1. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $40 \mathrm{ cm}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OE ⊥ AC$ 交 $AD$ 于点 $E$，则 $△ DCE$ 的周长为
20
$\mathrm{\_\_\_\_\_\_} \mathrm{ cm}$。答案：1. 20 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且周长为 40 cm，
∴ AD + CD = 20 cm，点 O 是线段 AC 的中点。
∵ OE ⊥ AC，
∴ OE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，
∴ △DCE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 20 cm。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且周长为 40 cm，
∴ AD + CD = 20 cm，点 O 是线段 AC 的中点。
∵ OE ⊥ AC，
∴ OE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，
∴ △DCE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 20 cm。
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，过对角线 $BD$ 上一点 $P$ 作 $EF // BC$，$GH // AB$，且 $CG = 2BG$，$S_{△ BPG} = 1$，则 $□ AEPH$ 的面积是(
A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$6$
答案：2. C 解析：
∵ 在 ▱ABCD 中，EF // BC，GH // AB，
∴ 四边形 HPFD、BEPG、AEPH、CFPG 为平行四边形，
∴$ S_{△PEB} = S_{△BGP}$，同理可得$ S_{△PHD} = S_{△DFP}$，$S_{△ABD} = S_{△CDB}$，
∴$ S_{△ABD} - S_{△PEB} - S_{△PHD} = S_{△CDB} - S_{△BGP} - S_{△DFP}$，即$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG}$。
∵$ S_{△BPG} = 1$，
∴$ S_{▱BEPG} = 2S_{△BPG} = 2$。
∵ CG = 2BG，
∴$ S_{▱PFCG} = 2S_{▱BEPG} = 2×2 = 4$，
∴$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG} = 4$。故选 C。
∵ 在 ▱ABCD 中，EF // BC，GH // AB，
∴ 四边形 HPFD、BEPG、AEPH、CFPG 为平行四边形，
∴$ S_{△PEB} = S_{△BGP}$，同理可得$ S_{△PHD} = S_{△DFP}$，$S_{△ABD} = S_{△CDB}$，
∴$ S_{△ABD} - S_{△PEB} - S_{△PHD} = S_{△CDB} - S_{△BGP} - S_{△DFP}$，即$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG}$。
∵$ S_{△BPG} = 1$，
∴$ S_{▱BEPG} = 2S_{△BPG} = 2$。
∵ CG = 2BG，
∴$ S_{▱PFCG} = 2S_{▱BEPG} = 2×2 = 4$，
∴$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG} = 4$。故选 C。
3. （2025·苏州校级月考）如图，$E$，$F$ 分别是平行四边形 $ABCD$ 的边 $AD$，$BC$ 上的点，$AF$ 与 $BE$ 相交于点 $P$，$DF$ 与 $CE$ 相交于点 $Q$，若 $S_{△ ABP} = 13 \mathrm{ cm}^2$，$S_{△ CDQ} = 14 \mathrm{ cm}^2$，则阴影部分四边形 $EPFQ$ 的面积为
27
$\mathrm{\_\_\_\_\_\_} \mathrm{ cm}^2$。答案：
3. 27 解析：如图，连接 EF，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ △EFC 的 FC 边上的高与 △DCF 的 FC 边上的高相等，
∴$ S_{△EFC} = S_{△DCF}$，
∴$ S_{△EFQ} = S_{△DCQ}$，同理$ S_{△BFE} = S_{△BFA}$，
∴$ S_{△EFP} = S_{△ABP}$。
∵$ S_{△ABP} = 13 cm²$，$S_{△CDQ} = 14 cm²$，
∴$ S_{四边形EPFQ} = S_{△EFP} + S_{△EFQ} = S_{△ABP} + S_{△DCQ} = 13 + 14 = 27(cm²)$。
3. 27 解析：如图，连接 EF，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ △EFC 的 FC 边上的高与 △DCF 的 FC 边上的高相等，
∴$ S_{△EFC} = S_{△DCF}$，
∴$ S_{△EFQ} = S_{△DCQ}$，同理$ S_{△BFE} = S_{△BFA}$，
∴$ S_{△EFP} = S_{△ABP}$。
∵$ S_{△ABP} = 13 cm²$，$S_{△CDQ} = 14 cm²$，
∴$ S_{四边形EPFQ} = S_{△EFP} + S_{△EFQ} = S_{△ABP} + S_{△DCQ} = 13 + 14 = 27(cm²)$。
4. 在 $□ ABCD$ 中，已知 $AB = 6$，$BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AD$ 边于点 $E$，点 $E$ 将 $AD$ 分为 $1:3$ 两部分，则 $AD$ 的长为
8 或 24
。答案：
