9. 如图，在边长为1的正方形网格中，A，B两点在小方格的顶点上.若点C，D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有(
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
D
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案：
9. D 解析:如图,根据题意作图可发现符合题意的平行四边形有□ABC₂D₃、□ABC₁D₂、□AC₁BD₁、□AC₂BD₄、□ABD₁C₂、□ABD₄C₁,共6个,故选D.
9. D 解析:如图,根据题意作图可发现符合题意的平行四边形有□ABC₂D₃、□ABC₁D₂、□AC₁BD₁、□AC₂BD₄、□ABD₁C₂、□ABD₄C₁,共6个,故选D.
10. (2025·鞍山期中)如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若$S_{△APD}=4 cm²$，$S_{▱ABCD}=64 cm²$，则阴影部分的面积为
28
cm².答案：
10. 28 解析:连接EF,如图.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠BEC=∠FCE.
∵Q是BF的中点,
∴BQ=FQ.在△BEQ和△FCQ中,
∵∠BEQ=∠FCQ,∠BQE=∠FQC,BQ=FQ,
∴△BEQ≌△FCQ(AAS),
∴BE=CF.
∵BE//CF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴S_{△BEF}=$\frac{1}{2}$S_{□BCFE}.
∵AB - BE=CD - CF,即AE=FD.
∵AE//FD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴S_{△PEF}=S_{△APD}=4cm²,
∴S_{□ADFE}=4S_{△APD}=16cm²,
∴S_{□BCFE}=S_{□ABCD}-S_{□ADFE}=64 - 16=48(cm²),
∴S_{△BEF}=$\frac{1}{2}$S_{□BCFE}=$\frac{1}{2}$×48=24(cm²),
∴阴影部分的面积为S_{△BEF}+S_{△PEF}=24 + 4=28(cm²).
10. 28 解析:连接EF,如图.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠BEC=∠FCE.
∵Q是BF的中点,
∴BQ=FQ.在△BEQ和△FCQ中,
∵∠BEQ=∠FCQ,∠BQE=∠FQC,BQ=FQ,
∴△BEQ≌△FCQ(AAS),
∴BE=CF.
∵BE//CF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴S_{△BEF}=$\frac{1}{2}$S_{□BCFE}.
∵AB - BE=CD - CF,即AE=FD.
∵AE//FD,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴S_{△PEF}=S_{△APD}=4cm²,
∴S_{□ADFE}=4S_{△APD}=16cm²,
∴S_{□BCFE}=S_{□ABCD}-S_{□ADFE}=64 - 16=48(cm²),
∴S_{△BEF}=$\frac{1}{2}$S_{□BCFE}=$\frac{1}{2}$×48=24(cm²),
∴阴影部分的面积为S_{△BEF}+S_{△PEF}=24 + 4=28(cm²).
11. 如图，在等边三角形ABC中，BC=6 cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，那么当t=
2或6
s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.答案：11. 2或6 解析:①当点F在点C的左侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BC - BF=(6 - 2t)cm.
∵AG//BC,
∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=6 - 2t,解得t=2;
②当点F在点C的右侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BF - BC=(2t - 6)cm.
∵AG//BC,
∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t - 6,解得t=6.
综上可得,当t=2s或6s时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
∵AG//BC,
∴当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=6 - 2t,解得t=2;
②当点F在点C的右侧时,根据题意得AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BF - BC=(2t - 6)cm.
∵AG//BC,
∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t - 6,解得t=6.
综上可得,当t=2s或6s时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
12. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE=CF，M，N分别是DE，BF的中点.
（1）求证：四边形ENFM是平行四边形；
（2）若∠ABC=2∠A，求∠A的度数.
（1）求证：四边形ENFM是平行四边形；
（2）若∠ABC=2∠A，求∠A的度数.
答案：12. (1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.又
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠AED=∠CFB,DE=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠AED=∠ABF,
∴ME//FN.又
∵M,N分别是DE,BF的中点,且DE=BF,
∴ME=FN,
∴四边形ENFM是平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A+∠ABC=180°.又
∵∠ABC=2∠A,
∴3∠A=180°,
∴∠A=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.又
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠AED=∠CFB,DE=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB,
∴∠CFB=∠ABF,
∴∠AED=∠ABF,
∴ME//FN.又
∵M,N分别是DE,BF的中点,且DE=BF,
∴ME=FN,
∴四边形ENFM是平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A+∠ABC=180°.又
∵∠ABC=2∠A,
∴3∠A=180°,
∴∠A=60°.
13. (1)如图①，在▱ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点F，AE=EF，BD=5，DE=1，则CF的长为
(2)(2025·贵阳期中)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC=2BD=2，则AB+CD的最小值为
3
.(2)(2025·贵阳期中)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC=2BD=2，则AB+CD的最小值为
$\sqrt{5}$
.答案：
13. (1)3 解析:如图①,过点F作GF//AD,交BD于点G,
∴∠DAE=∠GFE,∠ADE=∠EGF.
∵AE=EF,
∴△ADE≌△FGE,
∴AD=FG,EG=DE=1.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∴FG//BC,FG=BC,
∴四边形BCFG是平行四边形,
∴CF=BG.
