3. (2025·扬州期末) 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题.
(1)【建立模型】如图①，点 $ M $ 为等边三角形 $ ABC $ 内部一点，小颜发现：将 $ BM $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ BN $，则 $ MC = NA $，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图②，点 $ M $ 为正方形 $ ABCD $ 内部一点，将 $ BM $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ BN $，连接 $ CM $ 并延长，交 $ AN $ 于点 $ E $. 求证：$ EM + EN = \sqrt{2}EB $.
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图③，点 $ M $ 为 $ △ABC $ 内部一点，$ AB = AC $，点 $ P $，$ Q $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 上的动点，且 $ AP = AQ $，若 $ ∠ABM + ∠ACM = 30^{\circ} $，$ BM = 4 $，$ CM = 3\sqrt{3} $，请直接写出 $ PM + QM $ 的最小值.
(1)【建立模型】如图①，点 $ M $ 为等边三角形 $ ABC $ 内部一点，小颜发现：将 $ BM $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ BN $，则 $ MC = NA $，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图②，点 $ M $ 为正方形 $ ABCD $ 内部一点，将 $ BM $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ BN $，连接 $ CM $ 并延长，交 $ AN $ 于点 $ E $. 求证：$ EM + EN = \sqrt{2}EB $.
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图③，点 $ M $ 为 $ △ABC $ 内部一点，$ AB = AC $，点 $ P $，$ Q $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 上的动点，且 $ AP = AQ $，若 $ ∠ABM + ∠ACM = 30^{\circ} $，$ BM = 4 $，$ CM = 3\sqrt{3} $，请直接写出 $ PM + QM $ 的最小值.
答案：
3. (1)
∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,
∴BM=BN，∠MBN=60°.
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=AB,∠CBA=60°.
∵∠CBA=∠MBN,
∴∠CBA - ∠ABM=∠MBN - ∠ABM,
∴∠CBM=∠ABN,在△CBM和△ABN中,{BM=BN,∠CBM=∠ABN,CB=AB},
∴△CBM≌△ABN(SAS),
∴MC=NA.
(2)如图①,过点B分别作BF⊥CE于点F,BG⊥AN于点G.
∵BM绕点B逆时针旋转90°得到BN,
∴BM=BN,∠MBN=90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=AB,∠CBA=90°.
∵∠CBA=∠MBN,
∴∠CBA - ∠ABM=∠MBN - ∠ABM,
∴∠CBM=∠ABN.在△CBM和△ABN中,{BM=BN,∠CBM=∠ABN,CB=AB},
∴△CBM≌△ABN(SAS),
∴∠CMB=∠ANB.
∵∠BFM=∠BGN,BM=BN,
∴△BFM≌△BGN (AAS),
∴FM=GN,BF=BG,∠FBM=∠GBN,
∴∠FBM+∠MBG=∠GBN+∠MBG,
∴∠FBG=∠MBN=90°.
∵∠FBG=∠BFE=∠BGE=90°,
∴四边形GBFE为矩形.
∵BF=BG,
∴矩形GBFE为正方形，
∴EF=EG,
∴EM+EN=EM+EG+GN=EM+EG+FM=2EG.
∵四边形GBFE为正方形，
∴EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EB,
∴EM+EN=$\sqrt{2}$EB.
(3)PM+QM的最小值为√7. 解析:如图②,连接AM,将AM绕点A逆时针旋转一定的度数得到AN,使得∠MAN=∠BAC,连接NQ,NC.
∴AM=AN,∠BAC - ∠MAC=∠MAN - ∠MAC.又
∵AP=AQ,
∴△APM≌△AQN(SAS),
∴PM=QN.连接MN交AC于点Q',
∴PM+QM=QN+QM≥MN(两点之间线段最短).
∴当M,Q,N三点共线时,QN+QM有最小值是MN的长度,由(2)易得,△ABM≌△ACN(SAS),
∴BM=CN=4,∠ABM=∠ACN.∠ABM+∠ACM=30°,
∴∠ACN+∠ACM=30°,
∴∠NCM=30°,过N作NH⊥CM于H.
∵∠NCM=30°,CN=4,
∴NH=2,
∴CH=$\sqrt{CN² - NH²}=2\sqrt{3}$,
∴MH=CM - CH=$\sqrt{3}$,
∴MN=$\sqrt{MH²+NH²}=\sqrt{7}$.故PM+QM的最小值是√7.
3. (1)
∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,
∴BM=BN，∠MBN=60°.
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=AB,∠CBA=60°.
∵∠CBA=∠MBN,
∴∠CBA - ∠ABM=∠MBN - ∠ABM,
∴∠CBM=∠ABN,在△CBM和△ABN中,{BM=BN,∠CBM=∠ABN,CB=AB},
∴△CBM≌△ABN(SAS),
∴MC=NA.
