1. (2025·龙岩期中)小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
)A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
答案：1. A 解析：设AC，BD交于点O，由已知可得AO=CO，BO=DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A.
2. (2025·成都校级月考)如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形(
A.$ OE = OF $
B.$ DE = BF $
C.$ ∠ADE = ∠CBF $
D.$ ∠ABE = ∠CDF $
B
)A.$ OE = OF $
B.$ DE = BF $
C.$ ∠ADE = ∠CBF $
D.$ ∠ABE = ∠CDF $
答案：
2. B 解析：A.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB.又
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.能判定是平行四边形；C.在△ADE和△CBF中，
∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故C能判定是平行四边形；D.同理可得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故D能判定是平行四边形，故选B.
归纳总结
平行四边形的判定
①四边形的两组对边平行，即AD//BC，AB//DC；
②四边形的两组对边相等，即AD=BC，AB=DC；
③四边形的一组对边平行且相等，即AD//BC且AD=BC；AB//DC且AB=DC；
④四边形的两组对角相等，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC；
⑤四边形的两条对角线互相平分，即AO=CO且BO=DO.
2. B 解析：A.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB.又
∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.能判定是平行四边形；C.在△ADE和△CBF中，
∵∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故C能判定是平行四边形；D.同理可得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，故D能判定是平行四边形，故选B.
归纳总结
平行四边形的判定
①四边形的两组对边平行，即AD//BC，AB//DC；
②四边形的两组对边相等，即AD=BC，AB=DC；
③四边形的一组对边平行且相等，即AD//BC且AD=BC；AB//DC且AB=DC；
④四边形的两组对角相等，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC；
⑤四边形的两条对角线互相平分，即AO=CO且BO=DO.
3. 如图，在四边形ABCD中，$ AO = OC $，$ BD = 12 $厘米，则当$ OB = $
6
厘米时，四边形ABCD是平行四边形。答案：3. 6 解析：
∵AO=OC，
∴当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形.
∵BD=12厘米，
∴OB= $\frac{1}{2}$BD= $\frac{1}{2}$×12=6（厘米）.
∵AO=OC，
∴当OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形.
∵BD=12厘米，
∴OB= $\frac{1}{2}$BD= $\frac{1}{2}$×12=6（厘米）.
4. (绵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，$ ∠CBD = 90° $，$ BC = 4 $，$ BE = ED = 3 $，$ AC = 10 $，则四边形ABCD的面积为
24
。答案：4. 24 解析：在Rt△BCE中，易得CE=5.
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC·BD=4×(3+3)=24.
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC·BD=4×(3+3)=24.
5. （2025·咸阳期末）如图，在$ △ABC $中，点D在AB边上，E是AC的中点，连接DE，CD，过点C作$ CF // BA $，交DE的延长线于点F，连接AF。
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若$ ∠B = ∠ACF $，$ BC = 6 $，求AC的长。
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若$ ∠B = ∠ACF $，$ BC = 6 $，求AC的长。
答案：5. （1）
∵E是AC的中点，
∴CE=AE.
∵CF//AB，
∴∠CFE=∠ADE，在△CFE和△ADE中，∠CFE=∠ADE，∠CEF=∠AED，CE=AE，
∴△CFE≌△ADE（AAS），
∴FE=DE.又
∵CE=AE，
∴四边形AFCD是平行四边形.
（2）
∵CF//AB，
∴∠ACF=∠BAC.
∵∠B=∠ACF，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC=6.
∵E是AC的中点，
∴CE=AE.
∵CF//AB，
∴∠CFE=∠ADE，在△CFE和△ADE中，∠CFE=∠ADE，∠CEF=∠AED，CE=AE，
∴△CFE≌△ADE（AAS），
∴FE=DE.又
∵CE=AE，
∴四边形AFCD是平行四边形.
（2）
∵CF//AB，
∴∠ACF=∠BAC.
∵∠B=∠ACF，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC=6.
6. 教材变式(2025·西安校级月考)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N(点N在点M下方)，使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是(
甲方案：
在BD上取$ BN = DM $
乙方案：
作$ EM ⊥ BD $于点M，作$ FN ⊥ BD $于点N
丙方案：
作$ ∠DEF $的平分线交BD于点M，作$ ∠BFE $的平分线交BD于点N
A.甲、乙、丙
B.只有甲、乙
C.只有甲、丙
D.只有乙、丙
A
)甲方案：
在BD上取$ BN = DM $
乙方案：
作$ EM ⊥ BD $于点M，作$ FN ⊥ BD $于点N
丙方案：
作$ ∠DEF $的平分线交BD于点M，作$ ∠BFE $的平分线交BD于点N
A.甲、乙、丙
B.只有甲、乙
C.只有甲、丙
D.只有乙、丙
答案：6. A 解析：在平行四边形ABCD中，OB=OD，DE//BF，
∴∠EDO=∠FBO，在△BFO和△DEO中，
$\begin{cases}∠FBO=∠EDO， \\OB=OD， \\∠FOB=∠EOD，\end{cases}$
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF.
甲方案：
∵BN=DM，
∴ON=OM.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；
乙方案：
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，在△EMO和△FNO中，
$\begin{cases}∠EMO=∠FNO=90°， \\∠EOM=∠FON， \\OE=OF，\end{cases}$
∴△EMO≌△FNO（AAS），
∴MO=NO.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；
丙方案：
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE.
∵EM平分∠DEF且FN平分∠BFE，
∴∠OEM=∠OFN.在△EMO和△FNO中，
$\begin{cases}∠OEM=∠OFN， \\OE=OF， \\∠EOM=∠FON，\end{cases}$
∴△EMO≌△FNO（ASA），
∴MO=NO.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形.综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.故选A.
∴∠EDO=∠FBO，在△BFO和△DEO中，
$\begin{cases}∠FBO=∠EDO， \\OB=OD， \\∠FOB=∠EOD，\end{cases}$
∴△BFO≌△DEO（ASA），
∴OE=OF.
甲方案：
∵BN=DM，
∴ON=OM.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；
乙方案：
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠EMO=∠FNO=90°，在△EMO和△FNO中，
$\begin{cases}∠EMO=∠FNO=90°， \\∠EOM=∠FON， \\OE=OF，\end{cases}$
∴△EMO≌△FNO（AAS），
∴MO=NO.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形；
丙方案：
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE.
∵EM平分∠DEF且FN平分∠BFE，
∴∠OEM=∠OFN.在△EMO和△FNO中，
$\begin{cases}∠OEM=∠OFN， \\OE=OF， \\∠EOM=∠FON，\end{cases}$
∴△EMO≌△FNO（ASA），
∴MO=NO.由对角线互相平分可知四边形EMFN为平行四边形.综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形.故选A.