1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直且相等
C
)A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直且相等
答案：1.C 解析:平行四边形、矩形、菱形、正方形都属于平行四边形，所以都具有的性质是对角线互相平分.故选C.
2. (2025·成都期末)设$M$表示平行四边形，$N$表示矩形，$P$表示菱形，$Q$表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是(
A.
B.
C.
D.
B
)A.
B.
C.
D.
答案：2.B 解析:矩形、菱形、正方形均属于特殊的平行四边形，即N,P,Q在M中,正方形属于特殊的矩形,也属于特殊的菱形，
∴Q应是N的一部分，也是P的一部分，
∴它们之间的关系正确的为B选项.故选B.
∴Q应是N的一部分，也是P的一部分，
∴它们之间的关系正确的为B选项.故选B.
3. (2025·西安期中)如图，$F$是正方形$ABCD$对角线$BD$上一点，连接$AF$，$CF$，并延长$CF$交$AD$于点$E$。若$∠ AFC = 130^{\circ}$，则$∠ BAF$的度数为(
A.$80^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
C
)A.$80^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案：3.C 解析:
∵四边形ABCD是正方形，∠AFC = 130°，
∴∠ABF = ∠CBF = 45°，AB = CB.
∵BF = BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴∠AFB = ∠CFB = $\frac{1}{2}$∠AFC = 65°，
∴∠BAF = 180° - ∠ABF - ∠AFB = 180° - 45° - 65° = 70°，
∴∠BAF的度数为70°.故选C.
∵四边形ABCD是正方形，∠AFC = 130°，
∴∠ABF = ∠CBF = 45°，AB = CB.
∵BF = BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴∠AFB = ∠CFB = $\frac{1}{2}$∠AFC = 65°，
∴∠BAF = 180° - ∠ABF - ∠AFB = 180° - 45° - 65° = 70°，
∴∠BAF的度数为70°.故选C.
4. (2025·菏泽模拟)将菱形的两个相邻的内角记为$m^{\circ}$和$n^{\circ}(m ＞ n)$，定义$\frac{m}{n}$为菱形的“接近度”，则当“接近度”为
1
时，这个菱形就是正方形。答案：4.1 解析:
∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，
∴当菱形相邻的两个内角都为90°时，该菱形是正方形，
∴$\frac{m}{n}$ = 1.
∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，
∴当菱形相邻的两个内角都为90°时，该菱形是正方形，
∴$\frac{m}{n}$ = 1.
5. (2025·昭通模拟)如图，在正方形$ABCD$的外侧作等边三角形$ADE$，则$∠ BED =$
45
度。答案：5.45 解析:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°.
∵△ADE是等边三角形，
∴AE = AD，∠DAE = 60°，
∴AB = AE，∠BAE = 150°，
∴∠AEB = ∠ABE = 15°，
∴∠BED = 60° - ∠AEB = 60° - 15° = 45°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠BAD = 90°.
∵△ADE是等边三角形，
∴AE = AD，∠DAE = 60°，
∴AB = AE，∠BAE = 150°，
∴∠AEB = ∠ABE = 15°，
∴∠BED = 60° - ∠AEB = 60° - 15° = 45°.
6. 如图，正方形$ABCD$中，点$P$是对角线$AC$上一点，$PE ⊥ AB$，$PF ⊥ BC$，垂足分别为点$E$，$F$。若正方形$ABCD$的周长为$8$cm，则四边形$EBFP$的周长为
4
cm。答案：6.4 解析:由题意可得四边形EBFP为矩形，所以BF = PE，PF = BE.又点P在对角线AC上，∠BAC = 45°，所以AE = PE；因为正方形ABCD的周长为8cm，所以边长AB = 2cm，所以四边形EBFP的周长为BE + EP + PF + BF = BE + AE + BE + AE = 2AB = 4cm.故答案为4.
解析：
解：
∵正方形$ABCD$的周长为$8\,\mathrm{cm}$，
∴正方形边长$AB = BC = CD = DA=\frac{8}{4}=2\,\mathrm{cm}$。
∵$PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$∠ B = 90°$，
∴四边形$EBFP$为矩形，
∴$BE = PF$，$BF = PE$，四边形$EBFP$的周长为$2(BE + BF)$。
∵点$P$在对角线$AC$上，$∠ BAC = 45°$，$PE⊥ AB$，
∴$△ AEP$为等腰直角三角形，$AE = PE$。
∵$AE + BE = AB = 2\,\mathrm{cm}$，
∴$PE + BE = 2\,\mathrm{cm}$，即$BF + BE = 2\,\mathrm{cm}$。
∴四边形$EBFP$的周长为$2(BE + BF)=2×2 = 4\,\mathrm{cm}$。
4
∵正方形$ABCD$的周长为$8\,\mathrm{cm}$，
∴正方形边长$AB = BC = CD = DA=\frac{8}{4}=2\,\mathrm{cm}$。
∵$PE⊥ AB$，$PF⊥ BC$，$∠ B = 90°$，
∴四边形$EBFP$为矩形，
∴$BE = PF$，$BF = PE$，四边形$EBFP$的周长为$2(BE + BF)$。
∵点$P$在对角线$AC$上，$∠ BAC = 45°$，$PE⊥ AB$，
∴$△ AEP$为等腰直角三角形，$AE = PE$。
∵$AE + BE = AB = 2\,\mathrm{cm}$，
∴$PE + BE = 2\,\mathrm{cm}$，即$BF + BE = 2\,\mathrm{cm}$。
∴四边形$EBFP$的周长为$2(BE + BF)=2×2 = 4\,\mathrm{cm}$。
4
7. (2025·广安中考改编)如图，$E$，$F$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上的两点，$BD = 10$，$DE = BF$，连接$AE$，$AF$，$CE$，$CF$。
(1) 求证：$△ ADE ≌ △ CBF$。
(2) 若四边形$AECF$的周长为$24$，求$BF$的长。
(1) 求证：$△ ADE ≌ △ CBF$。
(2) 若四边形$AECF$的周长为$24$，求$BF$的长。
答案：
7.(1)
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD = BC，∠ADE = ∠CBF = 45°.在△ADE和△CBF中，$\begin{cases}AD = CB\\∠ADE = ∠CBF\\DE = BF\end{cases}$，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，BD = 10，
∴BD垂直平分AC，OA = OC = OB = $\frac{1}{2}$BD = 5，
∴AF = CF，AE = CE，由(1)知△ADE≌△CBF，
∴AE = CF，
∴AF = CF = AE = CE，即四边形AFCE为菱形.
