1. 四边形 $ ABCD $ 是边长为 $ 3 $ 的正方形，点 $ E $ 是射线 $ BC $ 上的动点，$ ∠AEF = 90^{\circ} $，且 $ EF $ 交正方形外角的平分线 $ CF $ 于点 $ F $.
【探究 1】当点 $ E $ 是 $ BC $ 中点时，如图①，发现 $ AE = EF $，这需要证明 $ AE $ 与 $ EF $ 所在的两个三角形全等，但 $ △ABE $ 与 $ △FCE $ 显然不全等，考虑到点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点，取 $ AB $ 的中点 $ H $，连接 $ EH $，证明 $ △AHE $ 与 $ △ECF $ 全等即可. (无需证明)
【探究 2】(1) 如图②，如果把“点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点”改成“点 $ E $ 是边 $ BC $ 上(不与点 $ B $，$ C $ 重合)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“$ AE = EF $”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，也请说明理由.
(2) 如图③，如果点 $ E $ 是边 $ BC $ 延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“$ AE = EF $”是否成立？
【探究 3】(3) 连接 $ AF $ 交直线 $ CD $ 于点 $ I $，连接 $ EI $，请直接写出线段 $ BE $，$ EI $，$ ID $ 之间的数量关系为
【探究 4】(4) 当 $ CE = 2 $ 时，此时 $ △EIF $ 的面积为
【探究 1】当点 $ E $ 是 $ BC $ 中点时，如图①，发现 $ AE = EF $，这需要证明 $ AE $ 与 $ EF $ 所在的两个三角形全等，但 $ △ABE $ 与 $ △FCE $ 显然不全等，考虑到点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点，取 $ AB $ 的中点 $ H $，连接 $ EH $，证明 $ △AHE $ 与 $ △ECF $ 全等即可. (无需证明)
【探究 2】(1) 如图②，如果把“点 $ E $ 是 $ BC $ 的中点”改成“点 $ E $ 是边 $ BC $ 上(不与点 $ B $，$ C $ 重合)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“$ AE = EF $”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，也请说明理由.
(2) 如图③，如果点 $ E $ 是边 $ BC $ 延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图象，并判断“$ AE = EF $”是否成立？
是
(填“是”或“否”)，如果是，请简述一下辅助线的作法；如果否，也请说明理由.【探究 3】(3) 连接 $ AF $ 交直线 $ CD $ 于点 $ I $，连接 $ EI $，请直接写出线段 $ BE $，$ EI $，$ ID $ 之间的数量关系为
EI=ID+BE或EI=EB - DI
.【探究 4】(4) 当 $ CE = 2 $ 时，此时 $ △EIF $ 的面积为
$\frac{5}{4}$或$\frac{85}{8}$
.答案：
1. (1)结论成立.理由:如图①中,在AB上截取AM=EC,连接ME,
∵BM=BE,∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°.
∵∠DCB=90°,∠DCF=45°,
∴∠AME=∠ECF=135°.
∵∠AEF=90°,
∴∠FEC+∠AEB=90°.又
∵∠EAM+∠AEB=90°,
∴∠EAM=∠FEC.在△AEM和△EFC中,{∠AME=∠ECF,AM=EC,∠MAE=∠CEF},
∴△AEM≌△EFC(ASA),
∴AE=EF.
(2)是 如图②中,延长BA到M,使AM=CE,连接ME,
∴BM=BE,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=∠ECF=45°.又
∵∠B=∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠FET=90°,
∴∠BAE=∠FET,
∴∠MAE=∠CEF,在△MAE和△CEF中,{∠AME=∠ECF,AM=EC,∠MAE=∠CEF},
∴△MAE≌△CEF(ASA),
∴AE=EF.
(3)EI=ID+BE或EI=EB - DI
解析:如图③中,当点E在线段BC上时,结论:EI=ID+BE.理由:延长CB到T,使得BT=DI,则△ADI≌△ABT(SAS),
∴AI=AT,∠DAI=∠BAT,
∴∠IAT=∠DAB=90°.
∵∠EAI=45°,
∴∠EAI=∠EAT=45°.
∵AE=AE,
∴△EAI≌△EAT (SAS),
∴EI=ET=BT+BE=ID+BE.
如图④中,当点E在BC的延长线上时,结论:EI=EB - DI,理由:在CB上截取BT=DI,则△ADI≌△ABT(SAS),
∴AI=AT,∠DAI=∠BAT,
∴∠IAT=∠DAB=90°.
