一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1. (2025·哈尔滨模拟)$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的倒数是 (
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
1. (2025·哈尔滨模拟)$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的倒数是 (
B
)A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
答案：1. B 解析: $\frac{\sqrt{2}}{2}$的倒数为$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.故选B.
解析：
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$的倒数为$\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$. 故选B.
2. (2024·济宁中考)下列运算正确的是(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C.$2÷\sqrt{2}=1$
D.$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
B
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C.$2÷\sqrt{2}=1$
D.$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
答案：2. B 解析:A. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$无法合并,原式运算错误;B. $\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$,原式运算正确;C. $2÷\sqrt{2}=\sqrt{2}$,原式运算错误;D. $\sqrt{(-5)^2}=\vert -5\vert = 5$,原式运算错误.故选B.
3. 下列二次根式中，是同类二次根式的是 (
A.$\sqrt{\dfrac{a}{bc}}$与$\sqrt{\dfrac{a^{3}c}{b}}$
B.$\sqrt{a^{3}b^{2}}$与$\sqrt{ab}$
C.$\sqrt{2a}$与$\sqrt{4a^{3}}$
D.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$与$\sqrt{a^{3}b^{2}}$
A
)A.$\sqrt{\dfrac{a}{bc}}$与$\sqrt{\dfrac{a^{3}c}{b}}$
B.$\sqrt{a^{3}b^{2}}$与$\sqrt{ab}$
C.$\sqrt{2a}$与$\sqrt{4a^{3}}$
D.$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$与$\sqrt{a^{3}b^{2}}$
答案：3. A 解析:A. $\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{\sqrt{abc}}{bc}$, $\sqrt{\frac{a^3c}{b}}=\frac{a\sqrt{abc}}{b}$,两者是同类二次根式;B. $\sqrt{a^3b^2}=ab\sqrt{a}$,两者不是同类二次根式;C. $\sqrt{4a^3}=2a\sqrt{a}$,两者不是同类二次根式;D. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$, $\sqrt{a^3b^2}=ab\sqrt{a}$,两者不是同类二次根式.故选A.
4. (2025·淮北期中)若$x$为实数，在“$(\sqrt{5}+1)□ x$”的“$□$”中添上一种运算符号(在$+$，$-$，$×$，$÷$中选择)后，其运算的结果为有理数，则$x$不可能是 (
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-3$
C.$1-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
D
)A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-3$
C.$1-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$
答案：4. D 解析:当$x = \sqrt{5} + 1$时,“口”中添上“ - ”,则$(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} + 1) = 0$,其运算的结果为有理数,
∴A选项不符合题意;当$x = \sqrt{5} - 3$时,“口”中添上“ - ”,则$(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 3) = 4$,其运算的结果为有理数,
∴B选项不符合题意;当$x = 1 - \sqrt{5}$时,“口”中添上“ + ”,则$(\sqrt{5} + 1) + (1 - \sqrt{5}) = 2$,其运算的结果为有理数,
∴C选项不符合题意;当$x = 2\sqrt{5}$时,“口”中无论添加哪种符号,结果均为无理数,
∴D选项符合题意.故选D.
∴A选项不符合题意;当$x = \sqrt{5} - 3$时,“口”中添上“ - ”,则$(\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 3) = 4$,其运算的结果为有理数,
∴B选项不符合题意;当$x = 1 - \sqrt{5}$时,“口”中添上“ + ”,则$(\sqrt{5} + 1) + (1 - \sqrt{5}) = 2$,其运算的结果为有理数,
∴C选项不符合题意;当$x = 2\sqrt{5}$时,“口”中无论添加哪种符号,结果均为无理数,
∴D选项符合题意.故选D.
5. (2024·重庆中考)估计$\sqrt{12}×(\sqrt{2}+\sqrt{3})$的值应在 (
A.8 和 9 之间
B.9 和 10 之间
C.10 和 11 之间
D.11 和 12 之间
C
)A.8 和 9 之间
B.9 和 10 之间
C.10 和 11 之间
D.11 和 12 之间
答案：5. C 解析:
∵ $\sqrt{12}×(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}+6$,而$4 ＜ \sqrt{24}=2\sqrt{6}＜5$,
∴ $10 ＜ 2\sqrt{6}+6 ＜ 11$.故选C.
∵ $\sqrt{12}×(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}+6$,而$4 ＜ \sqrt{24}=2\sqrt{6}＜5$,
∴ $10 ＜ 2\sqrt{6}+6 ＜ 11$.故选C.
