1. (十堰中考)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
)A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案：1. C 解析:矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等.故选C.
2. (2024·甘肃中考)如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ ABD = 60^{\circ}$，$AB = 2$，则 $AC$ 的长为 (
A.6
B.5
C.4
D.3
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案：2. C 解析:
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AO=BO=$\frac{1}{2}$AC.
∵ ∠ABD=60°，
∴ △ABO为等边三角形，
∴ AO=AB=2，
∴ AC=2AO=4.故选C.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AO=BO=$\frac{1}{2}$AC.
∵ ∠ABD=60°，
∴ △ABO为等边三角形，
∴ AO=AB=2，
∴ AC=2AO=4.故选C.
3. (2025·兰州中考)如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 分别在边 $AB$，$BC$ 上，连接 $EF$ 交对角线 $BD$ 于点 $P$。若 $P$ 为 $EF$ 的中点，$∠ ADB = 35^{\circ}$，则 $∠ DPE =$ (
A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
C
)A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$145^{\circ}$
答案：3. C 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形，∠ADB=35°，
∴ AD//BC，∠ABC=90°，
∴ ∠PBF=∠ADB=35°.
∵ 点P是EF的中点，
∴ PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线，
∴ PB=PF=PE，
∴ ∠PFB=∠PBF=35°.在△PBF中，∠BPF=180°-(∠PFB+∠PBF)=110°，
∴ ∠DPE=∠BPF=110°.故选C.
∵ 四边形ABCD是矩形，∠ADB=35°，
∴ AD//BC，∠ABC=90°，
∴ ∠PBF=∠ADB=35°.
∵ 点P是EF的中点，
∴ PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线，
∴ PB=PF=PE，
∴ ∠PFB=∠PBF=35°.在△PBF中，∠BPF=180°-(∠PFB+∠PBF)=110°，
∴ ∠DPE=∠BPF=110°.故选C.
4. (2025·辽宁中考改编)如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $AD$ 上，$BE = BC$，连接 $CE$，若 $AB = 3$，$AE = 4$，则 $CE$ 的长为
$\sqrt{10}$
。答案：4. $\sqrt{10}$ 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，AE=4，
∴ ∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3.在直角三角形ABE中，由勾股定理得BE=$\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}$ =5，
∴ BC=BE=5，
∴ AD=5，
∴ DE=AD - AE=1.在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=$\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}$ =$\sqrt{10}$.
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，AE=4，
∴ ∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3.在直角三角形ABE中，由勾股定理得BE=$\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}$ =5，
∴ BC=BE=5，
∴ AD=5，
∴ DE=AD - AE=1.在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=$\sqrt{CD^{2}+DE^{2}}$ =$\sqrt{10}$.
5. (2025·无锡期中)如图，延长矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 至点 $E$，使 $CE = BD$，连接 $AE$，若 $∠ DBC = 40^{\circ}$，则 $∠ E =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案：5. 20 解析:连接AC.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD.
∵ EC=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，易证∠ACB=∠DBC=40°.
∵ ∠ACB=∠E+∠CAE，
∴ ∠E=∠CAE=20°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD.
∵ EC=BD，
∴ AC=CE，
∴ ∠E=∠CAE，易证∠ACB=∠DBC=40°.
∵ ∠ACB=∠E+∠CAE，
∴ ∠E=∠CAE=20°.
6. (2025·烟台中考)如图，$BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作 $△ BED$，使 $△ BED$ 与 $△ BCD$ 关于直线 $BD$ 成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$，$AB = 1$，$BC = 2$，求 $AF$ 的长。
(1)利用尺规作 $△ BED$，使 $△ BED$ 与 $△ BCD$ 关于直线 $BD$ 成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$，$AB = 1$，$BC = 2$，求 $AF$ 的长。
答案：
6. (1)如图，△BED即为所求作的三角形.
(2)如图，设BE与AD的交点为F，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=2，AB=CD=1，AD//BC，∠A=90°，
∴ ∠ADB=∠CBD.
∵ ∠EBD=∠CBD，
∴ ∠FBD=∠FDB，
∴ FB=FD.设AF=x，则DF=2 - x，
∴ 1²+x²=(2 - x)²，解得x=$\frac{3}{4}$，
∴ AF=$\frac{3}{4}$.
