1. 已知 $ a,b,c $ 在数轴上位置如图，则 $ \sqrt{(a - b)^2} - \sqrt{c^2 - 2bc + b^2} + \sqrt[3]{a^3} = $
$2b - c$
.答案：1. $2b - c$ 解析：由数轴可得 $a - b ＜ 0$，$c - b ＞ 0$，$\therefore \sqrt{(a - b)^2} - \sqrt{c^2 - 2bc + b^2} + \sqrt[3]{a^3} = |a - b| - \sqrt{(c - b)^2} + a = |a - b| - |c - b| + a = b - a - c + b + a = 2b - c$。
解析：
解：由数轴可知 $a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，则 $a - b ＜ 0$，$c - b ＞ 0$。
$\begin{aligned}\sqrt{(a - b)^2} - \sqrt{c^2 - 2bc + b^2} + \sqrt[3]{a^3}&=|a - b| - \sqrt{(c - b)^2} + a\\&=b - a - (c - b) + a\\&=b - a - c + b + a\\&=2b - c\end{aligned}$
$2b - c$
$\begin{aligned}\sqrt{(a - b)^2} - \sqrt{c^2 - 2bc + b^2} + \sqrt[3]{a^3}&=|a - b| - \sqrt{(c - b)^2} + a\\&=b - a - (c - b) + a\\&=b - a - c + b + a\\&=2b - c\end{aligned}$
$2b - c$
2. 已知 $ a,b,c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足关系 $ \sqrt{a^2 - b^2 - c^2} + b - c = 0 $，则 $ △ ABC $ 的形状是
等腰直角三角形
.答案：2. 等腰直角三角形 解析：由二次根式的非负性可得 $a^2 - b^2 - c^2 = 0$ 且 $b - c = 0$，$\therefore b = c$，$b^2 + c^2 = a^2$，$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形。
解析：
$\because \sqrt{a^2 - b^2 - c^2} + |b - c| = 0$，且$\sqrt{a^2 - b^2 - c^2} ≥ 0$，$|b - c| ≥ 0$，
$\therefore a^2 - b^2 - c^2 = 0$，$b - c = 0$，
$\therefore b = c$，$a^2 = b^2 + c^2$，
$\therefore △ABC$是等腰直角三角形。
$\therefore a^2 - b^2 - c^2 = 0$，$b - c = 0$，
$\therefore b = c$，$a^2 = b^2 + c^2$，
$\therefore △ABC$是等腰直角三角形。
3. 代数式 $ \sqrt{(1 - a)^2} + \sqrt{(3 - a)^2} $ 的值为常数 $ 2 $，则 $ a $ 的取值范围是(
A.$ a ≥ 3 $
B.$ a ≤ 1 $
C.$ 1 ≤ a ≤ 3 $
D.$ a = 1 $ 或 $ a = 3 $
C
)A.$ a ≥ 3 $
B.$ a ≤ 1 $
C.$ 1 ≤ a ≤ 3 $
D.$ a = 1 $ 或 $ a = 3 $
答案：3. C 解析：$\sqrt{(1 - a)^2} + \sqrt{(3 - a)^2} = |1 - a| + |3 - a|$，当 $a ＜ 1$ 时，原式 $= 1 - a + 3 - a = 4 - 2a$，由题意得 $4 - 2a = 2$，解得 $a = 1$，不符合题意，舍去；当 $1 ≤ a ≤ 3$ 时，原式 $= a - 1 + 3 - a = 2$，符合题意；当 $a ＞ 3$ 时，原式 $= a - 1 + a - 3 = 2a - 4$，由题意得 $2a - 4 = 2$，解得 $a = 3$，不符合题意，舍去。综上，$a$ 的取值范围是 $1 ≤ a ≤ 3$。故选 C。
4. 已知 $ x,y $ 是正整数，若 $ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{275} $，则 $ x + y $ 的值是(
A.$ 143 $ 或 $ 187 $
B.$ 137 $ 或 $ 275 $
C.$ 143 $ 或 $ 275 $
D.$ 5 $ 或 $ 11 $
A
)A.$ 143 $ 或 $ 187 $
B.$ 137 $ 或 $ 275 $
C.$ 143 $ 或 $ 275 $
D.$ 5 $ 或 $ 11 $
答案：4. A 解析：$\because \sqrt{275} = 5\sqrt{11}$，设 $\sqrt{x} = a\sqrt{11}$，$\sqrt{y} = b\sqrt{11}$，$\therefore a + b = 5$。$\because a$，$b$ 是正整数，$\therefore a = 1$，$b = 4$ 或 $a = 2$，$b = 3$ 或 $a = 3$，$b = 2$ 或 $a = 4$，$b = 1$。$\because x = 11 × a^2$，$y = 11 × b^2$，$\therefore x + y = 11 × (a^2 + b^2) = 11 × 13 = 143$ 或 $x + y = 11 × (a^2 + b^2) = 11 × 17 = 187$，故选 A。
5. 若 $ a + b = -4,ab = 1 $，则 $ \sqrt{\dfrac{a}{b}} + \sqrt{\dfrac{b}{a}} $ 的值为(
A.$ 4 $
B.$ -4 $
C.$ 16 $
D.$ 4 $ 或 $ -4 $
A
)A.$ 4 $
B.$ -4 $
C.$ 16 $
D.$ 4 $ 或 $ -4 $
答案：5. A 解析：$\because a + b = -4$，$ab = 1$，$\therefore a ＜ 0$，$b ＜ 0$，$\therefore \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{ab}}{-b} + \frac{\sqrt{ab}}{-a} = -(\frac{1}{b} + \frac{1}{a}) = -\frac{a + b}{ab} = -\frac{-4}{1} = 4$，故选 A。
6. (达州中考)人们把 $ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618 $ 这个数叫作黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“$ 0.618 $ 法”就应用了黄金比.设 $ a = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2},b = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2} $，记 $ S_1 = \dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b},S_2 = \dfrac{2}{1 + a^2} + \dfrac{2}{1 + b^2},···,S_{100} = \dfrac{100}{1 + a^{100}} + \dfrac{100}{1 + b^{100}} $，则 $ S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = $
$5050$