(2)如图①,过点B分别作BF⊥CE于点F,BG⊥AN于点G.
∵BM绕点B逆时针旋转90°得到BN,
∴BM=BN,∠MBN=90°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=AB,∠CBA=90°.
∵∠CBA=∠MBN,
∴∠CBA - ∠ABM=∠MBN - ∠ABM,
∴∠CBM=∠ABN.在△CBM和△ABN中,{BM=BN,∠CBM=∠ABN,CB=AB},
∴△CBM≌△ABN(SAS),
∴∠CMB=∠ANB.
∵∠BFM=∠BGN,BM=BN,
∴△BFM≌△BGN (AAS),
∴FM=GN,BF=BG,∠FBM=∠GBN,
∴∠FBM+∠MBG=∠GBN+∠MBG,
∴∠FBG=∠MBN=90°.
∵∠FBG=∠BFE=∠BGE=90°,
∴四边形GBFE为矩形.
∵BF=BG,
∴矩形GBFE为正方形，
∴EF=EG,
∴EM+EN=EM+EG+GN=EM+EG+FM=2EG.
∵四边形GBFE为正方形，
∴EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EB,
∴EM+EN=$\sqrt{2}$EB.
(3)PM+QM的最小值为√7. 解析:如图②,连接AM,将AM绕点A逆时针旋转一定的度数得到AN,使得∠MAN=∠BAC,连接NQ,NC.
∴AM=AN,∠BAC - ∠MAC=∠MAN - ∠MAC.又
∵AP=AQ,
∴△APM≌△AQN(SAS),
∴PM=QN.连接MN交AC于点Q',
∴PM+QM=QN+QM≥MN(两点之间线段最短).
∴当M,Q,N三点共线时,QN+QM有最小值是MN的长度,由(2)易得,△ABM≌△ACN(SAS),
∴BM=CN=4,∠ABM=∠ACN.∠ABM+∠ACM=30°,
∴∠ACN+∠ACM=30°,
∴∠NCM=30°,过N作NH⊥CM于H.
∵∠NCM=30°,CN=4,
∴NH=2,
∴CH=$\sqrt{CN² - NH²}=2\sqrt{3}$,
∴MH=CM - CH=$\sqrt{3}$,
∴MN=$\sqrt{MH²+NH²}=\sqrt{7}$.故PM+QM的最小值是√7.
4. (2024·巴中中考) 综合与实践
(1) 操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图①、图②. 在图②中，四边形 $ ABCD $ 为梯形，$ AB // CD $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 边上的点. 经过剪拼，四边形 $ G H J K $ 为矩形. 则 $ △EDK ≌ $
(2) 探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图③、图④、图⑤. 在图⑤中，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 是四边形 $ ABCD $ 边上的点. 四边形 $ O J K L $ 是拼接之后形成的四边形.
① 通过操作得出：$ AE $ 与 $ EB $ 的比值为
② 证明：四边形 $ O J K L $ 为平行四边形.
(3) 实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形 $ ABCD $ 剪成 $ 4 $ 块，按图⑤的方式补全图⑥，并简单说明剪开和拼接过程. 若不能，请说明理由.
(1) 操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图①、图②. 在图②中，四边形 $ ABCD $ 为梯形，$ AB // CD $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AD $，$ BC $ 边上的点. 经过剪拼，四边形 $ G H J K $ 为矩形. 则 $ △EDK ≌ $
△EAG
.(2) 探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图③、图④、图⑤. 在图⑤中，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 是四边形 $ ABCD $ 边上的点. 四边形 $ O J K L $ 是拼接之后形成的四边形.
① 通过操作得出：$ AE $ 与 $ EB $ 的比值为
1
.② 证明：四边形 $ O J K L $ 为平行四边形.
(3) 实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形 $ ABCD $ 剪成 $ 4 $ 块，按图⑤的方式补全图⑥，并简单说明剪开和拼接过程. 若不能，请说明理由.
答案：
4. (1)△EAG 解析:由剪拼过程可知△EDK≌△EAG.
(2)①1 解析:如图①,由操作知,点E为AB的中点,将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL,
∴AE=BE,
∴$\frac{AE}{BE}$=1.
②如图①,由题意得,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL,将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP,将四边形OGCF放在左上方空出部分,则AQ=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AQL.
∵∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°,∠QAE=∠B,∠PAH=∠D,∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360°,
∴∠PAQ=∠C.
∵∠BFO+∠CFO=180°,
∴∠AQL+∠AQK=180°,
∴K,Q,L三点共线,同理K,P,J三点共线,由操作得,∠2=∠L,∠3=∠J.
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠1+∠L=180°,∠1+∠J=180°,
∴OJ//KL,OL//KJ,
∴四边形OJKL为平行四边形.
