9. (哈尔滨中考)矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $F$ 在矩形 $ABCD$ 边上，连接 $OF$。若 $∠ ADB = 38^{\circ}$，$∠ BOF = 30^{\circ}$，则 $∠ AOF =$
46°或106°
。答案：
9. 46°或106° 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OD，
∴ ∠ADO=∠OAD.
∵ ∠ADB=38°，
∴ ∠ADO=∠OAD=38°，
∴ ∠AOB=∠ADO+∠OAD=76°.如图①所示，当点F在AB上时：
∵ ∠BOF=30°，
∴ ∠AOF=∠AOB - ∠BOF=76° - 30°=46°.如图②所示，当点F在BC上时：
∵ ∠BOF=30°，
∴ ∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°.故答案为46°或106°.
9. 46°或106° 解析:
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OD，
∴ ∠ADO=∠OAD.
∵ ∠ADB=38°，
∴ ∠ADO=∠OAD=38°，
∴ ∠AOB=∠ADO+∠OAD=76°.如图①所示，当点F在AB上时：
∵ ∠BOF=30°，
∴ ∠AOF=∠AOB - ∠BOF=76° - 30°=46°.如图②所示，当点F在BC上时：
∵ ∠BOF=30°，
∴ ∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°.故答案为46°或106°.
10. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AD$ 上一点，$∠ AEB = ∠ DCE$，$F$，$G$ 分别是 $BE$，$CE$ 的中点，连接 $AF$，$DG$，$FG$，若 $AF = 3$，$DG = 4$，则矩形 $ABCD$ 的面积为
48
。答案：10. 48 解析:
∵ ∠AEB=∠DCE，且 ∠DEC+∠DCE=90°，
∴ ∠AEB+∠DEC=90°，
∴ ∠BEC=90°.
∵ 在矩形ABCD中，F，G分别是BE，CE的中点，
∴ AF是Rt△ABE斜边上的中线，
∴ AF=EF=BF=$\frac{1}{2}$BE=3，
∴ BE=6.同理，DG是Rt△CDE斜边上的中线，
∴ DG=EG=CG=$\frac{1}{2}$CE=4，
∴ CE=8.在△EBC中，∠BEC=90°，
∴ S矩形ABCD=BC·CD=2S△BEC=2×$\frac{1}{2}$BE·EC=6×8=48.
∵ ∠AEB=∠DCE，且 ∠DEC+∠DCE=90°，
∴ ∠AEB+∠DEC=90°，
∴ ∠BEC=90°.
∵ 在矩形ABCD中，F，G分别是BE，CE的中点，
∴ AF是Rt△ABE斜边上的中线，
∴ AF=EF=BF=$\frac{1}{2}$BE=3，
∴ BE=6.同理，DG是Rt△CDE斜边上的中线，
∴ DG=EG=CG=$\frac{1}{2}$CE=4，
∴ CE=8.在△EBC中，∠BEC=90°，
∴ S矩形ABCD=BC·CD=2S△BEC=2×$\frac{1}{2}$BE·EC=6×8=48.
11. 如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，$∠ EDC = ∠ CAB$，$∠ DEC = 90^{\circ}$。
(1)求证：$AC // DE$；
(2)过点 $B$ 作 $BF ⊥ AC$ 于点 $F$，连接 $EF$，试判断四边形 $BCEF$ 的形状，并说明理由。
(1)求证：$AC // DE$；
(2)过点 $B$ 作 $BF ⊥ AC$ 于点 $F$，连接 $EF$，试判断四边形 $BCEF$ 的形状，并说明理由。
答案：11. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ACD=∠CAB.
∵ ∠EDC=∠CAB，
∴ ∠EDC=∠ACD，
∴ AC//DE.
(2)四边形BCEF是平行四边形.理由如下:
∵ BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴ ∠AFB=∠DEC=90°，DC=AB.在△CDE和△BAF中，$\begin{cases}∠DEC = ∠AFB\\∠EDC = ∠FAB\\CD = BA\end{cases}$，
∴ △CDE≌△BAF(AAS)，
∴ CE=BF，DE=AF.
