7. (2025·恩施州期中)如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是
4
。答案：
7. 4 解析：如图所示，
∵线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，
∴CF=FO=NO=ND=$\frac{1}{2}$CO=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$CD，AM=MO=EO=EB=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{4}$AB，
∴四边形ACBD、四边形MFEN、四边形AFBN、四边形MCED都是平行四边形.
7. 4 解析：如图所示，
∵线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，
∴CF=FO=NO=ND=$\frac{1}{2}$CO=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$CD，AM=MO=EO=EB=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{4}$AB，
∴四边形ACBD、四边形MFEN、四边形AFBN、四边形MCED都是平行四边形.
8. (2025·汉中期末)如图，在$ △ABC $中，点H，F分别是边AB，BC上的点，连接CH，HF，点P是$ △ABC $右侧一点，连接HP，PF，CP，BP，HF与BP交于点D，且$ DH = DF $，$ BD = DP $，如果$ AH : PF = 1 : 2 $，那么$ △PBC $的面积与$ △ABC $的面积的比值为
$\frac{2}{3}$
。答案：8. $\frac{2}{3}$ 解析：
∵DH=DF，BD=DP，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴HB=FP，HP//BF，
∴S△PBC=S△HBC（同底等高）.
∵AH：PF=1：2，
∴AH：BH=1：2，
∴S△ACH：S△BCH=1：2，即S△BCH：S△ABC=2：3，
∴ $\frac{S_{△PBC}}{S_{△ABC}}=\frac{2}{3}$.
∵DH=DF，BD=DP，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴HB=FP，HP//BF，
∴S△PBC=S△HBC（同底等高）.
∵AH：PF=1：2，
∴AH：BH=1：2，
∴S△ACH：S△BCH=1：2，即S△BCH：S△ABC=2：3，
∴ $\frac{S_{△PBC}}{S_{△ABC}}=\frac{2}{3}$.
9. 如图，在$ 3×3 $的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另外两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画
5
个，请一一在下图中画出来。答案：
9. 5
解析：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，
∴这样的平行四边形最多可以画5个.
9. 5
解析：在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，
∴这样的平行四边形最多可以画5个.
10. （哈尔滨中考）如图①，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH。
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图②，若$ EF // AB $，$ GH // BC $，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）。
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图②，若$ EF // AB $，$ GH // BC $，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）。
答案：10. （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO.在△OAE和△OCF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO， \\OA=OC， \\∠AOE=∠COF，\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，同理OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO.在△OAE和△OCF中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FCO， \\OA=OC， \\∠AOE=∠COF，\end{cases}$
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，同理OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形.
（2）▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.
11. (2025·宁波期中)在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF，DE，如图①。
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形。
(2)若$ DE = DC $，$ ∠CBD = 45° $，过点C作DE的垂线，与DE，BD，BF分别交于点G，H，P，如图②。
①当$ CD = \sqrt{10} $，$ CE = 2 $时，BE的长为
②求证：$ CD = CH $。
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形。
(2)若$ DE = DC $，$ ∠CBD = 45° $，过点C作DE的垂线，与DE，BD，BF分别交于点G，H，P，如图②。
①当$ CD = \sqrt{10} $，$ CE = 2 $时，BE的长为
2
；②求证：$ CD = CH $。
答案：
11. （1）
∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO=DO，
∴∠ADB=∠CBD.在△BOE与△DOF中，
$\begin{cases}∠EBO=∠FDO， \\BO=DO， \\∠BOE=∠DOF，\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OE=OF.又
∵BO=DO，
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）①2 解析：如图，过点D作DN⊥EC于点N.
∵DE=DC=$\sqrt{10}$，DN⊥EC，CE=2，
∴EN=CN=1，
∴DN= $\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10 - 1}=3$.
∵∠DBC=45°，DN⊥BC，
∴∠DBC=∠BDN=45°，
∴DN=BN=3，
∴BE=BN - EN=3 - 1=2.
∴BE的长为2.
②
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠ECG.
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴∠EDN=∠CDN，
∴∠ECG=∠CDN.
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，
∴∠CDB=∠DHC，
∴CD=CH.
11. （1）
∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO=DO，
∴∠ADB=∠CBD.在△BOE与△DOF中，
$\begin{cases}∠EBO=∠FDO， \\BO=DO， \\∠BOE=∠DOF，\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴OE=OF.又
∵BO=DO，
∴四边形BEDF是平行四边形.
（2）①2 解析：如图，过点D作DN⊥EC于点N.
∵DE=DC=$\sqrt{10}$，DN⊥EC，CE=2，
∴EN=CN=1，
∴DN= $\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10 - 1}=3$.
∵∠DBC=45°，DN⊥BC，
∴∠DBC=∠BDN=45°，
∴DN=BN=3，
∴BE=BN - EN=3 - 1=2.
∴BE的长为2.
②
∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠ECG.
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴∠EDN=∠CDN，
∴∠ECG=∠CDN.
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，
∴∠CDB=∠DHC，
∴CD=CH.