6. (2025·吉林期中)如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为 4，3 和 2，则图中阴影部分的面积为 (
A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
D
)A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
答案：
6. D 解析:将面积为2和3的正方形向下平移至下方边和长方形的长边重合,如图,则阴影部分的面积$=\sqrt{2}×(2 - \sqrt{2})+\sqrt{3}×(2 - \sqrt{3})=2\sqrt{2}-2 + 2\sqrt{3}-3=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$.故选D.
6. D 解析:将面积为2和3的正方形向下平移至下方边和长方形的长边重合,如图,则阴影部分的面积$=\sqrt{2}×(2 - \sqrt{2})+\sqrt{3}×(2 - \sqrt{3})=2\sqrt{2}-2 + 2\sqrt{3}-3=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$.故选D.
7. 已知$△ ABC$的三边长分别为 1，$k$，3，则化简$9 - 2k-\sqrt{4k^{2}-12k + 9}$的结果是 (
A.$12 - 4k$
B.6
C.$-6$
D.$4k - 12$
A
)A.$12 - 4k$
B.6
C.$-6$
D.$4k - 12$
答案：7. A 解析:由题意可知$2 ＜ k ＜ 4$,
∴ $1 ＜ 9 - 2k ＜ 5$, $1 ＜ 2k - 3 ＜ 5$,
∴ 原式$=\vert9 - 2k\vert-\sqrt{(2k - 3)^2}=9 - 2k - 2k + 3 = 12 - 4k$.故选A.
∴ $1 ＜ 9 - 2k ＜ 5$, $1 ＜ 2k - 3 ＜ 5$,
∴ 原式$=\vert9 - 2k\vert-\sqrt{(2k - 3)^2}=9 - 2k - 2k + 3 = 12 - 4k$.故选A.
8. 若$a + b = 2\sqrt{a}+4\sqrt{b}-5$，则$a + 2b$的值为(
A.3
B.5
C.8
D.9
D
)A.3
B.5
C.8
D.9
答案：8. D 解析:等式整理得$(a - 2\sqrt{a}+1)+(b - 4\sqrt{b}+4)=0$,即$(\sqrt{a}-1)^2+(\sqrt{b}-2)^2=0$,
∴ $\sqrt{a}-1 = 0$, $\sqrt{b}-2 = 0$,解得$a = 1$, $b = 4$,则$a + 2b = 1 + 8 = 9$,故选D.
∴ $\sqrt{a}-1 = 0$, $\sqrt{b}-2 = 0$,解得$a = 1$, $b = 4$,则$a + 2b = 1 + 8 = 9$,故选D.
二、填空题(每小题 4 分，共 32 分)
9. (2025·广州中考)要使代数式$\dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围是
9. (2025·广州中考)要使代数式$\dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≥ - 1$且$x≠3$
。答案：9. $x≥ - 1$且$x≠3$
解析：
$x≥ -1$且$x≠ 3$
10. (青岛中考)计算：$\dfrac{\sqrt{24}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-(\sqrt{3})^{0}=$
$2\sqrt{3}+1$
。答案：10. $2\sqrt{3}+1$
解析：
$\dfrac{\sqrt{24}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-(\sqrt{3})^{0}$
$=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} - 1$
$=\sqrt{12}+\sqrt{4}-1$
$=2\sqrt{3}+2 - 1$
$=2\sqrt{3}+1$
$=\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} - 1$
$=\sqrt{12}+\sqrt{4}-1$
$=2\sqrt{3}+2 - 1$
$=2\sqrt{3}+1$
11. 菱形的对角线长分别为$(3\sqrt{3}+2\sqrt{6})\mathrm{cm}$和$(3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\mathrm{cm}$，则菱形的面积为
$\frac{3}{2}$
$\mathrm{cm}^{2}$。答案：11. $\frac{3}{2}$
解析：
菱形面积为对角线乘积的一半，即：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}+2\sqrt{6})×(3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\&=\frac{1}{2}×[(3\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}]\\&=\frac{1}{2}×(27 - 24)\\&=\frac{1}{2}×3\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\frac{3}{2}$
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}+2\sqrt{6})×(3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\\&=\frac{1}{2}×[(3\sqrt{3})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}]\\&=\frac{1}{2}×(27 - 24)\\&=\frac{1}{2}×3\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
$\frac{3}{2}$
12. 已知点$P(a,b)$是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-(\sqrt{b - a})^{2}$的结果是