6. (1)如图，△BED即为所求作的三角形.
(2)如图，设BE与AD的交点为F，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=2，AB=CD=1，AD//BC，∠A=90°，
∴ ∠ADB=∠CBD.
∵ ∠EBD=∠CBD，
∴ ∠FBD=∠FDB，
∴ FB=FD.设AF=x，则DF=2 - x，
∴ 1²+x²=(2 - x)²，解得x=$\frac{3}{4}$，
∴ AF=$\frac{3}{4}$.
7. (西藏中考)如图，矩形 $ABCD$ 中，$AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$AD = 3$，$AB = 4$，点 $E$ 是 $CD$ 边上一点，过点 $E$ 作 $EH ⊥ BD$ 于点 $H$，$EG ⊥ AC$ 于点 $G$，则 $EH + EG$ 的值是 (
A.$2.4$
B.$2.5$
C.$3$
D.$4$
A
)A.$2.4$
B.$2.5$
C.$3$
D.$4$
答案：7. A 解析:连接OE.
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，
∴ OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=DO，AD=BC=3，CD=AB=4，∠ABC=90°，
∴ S△DOC=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×3×4=3，BD=AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ =$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ =5，即OC=$\frac{5}{2}$.
∵ EH⊥BD，EG⊥AC，
∴ S△DOE=$\frac{1}{2}$DO·EH，S△EOC=$\frac{1}{2}$OC·EG.
∵ DO=OC，S△DOC=S△DOE+S△EOC，
∴ S△DOC=$\frac{1}{2}$OC×(EH+EG)，
∴ $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×(EH+EG)=3，
∴ EH+EG=$\frac{12}{5}$ =2.4.故选A.
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，
∴ OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=DO，AD=BC=3，CD=AB=4，∠ABC=90°，
∴ S△DOC=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×3×4=3，BD=AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ =$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ =5，即OC=$\frac{5}{2}$.
∵ EH⊥BD，EG⊥AC，
∴ S△DOE=$\frac{1}{2}$DO·EH，S△EOC=$\frac{1}{2}$OC·EG.
∵ DO=OC，S△DOC=S△DOE+S△EOC，
∴ S△DOC=$\frac{1}{2}$OC×(EH+EG)，
∴ $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×(EH+EG)=3，
∴ EH+EG=$\frac{12}{5}$ =2.4.故选A.
8. (2025·河北中考)如图，将矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折叠，点 $A$ 落在 $A'$ 处，$A'D$ 交 $BC$ 于点 $E$。将 $△ CDE$ 沿 $DE$ 折叠，点 $C$ 落在 $△ BDE$ 内的 $C'$ 处，下列结论一定正确的是 (
A.$∠ 1 = 45^{\circ}-α$
B.$∠ 1 = α$
C.$∠ 2 = 90^{\circ}-α$
D.$∠ 2 = 2α$
D
)A.$∠ 1 = 45^{\circ}-α$
B.$∠ 1 = α$
C.$∠ 2 = 90^{\circ}-α$
D.$∠ 2 = 2α$
答案：8. D 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠ADB=∠1，由折叠可得∠ADB=∠A'DB，
∴ ∠1=∠A'DB.
∵ ∠DEC=90° - α，即2∠1=90° - α，
∴ ∠1=45° - $\frac{1}{2}$α，故A不正确；
∵ ∠BDE不一定等于∠CDE，
∴ ∠1不一定等于α，故B不正确；由折叠可得∠C'ED=∠CED，
∵ ∠2=180° - 2∠CED=180° - 2(90° - α)=2α，
∴ C不正确，D选项正确.故选D.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠C=90°，
∴ ∠ADB=∠1，由折叠可得∠ADB=∠A'DB，
∴ ∠1=∠A'DB.
∵ ∠DEC=90° - α，即2∠1=90° - α，
∴ ∠1=45° - $\frac{1}{2}$α，故A不正确；
∵ ∠BDE不一定等于∠CDE，
∴ ∠1不一定等于α，故B不正确；由折叠可得∠C'ED=∠CED，
∵ ∠2=180° - 2∠CED=180° - 2(90° - α)=2α，
∴ C不正确，D选项正确.故选D.