∵ DE=AF，DE//AF，
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
∴ AD=EF.
∵ AD=BC，
∴ EF=BC.又
∵ CE=BF，
∴ 四边形BCEF是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ACD=∠CAB.
∵ ∠EDC=∠CAB，
∴ ∠EDC=∠ACD，
∴ AC//DE.
(2)四边形BCEF是平行四边形.理由如下:
∵ BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴ ∠AFB=∠DEC=90°，DC=AB.在△CDE和△BAF中，$\begin{cases}∠DEC = ∠AFB\\∠EDC = ∠FAB\\CD = BA\end{cases}$，
∴ △CDE≌△BAF(AAS)，
∴ CE=BF，DE=AF.
∵ DE=AF，DE//AF，
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
∴ AD=EF.
∵ AD=BC，
∴ EF=BC.又
∵ CE=BF，
∴ 四边形BCEF是平行四边形.
12. (2024·大庆中考改编)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = \dfrac{6}{5}$，点 $M$ 是 $AB$ 边的中点，点 $N$ 是 $AD$ 边上任意一点，将线段 $MN$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，点 $N$ 旋转到点 $N'$，则 $△ MBN'$ 周长的最小值为 (
A.$3$
B.$1 + \sqrt{5}$
C.$2 + \sqrt{2}$
D.$4$
B
)A.$3$
B.$1 + \sqrt{5}$
C.$2 + \sqrt{2}$
D.$4$
答案：
12. B 解析:如图，过点N'作EF//AB，交AD，BC于点E，F，过点M作MG⊥EF，垂足为G，
∴ ∠A=∠MGN'=90°，由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90° - ∠NMG=∠GMN'，
∴ △AMN≌△GMN'(AAS)，
∴ MG=AM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴ 点N'在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动.作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线EF于点N'，此时△MBN'周长取得最小值，最小值为BM+BM'.
∵ BM=$\frac{1}{2}$AB=1，MM'=1+1=2，
∴ BM+BM'=1+$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ =1+$\sqrt{5}$.故选B.
12. B 解析:如图，过点N'作EF//AB，交AD，BC于点E，F，过点M作MG⊥EF，垂足为G，
∴ ∠A=∠MGN'=90°，由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90° - ∠NMG=∠GMN'，
∴ △AMN≌△GMN'(AAS)，
∴ MG=AM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴ 点N'在平行于AB且与AB的距离为1的直线上运动.作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线EF于点N'，此时△MBN'周长取得最小值，最小值为BM+BM'.
∵ BM=$\frac{1}{2}$AB=1，MM'=1+1=2，
∴ BM+BM'=1+$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$ =1+$\sqrt{5}$.故选B.