∵BD=5,
∴BG=BD - EG - DE=3.
∴CF=3.
(2)$\sqrt{5}$ 解析:如图②,过点B作BE//AC,过点C作CE//AB,BE与CE相交于点E,连接DE.
∵BE//AC,CE//AB,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BE=AC=2,CE=AB.
∵AC⊥BD,BE//AC,
∴BE⊥BD,
∴∠DBE=90°.
∵AC=2BD=2,
∴BD=1,由勾股定理得DE=$\sqrt{BE^{2}+BD^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{5}$.
∵CD+EC≥DE,当D,C,E三点共线时,CE+CD取得最小值,
∴AB+CD取得最小值,最小值等于DE的长,
∴AB+CD的最小值为$\sqrt{5}$.
13. (1)3 解析:如图①,过点F作GF//AD,交BD于点G,
∴∠DAE=∠GFE,∠ADE=∠EGF.
∵AE=EF,
∴△ADE≌△FGE,
∴AD=FG,EG=DE=1.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∴FG//BC,FG=BC,
∴四边形BCFG是平行四边形,
∴CF=BG.
∵BD=5,
∴BG=BD - EG - DE=3.
∴CF=3.
(2)$\sqrt{5}$ 解析:如图②,过点B作BE//AC,过点C作CE//AB,BE与CE相交于点E,连接DE.
∵BE//AC,CE//AB,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴BE=AC=2,CE=AB.
∵AC⊥BD,BE//AC,
∴BE⊥BD,
∴∠DBE=90°.
∵AC=2BD=2,
∴BD=1,由勾股定理得DE=$\sqrt{BE^{2}+BD^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{5}$.
∵CD+EC≥DE,当D,C,E三点共线时,CE+CD取得最小值,
∴AB+CD取得最小值,最小值等于DE的长,
∴AB+CD的最小值为$\sqrt{5}$.
14. 在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE//AC交AB于点E，PF//AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)观察猜想：
如图①，当点P在BC边上时，此时点P，D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：
(2)类比探究：
如图②，当点P在△ABC内时，过点P作MN//BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明.
(3)解决问题：
如图③，当点P在△ABC外时，若AB=6，PD=1，则平行四边形PEAF的周长为
(1)观察猜想：
如图①，当点P在BC边上时，此时点P，D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：
PE+PF=AB
.(2)类比探究：
如图②，当点P在△ABC内时，过点P作MN//BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明.
(3)解决问题：
如图③，当点P在△ABC外时，若AB=6，PD=1，则平行四边形PEAF的周长为
14
.答案：
14. (1)PE+PF=AB 解析:
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形PFAE是平行四边形,
∴PF=AE.
∵PE//AC,
∴∠BPE=∠C.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠BPE,
∴PE=BE,
∴PE+PF=BE+AE=AB.
(2)PD+PE+PF=AB.证明如下:
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,∠ANM=∠EPM,
∴AE=PF.
∵MN//BC,PF//AB,
∴四边形BDPM是平行四边形,∠ANM=∠C,
∴∠EPM=∠ANM=∠C.
∵MN//BC,
∴∠EMP=∠B.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=EM+AE=AM.
∵四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD,
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.
(3)14 解析:如图,过点P作MN//BC分别交AB,AC的延长线于M,N两点.
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形PEAF是平行四边形,
∴PF=AE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵MN//BC,
∴∠ANM=∠ACB=∠ABC=∠AMN.
∵PE//AC,
∴∠EPM=∠FNP,
∴∠EPM=∠EMP,
∴PE=ME.
∵ME+AE=AM,
∴PE+PF=AM.
∵MN//CB,DF//AB,
∴四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD.
∴PE+PF - PD=AM - MB=AB,
∴PE+PF=AB+PD=6+1=7,
∴平行四边形PEAF的周长为14.
14. (1)PE+PF=AB 解析:
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形PFAE是平行四边形,
∴PF=AE.
∵PE//AC,
∴∠BPE=∠C.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠BPE,
∴PE=BE,
∴PE+PF=BE+AE=AB.
(2)PD+PE+PF=AB.证明如下:
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形AEPF是平行四边形,∠ANM=∠EPM,
∴AE=PF.
∵MN//BC,PF//AB,
∴四边形BDPM是平行四边形,∠ANM=∠C,
∴∠EPM=∠ANM=∠C.
∵MN//BC,
∴∠EMP=∠B.又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EMP=∠EPM,
∴PE=EM,
∴PE+PF=EM+AE=AM.
∵四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD,
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.
(3)14 解析:如图,过点P作MN//BC分别交AB,AC的延长线于M,N两点.
∵PE//AC,PF//AB,
∴四边形PEAF是平行四边形,
∴PF=AE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵MN//BC,
∴∠ANM=∠ACB=∠ABC=∠AMN.
∵PE//AC,
∴∠EPM=∠FNP,
∴∠EPM=∠EMP,
∴PE=ME.
∵ME+AE=AM,
∴PE+PF=AM.
∵MN//CB,DF//AB,
∴四边形BDPM是平行四边形,
∴MB=PD.
∴PE+PF - PD=AM - MB=AB,
∴PE+PF=AB+PD=6+1=7,
∴平行四边形PEAF的周长为14.