4. 8 或 24 解析：如图，
∵ BE 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠BEA = ∠CBE，
∴ ∠ABE = ∠BEA，
∴ AB = AE = 6。
∵ 点 E 将 AD 分为 1:3 两部分，
∴ DE = 18 或 DE = 2，
∴ 当 DE = 18 时，AD = 24；当 DE = 2 时，AD = 8。故答案为 8 或 24。
4. 8 或 24 解析：如图，
∵ BE 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠BEA = ∠CBE，
∴ ∠ABE = ∠BEA，
∴ AB = AE = 6。
∵ 点 E 将 AD 分为 1:3 两部分，
∴ DE = 18 或 DE = 2，
∴ 当 DE = 18 时，AD = 24；当 DE = 2 时，AD = 8。故答案为 8 或 24。
5. (湖北中考)在 $□ ABCD$ 中，$AD = BD$，$BE$ 是 $AD$ 边上的高，$∠ EBD = 20°$，则 $∠ A$ 的度数为
55°或 35°
。答案：
5. 55°或 35° 解析：①当点 E 在线段 AD 上时，如图①所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠ADB = 90° - 20° = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{180° - 70°}{2}$ = 55°。
②当点 E 在线段 AD 的延长线上时，如图②所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠BDE = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。综上，∠A 的度数为 55°或 35°。
5. 55°或 35° 解析：①当点 E 在线段 AD 上时，如图①所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠ADB = 90° - 20° = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{180° - 70°}{2}$ = 55°。
②当点 E 在线段 AD 的延长线上时，如图②所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠BDE = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。综上，∠A 的度数为 55°或 35°。
6. 已知在 $□ ABCD$ 中，$AE$ 为 $BC$ 边上的高，且 $AE = 12$，若 $AB = 15$，$AC = 13$，则 $□ ABCD$ 的面积为
48 或 168
。答案：
6. 48 或 168 解析：①如图①，高 AE 在 △ABC 内时，在 Rt△ABE 中，BE = $\sqrt{AB^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{15^{2} - 12^{2}}$ = 9，在 Rt△AEC 中，CE = $\sqrt{AC^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{13^{2} - 12^{2}}$ = 5，
∴ BC = BE + EC = 14，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 14×12 = 168。
②如图②，高 AE 在 △ABC 外时，由①知，BE = 9，CE = 5，BC = BE - CE = 9 - 5 = 4，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 4×12 = 48。综上，▱ABCD 的面积为 48 或 168。
6. 48 或 168 解析：①如图①，高 AE 在 △ABC 内时，在 Rt△ABE 中，BE = $\sqrt{AB^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{15^{2} - 12^{2}}$ = 9，在 Rt△AEC 中，CE = $\sqrt{AC^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{13^{2} - 12^{2}}$ = 5，
∴ BC = BE + EC = 14，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 14×12 = 168。
②如图②，高 AE 在 △ABC 外时，由①知，BE = 9，CE = 5，BC = BE - CE = 9 - 5 = 4，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 4×12 = 48。综上，▱ABCD 的面积为 48 或 168。
7. （2025·张家界期末）在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y = -\dfrac{1}{2}x + 6$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $B$、$C$，且与直线 $l_2: y = \dfrac{1}{2}x$ 交于点 $A$。
(1) 分别求出 $A$，$B$，$C$ 三点的坐标。
(2) 若在射线 $OA$ 上有一点 $D(4, 2)$，则在平面内是否存在点 $P$，使得以 $O$，$C$，$D$，$P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
(1) 分别求出 $A$，$B$，$C$ 三点的坐标。
(2) 若在射线 $OA$ 上有一点 $D(4, 2)$，则在平面内是否存在点 $P$，使得以 $O$，$C$，$D$，$P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：
7. (1)直线 l_{1}:y = -$\frac{1}{2}$x + 6，当 x = 0 时，y = 6，当 y = 0 时，x = 12，