(3)如图②,取AB,BC,CD,DA的中点E,H,G,F,连接FH,过点E,点G分别作EM⊥FH,GN⊥FH,垂足为点M,N,将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M',将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N',将四边形NGCH放置左上方空出部分，使得点C与点A重合,CG与AG'重合，CH与AH'重合,点N的对应点为点N”,由题意得,∠EMF=∠EMH=∠M'=90°,∠GNH=∠GNF=∠N'=90°,
∴∠N'=∠M'MH=90°,H'M'//N'M,
∴N'G'//MM',由操作得,∠1=∠4,∠2=∠3.
∵∠1+∠2=180°,
∴∠3+∠4=180°,
∴N”,H',M'三点共线,同理N',G',N”三点共线.
∵∠N'=∠EMF=∠M'=90°,
∴四边形MM'N”N'为矩形.
如图③,连接AC,EF,FG,GH,EH,
∵E,H分别为BA,BC的中点，
∴EH//AC,EH=$\frac{1}{2}$AC,同理FG//AC,FG=$\frac{1}{2}$AC,
∴FG//EH,FG=EH,
∴∠EHM=∠GFN.
∵∠EMF=∠GNH=90°,
∴△EHM≌△GFN,
∴EM=GN,MH=NF,
∴FM=NH,由图②得AH'=BH,而BH=CH,
∴AH'=CH,同理,AG'=CG.
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°,∠D=∠G'AF,∠B=∠H'AE,∠BAD+∠H'AE+∠G'AF+∠H'AG'=360°,
∴∠H'AG'=∠C.
∵四边形MM'N”N'为矩形,
∴N'N”=MM',N”M'=N'M,
∴N'F+FM=H'M'+H'N”,
∴MF+NF=MF+MH=M'H'+N”H',
∴NH=N”H',同理NG=N”G',
∴四边形NGCH能放置左上方空出部分,
∴按照以上操作可以拼成一个矩形.
4. (1)△EAG 解析:由剪拼过程可知△EDK≌△EAG.
(2)①1 解析:如图①,由操作知,点E为AB的中点,将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL,
∴AE=BE,
∴$\frac{AE}{BE}$=1.
②如图①,由题意得,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL,将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP,将四边形OGCF放在左上方空出部分,则AQ=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AQL.
∵∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°,∠QAE=∠B,∠PAH=∠D,∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360°,
∴∠PAQ=∠C.
∵∠BFO+∠CFO=180°,
∴∠AQL+∠AQK=180°,
∴K,Q,L三点共线,同理K,P,J三点共线,由操作得,∠2=∠L,∠3=∠J.
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
∴∠1+∠L=180°,∠1+∠J=180°,
∴OJ//KL,OL//KJ,
∴四边形OJKL为平行四边形.
(3)如图②,取AB,BC,CD,DA的中点E,H,G,F,连接FH,过点E,点G分别作EM⊥FH,GN⊥FH,垂足为点M,N,将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH'M',将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG'N',将四边形NGCH放置左上方空出部分，使得点C与点A重合,CG与AG'重合，CH与AH'重合,点N的对应点为点N”,由题意得,∠EMF=∠EMH=∠M'=90°,∠GNH=∠GNF=∠N'=90°,
∴∠N'=∠M'MH=90°,H'M'//N'M,
∴N'G'//MM',由操作得,∠1=∠4,∠2=∠3.
∵∠1+∠2=180°,
∴∠3+∠4=180°,
∴N”,H',M'三点共线,同理N',G',N”三点共线.
∵∠N'=∠EMF=∠M'=90°,
∴四边形MM'N”N'为矩形.
如图③,连接AC,EF,FG,GH,EH,
∵E,H分别为BA,BC的中点，
∴EH//AC,EH=$\frac{1}{2}$AC,同理FG//AC,FG=$\frac{1}{2}$AC,
∴FG//EH,FG=EH,
∴∠EHM=∠GFN.
∵∠EMF=∠GNH=90°,
∴△EHM≌△GFN,
∴EM=GN,MH=NF,
∴FM=NH,由图②得AH'=BH,而BH=CH,
∴AH'=CH,同理,AG'=CG.
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°,∠D=∠G'AF,∠B=∠H'AE,∠BAD+∠H'AE+∠G'AF+∠H'AG'=360°,
∴∠H'AG'=∠C.
∵四边形MM'N”N'为矩形,
∴N'N”=MM',N”M'=N'M,
∴N'F+FM=H'M'+H'N”,
∴MF+NF=MF+MH=M'H'+N”H',
∴NH=N”H',同理NG=N”G',
∴四边形NGCH能放置左上方空出部分,
∴按照以上操作可以拼成一个矩形.