8. (西藏中考改编)如图，两张宽为$\sqrt{3}$的长方形纸条叠放在一起，已知$∠ABC = 60^{\circ}$，则阴影部分的面积是
$2\sqrt{3}$
.答案：
8.$2\sqrt{3}$ 解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得AD//BC，AB//CD，BE=BF=$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AB=2AE，BC=2CF.
∵AB²=AE²+BE²，BE= $\sqrt{3}$，
∴AB=2，同理BC=2，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=2，
∴$S_{菱形ABCD}=AD× BE=2\sqrt{3}$.
8.$2\sqrt{3}$ 解析：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，根据题意得AD//BC，AB//CD，BE=BF=$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AB=2AE，BC=2CF.
∵AB²=AE²+BE²，BE= $\sqrt{3}$，
∴AB=2，同理BC=2，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=2，
∴$S_{菱形ABCD}=AD× BE=2\sqrt{3}$.
9. 平面直角坐标系中，点$A$，$B$，$C$，$D$的坐标分别是$A(-1,m)$，$B(-4,0)$，$C(1,0)$，$D(a,m)$，且$m ＞ 0$，若以点$A$，$B$，$C$，$D$为顶点的四边形是菱形，则点$D$的坐标为
(4,4)或(−6, $\sqrt{21}$)
.答案：
9.(4,4)或(−6, $\sqrt{21}$) 解析：作AM⊥BC于点M.
∵A(−1,m)，B(−4,0)，C(1,0)，D(a,m)，且m＞0，
∴AD//BC，OB=4，OC=1，OM=1，
∴BC=5，BM=3，CM=2.分两种情况：①当点D在点A的右侧时，如图①所示.
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，
∴AB=AD=BC=5，
∴AM= $\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$=4，
∴点D的坐标为(4,4)；②当点D在点A的左侧时，如图②所示.
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，
∴AC=BC=AD=5，
∴AM= $\sqrt{AC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{21}$，
∴点D的坐标为(−6, $\sqrt{21}$).综上所述，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为(4,4)或(−6,$\sqrt{21}$).
9.(4,4)或(−6, $\sqrt{21}$) 解析：作AM⊥BC于点M.
∵A(−1,m)，B(−4,0)，C(1,0)，D(a,m)，且m＞0，
∴AD//BC，OB=4，OC=1，OM=1，
∴BC=5，BM=3，CM=2.分两种情况：①当点D在点A的右侧时，如图①所示.
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，
∴AB=AD=BC=5，
∴AM= $\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$=4，
∴点D的坐标为(4,4)；②当点D在点A的左侧时，如图②所示.
∵以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，
∴AC=BC=AD=5，
∴AM= $\sqrt{AC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{21}$，
∴点D的坐标为(−6, $\sqrt{21}$).综上所述，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为(4,4)或(−6,$\sqrt{21}$).
10. (2025·大同期中)如图①是一架舞台升降机，图②是其工作截面示意图，升降机的四根交叉撑长度相同(即$DG = FB = DH = BK$)，交叉撑$BK$，$DH$与工作台$JH$分别交于点$K$，$H$，点$K$可以在工作台上滑动，点$H$固定.交叉撑$BF$，$DG$与底座$EG$分别交于点$F$，$G$，点$F$可以在底座上滑动，点$G$固定，且$EG = DG$.点$C$是交叉撑$BK$和$DH$的中点，点$A$是交叉撑$DG$和$BF$的中点.底座$EG$与工作台$JH$平行.当液压增加时，交叉撑交叉的角度变小，从而使升降机上升，反之会下降.
(1)舞台升降机工作时，试判断四边形$ABCD$的形状，并说明理由.
(2)若$FB = 2\ m$，$∠BAD = 60^{\circ}$，求此时$EF$的长度.
(1)舞台升降机工作时，试判断四边形$ABCD$的形状，并说明理由.
(2)若$FB = 2\ m$，$∠BAD = 60^{\circ}$，求此时$EF$的长度.
答案：10.(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：
∵点C是BK和DH的中点，点A是DG和BF的中点，
∴CD=$\dfrac{1}{2}$DH，BC=$\dfrac{1}{2}$BK，AD=$\dfrac{1}{2}$DG，AB=$\dfrac{1}{2}$FB.
∵DG=FB=DH=BK，
∴CD=BC=AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)
∵点A是DG和BF的中点，DG=FB，
∴AF=AG= $\dfrac{1}{2}$FB.
∵FB=2m，
∴AF=AG=1m.又
∵∠BAD=60°，
∴∠FAG=60°.
∴△AFG是等边三角形.
∴FG=AF=1m.
∵EG=DG=2m，
∴EF=EG−FG=2−1=1(m).
∴EF的长度为1m.
∵点C是BK和DH的中点，点A是DG和BF的中点，
∴CD=$\dfrac{1}{2}$DH，BC=$\dfrac{1}{2}$BK，AD=$\dfrac{1}{2}$DG，AB=$\dfrac{1}{2}$FB.
∵DG=FB=DH=BK，
∴CD=BC=AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)
∵点A是DG和BF的中点，DG=FB，
∴AF=AG= $\dfrac{1}{2}$FB.
∵FB=2m，
∴AF=AG=1m.又
∵∠BAD=60°，
∴∠FAG=60°.
∴△AFG是等边三角形.
∴FG=AF=1m.
∵EG=DG=2m，
∴EF=EG−FG=2−1=1(m).
∴EF的长度为1m.