∵四边形AECF的周长为24，
∴AF = $\frac{1}{4}$×24 = 6，在Rt△AOF中，OF = $\sqrt{AF^{2}-OA^{2}}$ = $\sqrt{11}$，
∴BF = OB - OF = 5 - $\sqrt{11}$
7.(1)
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD = BC，∠ADE = ∠CBF = 45°.在△ADE和△CBF中，$\begin{cases}AD = CB\\∠ADE = ∠CBF\\DE = BF\end{cases}$，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，BD = 10，
∴BD垂直平分AC，OA = OC = OB = $\frac{1}{2}$BD = 5，
∴AF = CF，AE = CE，由(1)知△ADE≌△CBF，
∴AE = CF，
∴AF = CF = AE = CE，即四边形AFCE为菱形.
∵四边形AECF的周长为24，
∴AF = $\frac{1}{4}$×24 = 6，在Rt△AOF中，OF = $\sqrt{AF^{2}-OA^{2}}$ = $\sqrt{11}$，
∴BF = OB - OF = 5 - $\sqrt{11}$
8. 新趋势 尺规作图 (2025·襄阳期中)如图，在正方形$ABCD$中，分别以点$A$，$B$为圆心，以$AB$的长为半径画弧，两弧交于点$E$，连接$DE$，$CE$，则$∠ DEC$的度数为(
A.$120^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$160^{\circ}$
C
)A.$120^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$160^{\circ}$
答案：
8.C 解析:如图，连接AE，BE，根据题意，得AB = AD = BC = AE = BE，∠DAB = ∠ABC = 90°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB = ∠EBA = ∠AEB = 60°，
∴∠DAE = ∠DAB - ∠EAB = 30°.
∵AD = AE，
∴∠AED = ∠ADE，
∴∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DAE) = 75°.
∵∠ADC = 90°，
∴∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 15°，同理可得∠DCE = 15°，
∴∠DEC = 180° - ∠CDE - ∠DCE = 150°，故选C.
8.C 解析:如图，连接AE，BE，根据题意，得AB = AD = BC = AE = BE，∠DAB = ∠ABC = 90°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB = ∠EBA = ∠AEB = 60°，
∴∠DAE = ∠DAB - ∠EAB = 30°.
∵AD = AE，
∴∠AED = ∠ADE，
∴∠ADE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠DAE) = 75°.
∵∠ADC = 90°，
∴∠CDE = ∠ADC - ∠ADE = 15°，同理可得∠DCE = 15°，
∴∠DEC = 180° - ∠CDE - ∠DCE = 150°，故选C.
9. (2025·内江中考改编)如图，在平面直角坐标系中，正方形$ABCD$的边$AB$在$x$轴上，点$B$的坐标为$(1,0)$。点$E$在边$CD$上。将$△ ADE$沿$AE$折叠，点$D$落在点$F$处。若点$F$的坐标为$(0,3)$。则点$E$的坐标为(
A.$(-\frac{3}{2},5)$
B.$(-\frac{5}{2},5)$
C.$(-\frac{3}{2},6)$
D.$(-\frac{5}{2},6)$
A
)A.$(-\frac{3}{2},5)$
B.$(-\frac{5}{2},5)$
C.$(-\frac{3}{2},6)$
D.$(-\frac{5}{2},6)$
答案：
9.A 解析:在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB = x，
∴∠AOG = 90°，
∴四边形OADG是矩形，
∴AD = AB = CD = BC = OG = x.
∵点B的坐标为(1,0)，
∴OA = x - 1.
∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，
∵点F的坐标为(0,3)，
∴OF = 3，AF = AD = x，DE = EF.在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF² = OA² + OF²，
∴x² = 3² + (x - 1)²，解得x = 5，
∴DG = OA = x - 1 = 4.设EG = a，则DE = EF = 4 - a，FG = OG - OF = 5 - 3 = 2，在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF² = EG² + GF²，
∴(4 - a)² = a² + 2²，解得a = $\frac{3}{2}$，
∴点E的坐标为($\frac{3}{2}$,5)，故选A.
9.A 解析:在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB = x，
∴∠AOG = 90°，
∴四边形OADG是矩形，
∴AD = AB = CD = BC = OG = x.
∵点B的坐标为(1,0)，
∴OA = x - 1.
∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，
∵点F的坐标为(0,3)，
∴OF = 3，AF = AD = x，DE = EF.在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF² = OA² + OF²，
∴x² = 3² + (x - 1)²，解得x = 5，
∴DG = OA = x - 1 = 4.设EG = a，则DE = EF = 4 - a，FG = OG - OF = 5 - 3 = 2，在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF² = EG² + GF²，
∴(4 - a)² = a² + 2²，解得a = $\frac{3}{2}$，
∴点E的坐标为($\frac{3}{2}$,5)，故选A.