1. (1) 比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2023}$和$\sqrt{2024}-\sqrt{2022}$的大小；
答案：1. (1) $\sqrt{2025}-\sqrt{2023}=\frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})×(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}=\frac{2}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}$，同理 $\sqrt{2024}-\sqrt{2022}=\frac{2}{\sqrt{2024}+\sqrt{2022}}$，$\because\sqrt{2025}+\sqrt{2023}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2022}$，$\therefore\sqrt{2025}-\sqrt{2023}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2022}$。
(2) 比较$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$的大小。
答案：(2) $3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}+4)×(3\sqrt{2}-4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$，$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{10})×(2\sqrt{3}-\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$，而 $3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$4＞\sqrt{10}$，$\therefore3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$，$\therefore3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
2. 比较$P=\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}$与$Q = 2\sqrt{a + 5}(a＞-3)$的大小。
答案：2. 通过移项可得比较 $\sqrt{a+3}+\sqrt{a+7}$ 与 $2\sqrt{a+5}$ 的大小等同于比较 $\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}$ 与 $\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}$ 的大小，$\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}=\frac{2}{\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}}$，$\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}=\frac{2}{\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}}$，$\because\sqrt{a+7}+\sqrt{a+5}＞\sqrt{a+5}+\sqrt{a+3}$，$\therefore\sqrt{a+7}-\sqrt{a+5}＜\sqrt{a+5}-\sqrt{a+3}$，$\therefore\sqrt{a+3}+\sqrt{a+7}＜2\sqrt{a+5}$，即 $P＜Q$。
解析：
要比较$P = \sqrt{a + 3} + \sqrt{a + 7}$与$Q = 2\sqrt{a + 5}(a ＞ - 3)$的大小，可转化为比较$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}$与$\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$的大小。
$\begin{aligned}\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}&=\frac{(\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5})(\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5})}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\\&=\frac{(a + 7)-(a + 5)}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\\&=\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}&=\frac{(\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3})(\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3})}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\\&=\frac{(a + 5)-(a + 3)}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\\&=\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\end{aligned}$
因为$a ＞ - 3$，所以$\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}＞\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}$，则$\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}＜\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}$，即$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}＜\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$，故$\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}＜2\sqrt{a + 5}$，所以$P ＜ Q$。
$\begin{aligned}\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}&=\frac{(\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5})(\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5})}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\\&=\frac{(a + 7)-(a + 5)}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\\&=\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}&=\frac{(\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3})(\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3})}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\\&=\frac{(a + 5)-(a + 3)}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\\&=\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}\end{aligned}$
因为$a ＞ - 3$，所以$\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}＞\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}$，则$\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}＜\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}$，即$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}＜\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$，故$\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}＜2\sqrt{a + 5}$，所以$P ＜ Q$。
3. 例：求$y=\sqrt{x + 2}-\sqrt{x - 2}$的最大值。
解：由$x + 2≥0$，$x - 2≥0$可知$x≥2$，而$y=\sqrt{x + 2}-\sqrt{x - 2}=\frac{4}{\sqrt{x + 2}+\sqrt{x - 2}}$。当$x = 2$时，分母$\sqrt{x + 2}+\sqrt{x - 2}$有最小值 2，所以$y$的最大值是 2。
利用上面的方法，完成下面两题：
(1) 求$y=\sqrt{2x + 1}-\sqrt{2x - 3}+5$的最大值；
(2) 已知$y=\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 + x}-\sqrt{x}$，求$y$的最小值。
解：由$x + 2≥0$，$x - 2≥0$可知$x≥2$，而$y=\sqrt{x + 2}-\sqrt{x - 2}=\frac{4}{\sqrt{x + 2}+\sqrt{x - 2}}$。当$x = 2$时，分母$\sqrt{x + 2}+\sqrt{x - 2}$有最小值 2，所以$y$的最大值是 2。
利用上面的方法，完成下面两题：
(1) 求$y=\sqrt{2x + 1}-\sqrt{2x - 3}+5$的最大值；
(2) 已知$y=\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 + x}-\sqrt{x}$，求$y$的最小值。
答案：3. (1) $\because2x+1≥0$，$2x-3≥0$，$\therefore x≥\frac{3}{2}$，$\because y=\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-3}+5=\frac{(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-3})(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-3})}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-3}}+5=\frac{4}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-3}}+5$，当 $x=\frac{3}{2}$ 时，分母 $\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-3}$ 有最小值 $2$，$\therefore y$ 的最大值是 $7$。
(2) 由 $1-x≥0$，$1+x≥0$，$x≥0$ 得 $0≤ x≤1$，$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$，当 $x=1$ 时，$\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$ 有最大值，则 $\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$ 有最小值 $\sqrt{2}-1$，此时 $\sqrt{1-x}$ 有最小值 $0$，$\therefore y$ 的最小值为 $\sqrt{2}-1$。
(2) 由 $1-x≥0$，$1+x≥0$，$x≥0$ 得 $0≤ x≤1$，$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-\sqrt{x}=\sqrt{1-x}+\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$，当 $x=1$ 时，$\sqrt{1+x}+\sqrt{x}$ 有最大值，则 $\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}$ 有最小值 $\sqrt{2}-1$，此时 $\sqrt{1-x}$ 有最小值 $0$，$\therefore y$ 的最小值为 $\sqrt{2}-1$。