.答案：6. $5050$ 解析：$\because a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$，$\therefore ab = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1$。$\because S_1 = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{2 + a + b}{1 + a + b + ab} = \frac{2 + a + b}{2 + a + b} = 1$，$S_2 = \frac{2}{1 + a^2} + \frac{2}{1 + b^2} = 2 × \frac{2 + a^2 + b^2}{1 + a^2 + b^2 + a^2b^2} = 2 × \frac{2 + a^2 + b^2}{2 + a^2 + b^2} = 2$，$···$，$S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}} = 100 × \frac{1 + a^{100} + 1 + b^{100}}{1 + a^{100} + b^{100} + a^{100}b^{100}} = 100$，$\therefore S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = 1 + 2 + ··· + 100 = 5050$。
解析：
$\because a = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$b = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$，
$\therefore ab = \dfrac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}{2×2} = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$。
$S_1 = \dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} = \dfrac{(1 + b) + (1 + a)}{(1 + a)(1 + b)} = \dfrac{2 + a + b}{1 + a + b + ab} = \dfrac{2 + a + b}{1 + a + b + 1} = \dfrac{2 + a + b}{2 + a + b} = 1$；
$S_2 = \dfrac{2}{1 + a^2} + \dfrac{2}{1 + b^2} = 2(\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1 + b^2}) = 2×\dfrac{(1 + b^2) + (1 + a^2)}{(1 + a^2)(1 + b^2)} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{1 + a^2 + b^2 + a^2b^2} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{1 + a^2 + b^2 + 1} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{2 + a^2 + b^2} = 2$；
$···$
$S_{100} = \dfrac{100}{1 + a^{100}} + \dfrac{100}{1 + b^{100}} = 100(\dfrac{1}{1 + a^{100}} + \dfrac{1}{1 + b^{100}}) = 100×\dfrac{(1 + b^{100}) + (1 + a^{100})}{(1 + a^{100})(1 + b^{100})} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{1 + a^{100} + b^{100} + a^{100}b^{100}} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{1 + a^{100} + b^{100} + 1} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{2 + a^{100} + b^{100}} = 100$。
$\therefore S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = 1 + 2 + ··· + 100 = \dfrac{100×(100 + 1)}{2} = 5050$。
$5050$
$\therefore ab = \dfrac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}{2×2} = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$。
$S_1 = \dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} = \dfrac{(1 + b) + (1 + a)}{(1 + a)(1 + b)} = \dfrac{2 + a + b}{1 + a + b + ab} = \dfrac{2 + a + b}{1 + a + b + 1} = \dfrac{2 + a + b}{2 + a + b} = 1$；
$S_2 = \dfrac{2}{1 + a^2} + \dfrac{2}{1 + b^2} = 2(\dfrac{1}{1 + a^2} + \dfrac{1}{1 + b^2}) = 2×\dfrac{(1 + b^2) + (1 + a^2)}{(1 + a^2)(1 + b^2)} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{1 + a^2 + b^2 + a^2b^2} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{1 + a^2 + b^2 + 1} = 2×\dfrac{2 + a^2 + b^2}{2 + a^2 + b^2} = 2$；
$···$
$S_{100} = \dfrac{100}{1 + a^{100}} + \dfrac{100}{1 + b^{100}} = 100(\dfrac{1}{1 + a^{100}} + \dfrac{1}{1 + b^{100}}) = 100×\dfrac{(1 + b^{100}) + (1 + a^{100})}{(1 + a^{100})(1 + b^{100})} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{1 + a^{100} + b^{100} + a^{100}b^{100}} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{1 + a^{100} + b^{100} + 1} = 100×\dfrac{2 + a^{100} + b^{100}}{2 + a^{100} + b^{100}} = 100$。
$\therefore S_1 + S_2 + ··· + S_{100} = 1 + 2 + ··· + 100 = \dfrac{100×(100 + 1)}{2} = 5050$。
$5050$
7. (2025·茂名期中)类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：$ \sqrt{x + 1} = 2 $.