∵∠EAI=45°,
∴∠EAI=∠EAT=45°.
∵AE=AE,
∴△EAI≌△EAT(SAS),
∴EI=ET=BE - BT=BE - DI;
(4)$\frac{5}{4}$或$\frac{85}{8}$ 解析:如图③中,当点E在线段BC上时,设DI=x,则EI=x + 1,
∵(x + 1)²=(3 - x)²+2²,
∴x=$\frac{3}{2}$,
∴AI=$\sqrt{AD²+DI²}=\sqrt{3²+(\frac{3}{2})²}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
∵AE=EF=$\sqrt{3²+1²}=\sqrt{10}$,
∴AF=$\sqrt{2}$AE = 2$\sqrt{5}$,
∴IF=2$\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴IF=$\frac{1}{4}$AF,
∴S△EIF=$\frac{1}{4}$S△AEF=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}=\frac{5}{4}$.如图④中,当点E在BC的延长线上时,同法可得S△EIF=$\frac{85}{8}$.综上所述,△EIF的面积为$\frac{5}{4}$或$\frac{85}{8}$.
1. (1)结论成立.理由:如图①中,在AB上截取AM=EC,连接ME,
∵BM=BE,∠B=90°,
∴∠BME=∠BEM=45°.
∵∠DCB=90°,∠DCF=45°,
∴∠AME=∠ECF=135°.
∵∠AEF=90°,
∴∠FEC+∠AEB=90°.又
∵∠EAM+∠AEB=90°,
∴∠EAM=∠FEC.在△AEM和△EFC中,{∠AME=∠ECF,AM=EC,∠MAE=∠CEF},
∴△AEM≌△EFC(ASA),
∴AE=EF.
(2)是 如图②中,延长BA到M,使AM=CE,连接ME,
∴BM=BE,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=∠ECF=45°.又
∵∠B=∠AEF=90°,
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠FET=90°,
∴∠BAE=∠FET,
∴∠MAE=∠CEF,在△MAE和△CEF中,{∠AME=∠ECF,AM=EC,∠MAE=∠CEF},
∴△MAE≌△CEF(ASA),
∴AE=EF.
(3)EI=ID+BE或EI=EB - DI
解析:如图③中,当点E在线段BC上时,结论:EI=ID+BE.理由:延长CB到T,使得BT=DI,则△ADI≌△ABT(SAS),
∴AI=AT,∠DAI=∠BAT,
∴∠IAT=∠DAB=90°.
∵∠EAI=45°,
∴∠EAI=∠EAT=45°.
∵AE=AE,
∴△EAI≌△EAT (SAS),
∴EI=ET=BT+BE=ID+BE.
如图④中,当点E在BC的延长线上时,结论:EI=EB - DI,理由:在CB上截取BT=DI,则△ADI≌△ABT(SAS),
∴AI=AT,∠DAI=∠BAT,
∴∠IAT=∠DAB=90°.
∵∠EAI=45°,
∴∠EAI=∠EAT=45°.
∵AE=AE,
∴△EAI≌△EAT(SAS),
∴EI=ET=BE - BT=BE - DI;
(4)$\frac{5}{4}$或$\frac{85}{8}$ 解析:如图③中,当点E在线段BC上时,设DI=x,则EI=x + 1,
∵(x + 1)²=(3 - x)²+2²,
∴x=$\frac{3}{2}$,
∴AI=$\sqrt{AD²+DI²}=\sqrt{3²+(\frac{3}{2})²}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
∵AE=EF=$\sqrt{3²+1²}=\sqrt{10}$,
∴AF=$\sqrt{2}$AE = 2$\sqrt{5}$,
∴IF=2$\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴IF=$\frac{1}{4}$AF,
∴S△EIF=$\frac{1}{4}$S△AEF=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}=\frac{5}{4}$.如图④中,当点E在BC的延长线上时,同法可得S△EIF=$\frac{85}{8}$.综上所述,△EIF的面积为$\frac{5}{4}$或$\frac{85}{8}$.
2. (2024·连云港期末) 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动.
