1. (2024·通辽中考)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，以下条件不能证明$□ ABCD$是菱形的是(
A.$∠BAC = ∠BCA$
B.$∠ABD = ∠CBD$
C.$OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$
D.$AD^{2} + OA^{2} = OD^{2}$
D
)A.$∠BAC = ∠BCA$
B.$∠ABD = ∠CBD$
C.$OA^{2} + OD^{2} = AD^{2}$
D.$AD^{2} + OA^{2} = OD^{2}$
答案：1.D 解析：A.
∵∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC.又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；B.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形；C.
∵OA²+OD²=AD²，
∴∠AOD=90°，即AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；D.
∵AD²+OA²=OD²，
∴∠OAD=90°，无法得到▱ABCD是菱形.故选D.
归纳总结 菱形的判定
判定一个平行四边形为菱形的方法：
①一组邻边相等的平行四边形为菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形为菱形.
判定一个四边形为菱形的方法：
①四条边都相等的四边形为菱形；
②对角线互相平分且垂直的四边形为菱形.
∵∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC.又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；B.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形；C.
∵OA²+OD²=AD²，
∴∠AOD=90°，即AC⊥BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；D.
∵AD²+OA²=OD²，
∴∠OAD=90°，无法得到▱ABCD是菱形.故选D.
归纳总结 菱形的判定
判定一个平行四边形为菱形的方法：
①一组邻边相等的平行四边形为菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形为菱形.
判定一个四边形为菱形的方法：
①四条边都相等的四边形为菱形；
②对角线互相平分且垂直的四边形为菱形.
2. (2025·内江中考)按如下步骤作四边形$ABCD$：(1)画$∠EAF$；(2)以点$A$为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交$AE$，$AF$于点$B$，$D$；(3)分别以点$B$和点$D$为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点$C$；(4)连接$BC$，$DC$，$BD$.若$∠A = 40^{\circ}$，则$∠BDC$的度数是(
A.$64^{\circ}$
B.$66^{\circ}$
C.$68^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
D
)A.$64^{\circ}$
B.$66^{\circ}$
C.$68^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案：2.D 解析：由作图可知AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠BDC=∠ADB= $\dfrac{1}{2}$∠ADC，∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=40°，
∴∠ADC=180°−∠A=140°，
∴∠BDC= $\dfrac{1}{2}$∠ADC=70°.故选D.
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠BDC=∠ADB= $\dfrac{1}{2}$∠ADC，∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=40°，
∴∠ADC=180°−∠A=140°，
∴∠BDC= $\dfrac{1}{2}$∠ADC=70°.故选D.
3. 如图，方格纸中有一个四边形$ABCD$($A$，$B$，$C$，$D$均在格点上)，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形$ABCD$
是
(填“是”或“不是”)菱形，面积是12
.答案：
3.是 12 解析：由网格可得AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.两条对角线长度分别为4和6，
∴菱形ABCD的面积为$\dfrac{1}{2}$×4×6=12.
技法点拨 菱形面积的求解方法
①面积=底×高（通用方法）；
②面积=两条对角线乘积的一半（对角线互相垂直的四边形的专属方法）.
知识拓展 “垂美”四边形
对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，如图，这种四边形有以下性质：
①四边形面积等于对角线乘积的一半，即$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AC· BD$；
②AB²+CD²=AD²+BC²（可由勾股定理证得）.
用处：当遇到“垂美”四边形时，可用性质①求解面积；若已知该四边形的三边，可利用性质②求出另外一条边的长度.
3.是 12 解析：由网格可得AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.两条对角线长度分别为4和6，
∴菱形ABCD的面积为$\dfrac{1}{2}$×4×6=12.
技法点拨 菱形面积的求解方法
①面积=底×高（通用方法）；
②面积=两条对角线乘积的一半（对角线互相垂直的四边形的专属方法）.
知识拓展 “垂美”四边形
对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，如图，这种四边形有以下性质：
①四边形面积等于对角线乘积的一半，即$S_{四边形ABCD}=\dfrac{1}{2}AC· BD$；
②AB²+CD²=AD²+BC²（可由勾股定理证得）.
用处：当遇到“垂美”四边形时，可用性质①求解面积；若已知该四边形的三边，可利用性质②求出另外一条边的长度.
4. 如图，在$△ ABC$中，$AD$，$CD$分别平分$∠BAC$和$∠ACB$，$AE // CD$，$CE // AD$.若从三个条件：①$AB = AC$；②$AB = BC$；③$AC = BC$中，选择一个作为已知条件，则能使四边形$ADCE$为菱形的是
②
(填序号).答案：4.② 解析：
∵AE//CD，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，当AB=BC时，∠BAC=∠BCA.
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形.
∵AE//CD，CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，当AB=BC时，∠BAC=∠BCA.
∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形.
5. 新趋势 尺规作图 (2025·新疆中考)如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$BD$是对角线.
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段$BD$的垂直平分线，垂足为点$O$，与边$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$(要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
(2)在(1)的条件下，连接$BE$，$DF$，求证：四边形$BFDE$为菱形.
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段$BD$的垂直平分线，垂足为点$O$，与边$AD$，$BC$分别交于点$E$，$F$(要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)；
(2)在(1)的条件下，连接$BE$，$DF$，求证：四边形$BFDE$为菱形.
答案：
5.(1)如图所示.
(2)如图，连接BE，DF，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，∠BOE=∠BOF=90°，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB.
∵AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBO=∠FBO.又
∵OB=OB，
∴△EBO≌△FBO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形.又
∵BE=DE，
∴四边形BFDE是菱形.
5.(1)如图所示.
(2)如图，连接BE，DF，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，∠BOE=∠BOF=90°，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB.
∵AD//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBO=∠FBO.又
∵OB=OB，
∴△EBO≌△FBO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形.又
∵BE=DE，
∴四边形BFDE是菱形.
6. (2025·保定期末)张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是(
A.
B.
C.
D.
C
)A.
B.
C.
D.
答案：6.C 解析：A.四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；B.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；C.不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；D.两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意.故选C.
7. 如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$互相垂直平分，交点为$O$，$AB = 5$，$AC = 6$，过$D$作$AC$的平行线交$BC$的延长线于点$E$，则$△ CDE$的面积为(
A.11
B.12
C.24
D.22
B
)A.11
B.12
C.24
D.22
答案：7.B 解析：
∵对角线AC，BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形.
∵AB=5，AC=6，
∴BC=CD=AB=5，OC=$\dfrac{1}{2}$AC=3，OB=$\dfrac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，
∴OB= $\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}$=4，
∴BD=8，
∴$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BD· OC=\dfrac{1}{2}×8×3=12$.又
∵DE//AC，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠CDE，
∴∠E=∠CDE，
∴CE=CD，
∴CE=BC，
∴$S_{△ CDE}=S_{△ BCD}=12$（等底同高）.故选B.
∵对角线AC，BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形.
∵AB=5，AC=6，
∴BC=CD=AB=5，OC=$\dfrac{1}{2}$AC=3，OB=$\dfrac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，
∴OB= $\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}$=4，
∴BD=8，
∴$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}BD· OC=\dfrac{1}{2}×8×3=12$.又
∵DE//AC，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠CDE，
∴∠E=∠CDE，
∴CE=CD，
∴CE=BC，
∴$S_{△ CDE}=S_{△ BCD}=12$（等底同高）.故选B.