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：$ \sqrt{9x^2 - 5x} + 3x = 1 $.
②代数式 $ \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} $ 的值能否等于 $ 7 $？若能，求出 $ x $ 的值；若不能，请说明理由.
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：$ \sqrt{x + 1} = 2 $.
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程
$x + 1 = 4$
，解这个方程，得 $ x = $$3$
.经检验，$ x = $$3$
是原方程的解.(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：$ \sqrt{9x^2 - 5x} + 3x = 1 $.
②代数式 $ \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} $ 的值能否等于 $ 7 $？若能，求出 $ x $ 的值；若不能，请说明理由.
答案：7. (1) $x + 1 = 4$ $3$ $3$
(2) ① $\sqrt{9x^2 - 5x} + 3x = 1$，移项得 $\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$，去根号，两边同时平方得 $9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$，即 $9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$，解得 $x = 1$，检验：$x = 1$ 时，方程左边 $= \sqrt{9 × 1^2 - 5 × 1} + 3 × 1 = 5 ≠$ 右边，$\therefore x = 1$ 不是原方程的解，原方程无解。
② 不能，理由：若代数式 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4}$ 的值等于 $7$，即 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7$，移项，得 $\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$，两边同时平方，得 $(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$，化简，得 $\sqrt{x^2 + 4} = x$，两边同时平方，得 $x^2 + 4 = x^2$，$\therefore$ 该方程无解，$\therefore$ 代数式 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4}$ 的值不能等于 $7$。
(2) ① $\sqrt{9x^2 - 5x} + 3x = 1$，移项得 $\sqrt{9x^2 - 5x} = 1 - 3x$，去根号，两边同时平方得 $9x^2 - 5x = (1 - 3x)^2$，即 $9x^2 - 5x = 1 - 6x + 9x^2$，解得 $x = 1$，检验：$x = 1$ 时，方程左边 $= \sqrt{9 × 1^2 - 5 × 1} + 3 × 1 = 5 ≠$ 右边，$\therefore x = 1$ 不是原方程的解，原方程无解。
② 不能，理由：若代数式 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4}$ 的值等于 $7$，即 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7$，移项，得 $\sqrt{(7 - x)^2 + 4} = 7 - \sqrt{x^2 + 4}$，两边同时平方，得 $(7 - x)^2 + 4 = 49 - 14\sqrt{x^2 + 4} + x^2 + 4$，化简，得 $\sqrt{x^2 + 4} = x$，两边同时平方，得 $x^2 + 4 = x^2$，$\therefore$ 该方程无解，$\therefore$ 代数式 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(7 - x)^2 + 4}$ 的值不能等于 $7$。
8. 观察下列各式及证明过程：
① $ \sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}} $；② $ \sqrt{\dfrac{1}{2} × ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} )} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}} $；③ $ \sqrt{\dfrac{1}{3} × ( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} )} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}} $.
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出第 $ 4 $ 个和第 $ 5 $ 个等式，并分别写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 $ n $（$ n $ 为自然数，且 $ n ≥ 1 $）表示的等式，并验证.
① $ \sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}} $；② $ \sqrt{\dfrac{1}{2} × ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} )} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}} $；③ $ \sqrt{\dfrac{1}{3} × ( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} )} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}} $.
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出第 $ 4 $ 个和第 $ 5 $ 个等式，并分别写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 $ n $（$ n $ 为自然数，且 $ n ≥ 1 $）表示的等式，并验证.
答案：8. (1) 由前三个式子可知第 $4$ 个等式为 $\sqrt{\frac{1}{4} × (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{4} × (\frac{1}{5} - \frac{1}{6})} = \sqrt{\frac{1}{4 × 5 × 6}} = \sqrt{\frac{5}{4 × 5^2 × 6}} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$；第 $5$ 个等式为 $\sqrt{\frac{1}{5} × (\frac{1}{6} - \frac{1}{7})} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{5} × (\frac{1}{6} - \frac{1}{7})} = \sqrt{\frac{1}{5 × 6 × 7}} = \sqrt{\frac{6}{5 × 6^2 × 7}} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$。
(2) 由各式反映的规律可得 $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}} = \sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 1)^2(n + 2)}} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$。
(2) 由各式反映的规律可得 $\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}} = \sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 1)^2(n + 2)}} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$。