【操作判断】
(1) 如图①，将边长为 $ 8 \, \mathrm{cm} $ 的正方形 $ ABCD $ 对折，使点 $ D $ 与点 $ B $ 重合，得到折痕 $ AC $. 打开后，再将正方形 $ ABCD $ 折叠，使得点 $ D $ 落在 $ BC $ 边上的点 $ P $ 处，得到折痕 $ GH $，折痕 $ GH $ 与折痕 $ AC $ 交于点 $ Q $. 打开铺平，连接 $ PQ $，$ PD $，$ PH $. 若点 $ P $ 的位置恰好使得 $ PH ⊥ AC $.
① $ ∠PDH = $
② 求 $ CQ $ 的长.
【探究提炼】
(2) 如图②，若 (1) 中的点 $ P $ 是 $ BC $ 上任意一点，求 $ ∠DPQ $ 的度数.
【理解应用】
(3) 如图③，某广场上有一块边长为 $ 40 \, \mathrm{m} $ 的菱形草坪 $ ABCD $，其中 $ ∠BCD = 60^{\circ} $. 现打算在草坪中修建步道 $ AC $ 和 $ MN - ND - DM $，使得点 $ M $ 在 $ BC $ 上，点 $ N $ 在 $ AC $ 上，且 $ MN = ND $. 请问步道 $ MN - ND - DM $ 所围成的 $ △MND $(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由.
【操作判断】
(1) 如图①，将边长为 $ 8 \, \mathrm{cm} $ 的正方形 $ ABCD $ 对折，使点 $ D $ 与点 $ B $ 重合，得到折痕 $ AC $. 打开后，再将正方形 $ ABCD $ 折叠，使得点 $ D $ 落在 $ BC $ 边上的点 $ P $ 处，得到折痕 $ GH $，折痕 $ GH $ 与折痕 $ AC $ 交于点 $ Q $. 打开铺平，连接 $ PQ $，$ PD $，$ PH $. 若点 $ P $ 的位置恰好使得 $ PH ⊥ AC $.
① $ ∠PDH = $
22.5°
；② 求 $ CQ $ 的长.
【探究提炼】
(2) 如图②，若 (1) 中的点 $ P $ 是 $ BC $ 上任意一点，求 $ ∠DPQ $ 的度数.
【理解应用】
(3) 如图③，某广场上有一块边长为 $ 40 \, \mathrm{m} $ 的菱形草坪 $ ABCD $，其中 $ ∠BCD = 60^{\circ} $. 现打算在草坪中修建步道 $ AC $ 和 $ MN - ND - DM $，使得点 $ M $ 在 $ BC $ 上，点 $ N $ 在 $ AC $ 上，且 $ MN = ND $. 请问步道 $ MN - ND - DM $ 所围成的 $ △MND $(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由.
答案：
2. (1)①22.5° 解析:如图①,在正方形ABCD中，
∵AD=CD=BC=AB=8cm,∠BCD=90°,∠ACD=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°,PH⊥AC,
∴∠PHC=∠HPC=45°,PI=IC=HI,由折叠可知PH=DH,
∴∠PDH=∠DPH.
∵∠PDH+∠DPH=∠PHC=45°,
∴∠PDH=22.5°.
②由折叠可知∠PHQ=∠DHQ,∠PQH=∠DQH,QP=QD,
∴∠QHD=$\frac{1}{2}$∠PHD=$\frac{180° - ∠PHC}{2}$=67.5°,如图①,连接QD,
∵HI=PI,PH⊥AC,即QC是PH的垂直平分线，
∴QP=QH,
∴QP=QH=QD,
∴∠QHD=∠QDH=67.5°,
∴∠CQD=180° - ∠QDC - ∠QCD=180° - 67.5° - 45°=67.5°,
∴∠CQD=∠QDC,
∴CQ=CD=8cm.
(2)如图②,过点Q作QE⊥BC,垂足为E,过点Q作QF⊥CD,垂足为F,连接QD,
∴∠QEP=∠QFD=90°.
∵AC是∠BCD的平分线，∠BCD=90°，
∴QE=QF,∠EQF=90°.
∵QP=QD,
∴Rt△QEP≌Rt△QFD(HL),∠DPQ=∠QDP,
∴∠DQF=∠PQE,
∴∠PQE+∠PQF=∠PQF+∠DQF=90°,
∴∠PQD=90°,
∴∠DPQ=∠QDP=45°.
(3)100√3m² 解析:如图③,过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F.
∵∠BCD=60°,
∴∠ENF=360° - ∠NFC - ∠NEC - ∠BCD=120°.