∴ B(12, 0)，C(0, 6)。解方程组 $\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 6 \\ y = \frac{1}{2}x\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x = 6 \\ y = 3\end{cases}$，
∴ A(6, 3)，即 A(6, 3)，B(12, 0)，C(0, 6)。
(2)存在点 P，坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。
解析：分以下三种情况：
以 CD 为对角线时，OC // DP，如图①。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P 即为点 D 向上平移 6 个单位长度，
∴ P(4, 8)；
以 OD 为对角线时，OC // DP'，如图②。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P'
即为点 D 向下平移 6 个单位长度，
∴ P'(4, -4)；
以 OC 为对角线时，如图③。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，四边形 ODCP'' 是平行四边形，
∴ P''D 的中点坐标与 OC 的中点坐标相同，为(0, 3)，
∴ P''(-4, 4)。综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。
7. (1)直线 l_{1}:y = -$\frac{1}{2}$x + 6，当 x = 0 时，y = 6，当 y = 0 时，x = 12，
∴ B(12, 0)，C(0, 6)。解方程组 $\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 6 \\ y = \frac{1}{2}x\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x = 6 \\ y = 3\end{cases}$，
∴ A(6, 3)，即 A(6, 3)，B(12, 0)，C(0, 6)。
(2)存在点 P，坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。
解析：分以下三种情况：
以 CD 为对角线时，OC // DP，如图①。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P 即为点 D 向上平移 6 个单位长度，
∴ P(4, 8)；
以 OD 为对角线时，OC // DP'，如图②。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P'
即为点 D 向下平移 6 个单位长度，
∴ P'(4, -4)；
以 OC 为对角线时，如图③。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，四边形 ODCP'' 是平行四边形，
∴ P''D 的中点坐标与 OC 的中点坐标相同，为(0, 3)，
∴ P''(-4, 4)。综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。
8. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AE ⊥ BC$，垂足为 $E$，$AB = 3$，$AO = 2$，$BC = 5$，则 $AE$ 的长为
2.4
。答案：8. 2.4 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO = 2，
∴ AC = 2AO = 2×2 = 4。设 BE = x，则 CE = 5 - x，
∵ AE ⊥ BC，
∴ 在 Rt△ABE，Rt△ACE 中，根据勾股定理得，AE² = AB² - BE² = AC² - CE²，
∴ 3² - x² = 4² - (5 - x)²，整理得，10x = 18，
∴ x = 1.8，
∴ AE = $\sqrt{3^{2} - 1.8^{2}}$ = $\sqrt{5.76}$ = 2.4。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO = 2，
∴ AC = 2AO = 2×2 = 4。设 BE = x，则 CE = 5 - x，
∵ AE ⊥ BC，
∴ 在 Rt△ABE，Rt△ACE 中，根据勾股定理得，AE² = AB² - BE² = AC² - CE²，
∴ 3² - x² = 4² - (5 - x)²，整理得，10x = 18，
∴ x = 1.8，
∴ AE = $\sqrt{3^{2} - 1.8^{2}}$ = $\sqrt{5.76}$ = 2.4。
9. 新趋势 尺规作图(遂宁中考)如图，$□ ABCD$ 中，$BD$ 为对角线，分别以点 $A$，$B$ 为圆心，以大于 $\dfrac{1}{2}AB$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$，$N$，作直线 $MN$ 交 $AD$ 于点 $E$，交 $AB$ 于点 $F$，若 $AD ⊥ BD$，$BD = 4$，$BC = 8$，则 $AE$ 的长为
5
。答案：
9. 5 解析：如图所示，连接 BE，根据基本作图，可设 BE = AE = x，
∵ 在 ▱ABCD 中，AD ⊥ BD，BC = 8，
∴ AD = BC = 8，∠BDE = 90°，ED = AD - AE = 8 - x。在 Rt△BDE 中，BD = 4，由勾股定理得 BD² + DE² = BE²，
∴ x² = (8 - x)² + 4²，解得 x = 5，即 AE = 5。
9. 5 解析：如图所示，连接 BE，根据基本作图，可设 BE = AE = x，
∵ 在 ▱ABCD 中，AD ⊥ BD，BC = 8，
∴ AD = BC = 8，∠BDE = 90°，ED = AD - AE = 8 - x。在 Rt△BDE 中，BD = 4，由勾股定理得 BD² + DE² = BE²，
∴ x² = (8 - x)² + 4²，解得 x = 5，即 AE = 5。