2}{\frac{x}{8}}} = \sqrt{\frac{16}{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$，因为结果是整数，所以$\sqrt{x}$是4的正因数，即$\sqrt{x}=1$或$\sqrt{x}=2$或$\sqrt{x}=4$，解得$x=1$或$x=4$或$x=16$。
7. 计算：
（1）$\sqrt{6.5}÷\sqrt{0.5}$；
（2）$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$；
（3）$\sqrt{4\frac{1}{2}}÷(-\sqrt{2\frac{2}{3}})$；
（4）$-\frac{2}{3}\sqrt{a^{3}b}÷\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$。
（1）$\sqrt{6.5}÷\sqrt{0.5}$；
（2）$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{15}}{\sqrt{5}}$；
（3）$\sqrt{4\frac{1}{2}}÷(-\sqrt{2\frac{2}{3}})$；
（4）$-\frac{2}{3}\sqrt{a^{3}b}÷\sqrt{\frac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$。
答案：7. (1) 原式 $=\sqrt{6.5÷0.5}=\sqrt{6.5×2}=\sqrt{13}$.
(2) 原式 $=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
(3) 原式 $=\sqrt{\frac{9}{2}}÷(-\sqrt{\frac{8}{3}})=-\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{8}{3}}=-\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{3}{8}}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
(4) 原式 $=-\frac{2}{3}\sqrt{a^{3}b÷\frac{b}{a}}=-\frac{2}{3}\sqrt{a^{4}}=-\frac{2}{3}a^{2}$.
(2) 原式 $=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$.
(3) 原式 $=\sqrt{\frac{9}{2}}÷(-\sqrt{\frac{8}{3}})=-\sqrt{\frac{9}{2}÷\frac{8}{3}}=-\sqrt{\frac{9}{2}×\frac{3}{8}}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
(4) 原式 $=-\frac{2}{3}\sqrt{a^{3}b÷\frac{b}{a}}=-\frac{2}{3}\sqrt{a^{4}}=-\frac{2}{3}a^{2}$.
8. (济宁中考)如果$ab＞0$，$a + b＜0$，那么下面各式：①$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；②$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}} = 1$；③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=-b$。其中正确的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
B
)A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案：8. B 解析：①中 $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$，运算错误；②③运算正确. 故选 B.
9. (2025·南阳校级月考)小英在$(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})$■$\sqrt{2}$中的“■”填入运算符号“×”得到的结果为$m$，小康在$(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})$■$\sqrt{2}$中的“■”填入运算符号“÷”得到的结果为$n$，则$m$，$n$之间的关系为(
A.$m = n$
B.$m = 2n$
C.$m = n + 1$
D.$n = 2m$
B
)A.$m = n$
B.$m = 2n$
C.$m = n + 1$
D.$n = 2m$
答案：9. B 解析：依题意，$m=(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})×\sqrt{2}=\sqrt{8×2}-\sqrt{\frac{1}{2}×2}=4 - 1 = 3$，$n=(\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}})÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$\therefore m = 2n$，故选 B.