11. 新题型 双空题 (2025·无锡校级月考)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 5$，$BC = 13$，$BC$边上的高为4.点$E$在边$AD$上，如图画菱形，使点$F$，$G$在边$BC$上.若$F$与$C$重合，则$AE =$
$\dfrac{29}{5}$
；当$AE$满足条件4＜AE≤5
时，能画出2个菱形.答案：
11.$\dfrac{29}{5}$ 4＜AE≤5 解析：如图，过点A作AT⊥BC于点T，由题意得AT=4，在Rt△ABT中，BT=$\sqrt{AB^{2}-AT^{2}}= \sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∵BC=13，
∴CT=BC−BT=10.当点F与点C重合时，则在TC上取一点G，使得AG=CG，设AG=CG=x，则TG=10−x，在Rt△ATG中，AG²=AT²+TG²，
∴x²=4²+(10−x)²，解得x=$\dfrac{29}{5}$.
∵四边形AGCE是菱形，
∴AE=AG= $\dfrac{29}{5}$.根据题意，观察图象可知，当0＜AE＜4时，菱形的个数为0，当AE=4时，菱形的个数为1，当4＜AE≤5时，菱形的个数为2，当5＜AE≤$\dfrac{29}{5}$时，菱形的个数为1，当$\dfrac{29}{5}$＜AE≤13时，菱形的个数为0，
∴当4＜AE≤5时，能画出2个菱形.
11.$\dfrac{29}{5}$ 4＜AE≤5 解析：如图，过点A作AT⊥BC于点T，由题意得AT=4，在Rt△ABT中，BT=$\sqrt{AB^{2}-AT^{2}}= \sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∵BC=13，
∴CT=BC−BT=10.当点F与点C重合时，则在TC上取一点G，使得AG=CG，设AG=CG=x，则TG=10−x，在Rt△ATG中，AG²=AT²+TG²，
∴x²=4²+(10−x)²，解得x=$\dfrac{29}{5}$.
∵四边形AGCE是菱形，
∴AE=AG= $\dfrac{29}{5}$.根据题意，观察图象可知，当0＜AE＜4时，菱形的个数为0，当AE=4时，菱形的个数为1，当4＜AE≤5时，菱形的个数为2，当5＜AE≤$\dfrac{29}{5}$时，菱形的个数为1，当$\dfrac{29}{5}$＜AE≤13时，菱形的个数为0，
∴当4＜AE≤5时，能画出2个菱形.
12. 如图①，在矩形纸片$ABCD$中，$AB = 6$，$AD = 10$，折叠纸片使点$B$落在边$AD$上的点$E$处，折痕为$PQ$.过点$E$作$EF // AB$交$PQ$于点$F$，连接$BF$.
(1)求证：四边形$PBFE$为菱形.
(2)当点$E$在$AD$边上移动时，折痕的端点$P$，$Q$也随之移动.
①当点$Q$与点$C$重合时(如图②)，求菱形$PBFE$的边长.
②若限定$P$，$Q$分别在边$BA$，$BC$上移动，菱形$PBFE$的面积有最值吗？若有，请写出；若没有，填“无”.最大值为
(1)求证：四边形$PBFE$为菱形.
(2)当点$E$在$AD$边上移动时，折痕的端点$P$，$Q$也随之移动.
①当点$Q$与点$C$重合时(如图②)，求菱形$PBFE$的边长.
②若限定$P$，$Q$分别在边$BA$，$BC$上移动，菱形$PBFE$的面积有最值吗？若有，请写出；若没有，填“无”.最大值为
36
；最小值为$\dfrac{20}{3}$
.答案：
12.(1)
∵折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF.又
∵EF//AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形PBFE为菱形.
(2)①
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°.
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=10.在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$=8，
∴AE=AD−DE=2.在Rt△APE中，AE=2，AP=6−PB=6−PE，
∴PE²=2²+(6−PE)²，解得EP=$\dfrac{10}{3}$，
∴菱形PBFE的边长为$\dfrac{10}{3}$.
②36 $\dfrac{20}{3}$ 解析：当点Q与点C重合时，如图①，点E离点A最近，由①知，此时AE=2，BP=$\dfrac{10}{3}$，$S_{菱形BFEP}=BP· AE=\dfrac{20}{3}$；当点P与点A重合时，如图②，点E离点A最远，此时四边形ABQE为矩形，且AE=AB=6，$S_{菱形BFEP}=S_{矩形ABQE}=36$，
∴菱形PBFE的面积范围是$\dfrac{20}{3}$≤S≤36，
∴菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是$\dfrac{20}{3}$.
12.(1)
∵折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF.又
∵EF//AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形PBFE为菱形.
(2)①
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°.
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=10.在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$=8，
∴AE=AD−DE=2.在Rt△APE中，AE=2，AP=6−PB=6−PE，
∴PE²=2²+(6−PE)²，解得EP=$\dfrac{10}{3}$，
∴菱形PBFE的边长为$\dfrac{10}{3}$.
②36 $\dfrac{20}{3}$ 解析：当点Q与点C重合时，如图①，点E离点A最近，由①知，此时AE=2，BP=$\dfrac{10}{3}$，$S_{菱形BFEP}=BP· AE=\dfrac{20}{3}$；当点P与点A重合时，如图②，点E离点A最远，此时四边形ABQE为矩形，且AE=AB=6，$S_{菱形BFEP}=S_{矩形ABQE}=36$，
∴菱形PBFE的面积范围是$\dfrac{20}{3}$≤S≤36，
∴菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是$\dfrac{20}{3}$.