13. (广西中考)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘。
【动手操作】如图①，将矩形纸片 $ABCD$ 对折，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，展平纸片，得到折痕 $EF$；折叠纸片，使点 $B$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $A$，得到折痕 $AM$，点 $B$，$E$ 的对应点分别为 $B'$，$E'$，展平纸片，连接 $AB'$，$BB'$，$BE'$。请完成：
(1)观察图①中 $∠ 1$，$∠ 2$ 和 $∠ 3$，试猜想这三个角的大小关系。
(2)证明(1)中的猜想。
【类比操作】如图②，$N$ 为矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AD$ 上的一点，连接 $BN$，在 $AB$ 上取一点 $P$，折叠纸片，使 $B$，$P$ 两点重合，展平纸片，得到折痕 $EF$；折叠纸片，使点 $B$，$P$ 分别落在 $EF$，$BN$ 上，得到折痕 $l$，点 $B$，$P$ 的对应点分别为 $B'$，$P'$，展平纸片，连接 $BB'$，$P'B'$。请完成：
(3)证明 $BB'$ 是 $∠ NBC$ 的一条三等分线。
【动手操作】如图①，将矩形纸片 $ABCD$ 对折，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，展平纸片，得到折痕 $EF$；折叠纸片，使点 $B$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $A$，得到折痕 $AM$，点 $B$，$E$ 的对应点分别为 $B'$，$E'$，展平纸片，连接 $AB'$，$BB'$，$BE'$。请完成：
(1)观察图①中 $∠ 1$，$∠ 2$ 和 $∠ 3$，试猜想这三个角的大小关系。
(2)证明(1)中的猜想。
【类比操作】如图②，$N$ 为矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AD$ 上的一点，连接 $BN$，在 $AB$ 上取一点 $P$，折叠纸片，使 $B$，$P$ 两点重合，展平纸片，得到折痕 $EF$；折叠纸片，使点 $B$，$P$ 分别落在 $EF$，$BN$ 上，得到折痕 $l$，点 $B$，$P$ 的对应点分别为 $B'$，$P'$，展平纸片，连接 $BB'$，$P'B'$。请完成：
(3)证明 $BB'$ 是 $∠ NBC$ 的一条三等分线。
答案：
13. (1)∠1=∠2=∠3.
(2)由折叠的性质可得AB=AB'，AE=AE'，AE=BE，BE=B'E'，AB'=BB'，
∴ AB'=BB'=AB，AE'=B'E'，
∴ △ABB'是等边三角形.
∵ AE'=B'E'，∠ABB'=60°，
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABB' =30°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠3=30°，
∴ ∠1=∠2=∠3.
(3)连接PB'，如图所示.由折叠的性质可知，BB'=PB'，PB=P'B'，∠PBB'=∠P'B'B.
∵ 折痕B'E⊥AB，BB'=PB'，
∴ ∠PB'E=∠BB'E=$\frac{1}{2}$∠BB'P.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠EBC=90°，
∴ CB⊥AB.
∵ B'E⊥AB，
∴ B'E//BC，
∴ ∠BB'E=∠CBB'=$\frac{1}{2}$∠BB'P.
∵ 在△PBB'和△P'B'B中，$\begin{cases}PB = P'B'\\∠PBB' = ∠P'B'B\\BB' = B'B\end{cases}$，
∴ △PBB'≌△P'B'B(SAS)，
∴ ∠P'BB'=∠PB'B，
∴ ∠CBB'=$\frac{1}{2}$∠NBB'，
∴ ∠CBB'=$\frac{1}{3}$∠CBN，
∴ BB'是∠NBC的一条三等分线.
13. (1)∠1=∠2=∠3.
(2)由折叠的性质可得AB=AB'，AE=AE'，AE=BE，BE=B'E'，AB'=BB'，
∴ AB'=BB'=AB，AE'=B'E'，
∴ △ABB'是等边三角形.
∵ AE'=B'E'，∠ABB'=60°，
∴ ∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABB' =30°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠3=30°，
∴ ∠1=∠2=∠3.
(3)连接PB'，如图所示.由折叠的性质可知，BB'=PB'，PB=P'B'，∠PBB'=∠P'B'B.
∵ 折痕B'E⊥AB，BB'=PB'，
∴ ∠PB'E=∠BB'E=$\frac{1}{2}$∠BB'P.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠EBC=90°，
∴ CB⊥AB.
∵ B'E⊥AB，
∴ B'E//BC，
∴ ∠BB'E=∠CBB'=$\frac{1}{2}$∠BB'P.
∵ 在△PBB'和△P'B'B中，$\begin{cases}PB = P'B'\\∠PBB' = ∠P'B'B\\BB' = B'B\end{cases}$，
∴ △PBB'≌△P'B'B(SAS)，
∴ ∠P'BB'=∠PB'B，
∴ ∠CBB'=$\frac{1}{2}$∠NBB'，
∴ ∠CBB'=$\frac{1}{3}$∠CBN，
∴ BB'是∠NBC的一条三等分线.