∵在菱形ABCD中,AC是∠BCD的平分线，∠BCD=60°,
∴NE=NF.
∵NM=ND,
∴Rt△NEM≌Rt△NFD(HL),
∴∠ENM=∠FND,
∴∠ENM+∠MNF=∠MNF+∠FND,
∴∠DNM=∠ENF=120°.
∵DN=MN,
∴∠NMD=∠NDM=$\frac{180° - ∠DNM}{2}$=30°,过点N作NK⊥DM,垂足为K,设DM=a,则MK=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{a}{2}$,NK=$\frac{1}{2}$MN,
∵MN²=NK²+MK²,即(2NK)²=NK²+($\frac{a}{2}$)²,
∴NK=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,
∴S△NDM=$\frac{1}{2}$MD·NK=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²,
∴当a最小时，△MND的面积最小,
∴当DM⊥BC时,△MND的面积最小.
∵DM⊥BC,∠BCD=60°,
∴∠CDM=30°,
∴MC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×40=20(m)$,
∴DM=$\sqrt{CD² - CM²}=20\sqrt{3}(m)$,即a = 20√3,S△NDM=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{12}×(20\sqrt{3})²=100\sqrt{3}(m²)$,
∴S△NDM的最小值为100√3m².
2. (1)①22.5° 解析:如图①,在正方形ABCD中，
∵AD=CD=BC=AB=8cm,∠BCD=90°,∠ACD=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°,PH⊥AC,
∴∠PHC=∠HPC=45°,PI=IC=HI,由折叠可知PH=DH,
∴∠PDH=∠DPH.
∵∠PDH+∠DPH=∠PHC=45°,
∴∠PDH=22.5°.
②由折叠可知∠PHQ=∠DHQ,∠PQH=∠DQH,QP=QD,
∴∠QHD=$\frac{1}{2}$∠PHD=$\frac{180° - ∠PHC}{2}$=67.5°,如图①,连接QD,
∵HI=PI,PH⊥AC,即QC是PH的垂直平分线，
∴QP=QH,
∴QP=QH=QD,
∴∠QHD=∠QDH=67.5°,
∴∠CQD=180° - ∠QDC - ∠QCD=180° - 67.5° - 45°=67.5°,
∴∠CQD=∠QDC,
∴CQ=CD=8cm.
(2)如图②,过点Q作QE⊥BC,垂足为E,过点Q作QF⊥CD,垂足为F,连接QD,
∴∠QEP=∠QFD=90°.
∵AC是∠BCD的平分线，∠BCD=90°，
∴QE=QF,∠EQF=90°.
∵QP=QD,
∴Rt△QEP≌Rt△QFD(HL),∠DPQ=∠QDP,
∴∠DQF=∠PQE,
∴∠PQE+∠PQF=∠PQF+∠DQF=90°,
∴∠PQD=90°,
∴∠DPQ=∠QDP=45°.
(3)100√3m² 解析:如图③,过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F.
∵∠BCD=60°,
∴∠ENF=360° - ∠NFC - ∠NEC - ∠BCD=120°.
∵在菱形ABCD中,AC是∠BCD的平分线，∠BCD=60°,
∴NE=NF.
∵NM=ND,
∴Rt△NEM≌Rt△NFD(HL),
∴∠ENM=∠FND,
∴∠ENM+∠MNF=∠MNF+∠FND,
∴∠DNM=∠ENF=120°.
∵DN=MN,
∴∠NMD=∠NDM=$\frac{180° - ∠DNM}{2}$=30°,过点N作NK⊥DM,垂足为K,设DM=a,则MK=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{a}{2}$,NK=$\frac{1}{2}$MN,
∵MN²=NK²+MK²,即(2NK)²=NK²+($\frac{a}{2}$)²,
∴NK=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,
∴S△NDM=$\frac{1}{2}$MD·NK=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²,
∴当a最小时，△MND的面积最小,
∴当DM⊥BC时,△MND的面积最小.
∵DM⊥BC,∠BCD=60°,
∴∠CDM=30°,
∴MC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×40=20(m)$,
∴DM=$\sqrt{CD² - CM²}=20\sqrt{3}(m)$,即a = 20√3,S△NDM=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{12}×(20\sqrt{3})²=100\sqrt{3}(m²)$,
∴S△NDM的最小值为100√3m².