数学探究▶画画·算算
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务：
欧几里得数
一般地，给定单位长度 1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里得数. 例如，如图①所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位长度 1. 借助方格图，可以构造出线段 $ AB $，$ CD $，$ EF $ 分别表示正整数 $ 2 $，$ 3 $，$ 4 $；也可以构造出线段 $ MN $ 表示正分数 $\frac{1}{2}$.
已知图②、图③、图④所示的方格图中，小正方形的边长均为单位长度 1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图并解决问题.
(1) 请在图②中用两种方法构造线段表示正整数 5.
(2) 小彬从材料中的结论出发展开联想，结合尺规作图，发现正无理数 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$ 也是欧几里得数，可分别用图③中两个三角形的边 $ XY $，$ PQ $ 表示. (其中除点 $ P $ 外均为格点)
① 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 2\sqrt{5} $，$ AC = \sqrt{10} $，$ BC = \sqrt{34} $，请在图④中画出格点 $ △ ABC $，并求出 $ △ ABC $ 的面积.
② 在图⑤中借助网格和尺规，用三种不同的方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里得数 $ 2\sqrt{3} $. (保留作图痕迹，不写作法)
⑤
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务：
欧几里得数
一般地，给定单位长度 1，一个数如果可以借助图形构造出来，我们就称这个数为欧几里得数. 例如，如图①所示的方格图中，设每个小正方形的边长为单位长度 1. 借助方格图，可以构造出线段 $ AB $，$ CD $，$ EF $ 分别表示正整数 $ 2 $，$ 3 $，$ 4 $；也可以构造出线段 $ MN $ 表示正分数 $\frac{1}{2}$.
已知图②、图③、图④所示的方格图中，小正方形的边长均为单位长度 1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图并解决问题.
(1) 请在图②中用两种方法构造线段表示正整数 5.
(2) 小彬从材料中的结论出发展开联想，结合尺规作图，发现正无理数 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$ 也是欧几里得数，可分别用图③中两个三角形的边 $ XY $，$ PQ $ 表示. (其中除点 $ P $ 外均为格点)
① 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 2\sqrt{5} $，$ AC = \sqrt{10} $，$ BC = \sqrt{34} $，请在图④中画出格点 $ △ ABC $，并求出 $ △ ABC $ 的面积.
② 在图⑤中借助网格和尺规，用三种不同的方法构造三角形，使三角形的一边表示欧几里得数 $ 2\sqrt{3} $. (保留作图痕迹，不写作法)
⑤
答案：①（假设图②为数轴或网格）方法一：在数轴上取原点右侧距离为5个单位长度的线段表示；方法二：在网格中构造直角边为3和4的直角三角形，斜边为5，用斜边长度表示。
@@(2)① 画图：在图④中，取格点 $ A(0,0) $，$ B(4,-2) $，$ C(1,3) $，连接 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 即得格点 $ △ ABC $。 面积：7 (2)② 方法一：构造直角三角形，两直角边分别为 $ 2 $（水平2格）和 $ 2\sqrt{2} $（格点 $ (0,0) $ 到 $ (2,2) $ 的距离），斜边即为 $ 2\sqrt{3} $。 方法二：构造直角三角形，两直角边分别为 $ 3 $（水平3格）和 $ \sqrt{3} $（直角边1和 $ \sqrt{2} $ 的斜边），斜边即为 $ 2\sqrt{3} $。 方法三：构造以 $ 2\sqrt{3} $ 为腰的等腰三角形，两腰均为 $ 2\sqrt{3} $，底边为格点间距离（如 $ 2\sqrt{6} $）。 （注：图⑤中需保留尺规作图痕迹，如作直角、截取等步骤）
@@(2)① 画图：在图④中，取格点 $ A(0,0) $，$ B(4,-2) $，$ C(1,3) $，连接 $ AB $，$ AC $，$ BC $ 即得格点 $ △ ABC $。 面积：7 (2)② 方法一：构造直角三角形，两直角边分别为 $ 2 $（水平2格）和 $ 2\sqrt{2} $（格点 $ (0,0) $ 到 $ (2,2) $ 的距离），斜边即为 $ 2\sqrt{3} $。 方法二：构造直角三角形，两直角边分别为 $ 3 $（水平3格）和 $ \sqrt{3} $（直角边1和 $ \sqrt{2} $ 的斜边），斜边即为 $ 2\sqrt{3} $。 方法三：构造以 $ 2\sqrt{3} $ 为腰的等腰三角形，两腰均为 $ 2\sqrt{3} $，底边为格点间距离（如 $ 2\sqrt{6} $）。 （注：图⑤中需保留尺规作图痕迹，如作直角、截取等步骤）