$-2b$
。答案：12. $-2b$
解析：
∵点$P(a,b)$是第二象限的点，
∴$a＜0$，$b＞0$，
∴$b - a＞0$，
$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-(\sqrt{b - a})^{2}$
$=|a| - |b|-(b - a)$
$=-a - b - b + a$
$=-2b$
13. 已知$xy ＞ 0$，化简二次根式$x\sqrt{\dfrac{-y}{x^{2}}}$的正确结果为
$-\sqrt{-y}$
。答案：13. $-\sqrt{-y}$
解析：
因为$xy＞0$，所以$x$，$y$同号。
二次根式$x\sqrt{\dfrac{-y}{x^{2}}}$有意义，则$\dfrac{-y}{x^{2}}≥0$，因为$x^{2}＞0$，所以$-y≥0$，即$y≤0$。
又因为$xy＞0$，$y≤0$，所以$y＜0$，$x＜0$。
$x\sqrt{\dfrac{-y}{x^{2}}}=x·\dfrac{\sqrt{-y}}{\vert x\vert}$，因为$x＜0$，所以$\vert x\vert=-x$，则原式$=x·\dfrac{\sqrt{-y}}{-x}=-\sqrt{-y}$。
$-\sqrt{-y}$
二次根式$x\sqrt{\dfrac{-y}{x^{2}}}$有意义，则$\dfrac{-y}{x^{2}}≥0$，因为$x^{2}＞0$，所以$-y≥0$，即$y≤0$。
又因为$xy＞0$，$y≤0$，所以$y＜0$，$x＜0$。
$x\sqrt{\dfrac{-y}{x^{2}}}=x·\dfrac{\sqrt{-y}}{\vert x\vert}$，因为$x＜0$，所以$\vert x\vert=-x$，则原式$=x·\dfrac{\sqrt{-y}}{-x}=-\sqrt{-y}$。
$-\sqrt{-y}$
14. 若$\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\sqrt{6}$，$x≥1$，则$\sqrt{x}-\sqrt{\dfrac{1}{x}}=$
$\sqrt{2}$
。答案：14. $\sqrt{2}$ 解析:
∵ $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{6}$,
∴ $(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})^2=6$,即$x+\frac{1}{x}+2 = 6$,
∴ $x+\frac{1}{x}=4$,
∴ $(\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}})^2=x+\frac{1}{x}-2 = 2$.又$x≥1$,
∴ $\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}≥0$,
∴ $\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{2}$.
∵ $\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{6}$,
∴ $(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}})^2=6$,即$x+\frac{1}{x}+2 = 6$,
∴ $x+\frac{1}{x}=4$,
∴ $(\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}})^2=x+\frac{1}{x}-2 = 2$.又$x≥1$,
∴ $\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}≥0$,
∴ $\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}=\sqrt{2}$.
15. (2025·武汉期中)如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形$ABCD$，$P$为$CD$上一点，连接$BP$，若四边形$ABCD$的面积为$6\sqrt{3}$，纸条的宽为 3，$CP=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，则$BP$的长为
$\frac{2\sqrt{57}}{3}$
。答案：
15. $\frac{2\sqrt{57}}{3}$ 解析:如图,过点D作$DE⊥ BC$,交BC的延长线于E,过点B作$BH⊥ DC$,交DC的延长线于H,由题意可得四边形ABCD是平行四边形,$DE = BH = 3$,
∵ $S_{四边形ABCD}=BC· DE=CD· BH = 6\sqrt{3}$,
∴ $BC = CD = 2\sqrt{3}$,
∴ $CE = CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}=\sqrt{3}$.
∵ $CP=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴ $PH = HC + CP=\frac{7\sqrt{3}}{3}$,
∴ $BP=\sqrt{BH^2 + HP^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$.
15. $\frac{2\sqrt{57}}{3}$ 解析:如图,过点D作$DE⊥ BC$,交BC的延长线于E,过点B作$BH⊥ DC$,交DC的延长线于H,由题意可得四边形ABCD是平行四边形,$DE = BH = 3$,
∵ $S_{四边形ABCD}=BC· DE=CD· BH = 6\sqrt{3}$,
∴ $BC = CD = 2\sqrt{3}$,
∴ $CE = CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}=\sqrt{3}$.
∵ $CP=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴ $PH = HC + CP=\frac{7\sqrt{3}}{3}$,
∴ $BP=\sqrt{BH^2 + HP^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$.