1. 教材变式(1)如图①，在正方形 $ ABCD $ 中，$ AE $，$ DF $ 相交于点 $ O $ 且 $ AE ⊥ DF $，则 $ AE $ 和 $ DF $ 的数量关系为
(2)如图②，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $，$ G $ 分别是边 $ AD $，$ BC $，$ CD $ 上的点，$ BG ⊥ EF $，垂足为 $ H $。求证：$ EF = BG $。
(3)如图③，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $，$ M $ 分别是边 $ AD $，$ BC $，$ AB $ 上的点，$ AE = 2 $，$ BF = 4 $，$ BM = 1 $，将正方形沿 $ EF $ 折叠，点 $ M $ 的对应点与 $ CD $ 边上的点 $ N $ 重合，求 $ CN $ 的长度。
AE=DF
。(2)如图②，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $，$ G $ 分别是边 $ AD $，$ BC $，$ CD $ 上的点，$ BG ⊥ EF $，垂足为 $ H $。求证：$ EF = BG $。
(3)如图③，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $，$ M $ 分别是边 $ AD $，$ BC $，$ AB $ 上的点，$ AE = 2 $，$ BF = 4 $，$ BM = 1 $，将正方形沿 $ EF $ 折叠，点 $ M $ 的对应点与 $ CD $ 边上的点 $ N $ 重合，求 $ CN $ 的长度。
答案：
1.(1)AE=DF 解析:在正方形ABCD中,∠BAD=∠DAO+∠BAE=90°.
∵AE⊥DF,
∴∠DAO+∠ADF=90°,
∴∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中,
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ ADF\\AB = DA\\∠ ABE = ∠ DAF\end{cases}$
∴△ABE≌△DAF(ASA),
∴AE=DF.
(2)如图①,过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形,则AB=EM.在正方形ABCD中,AB=BC，
∴EM=BC;
∵EM⊥BC,
∴∠MEF+∠EFM=90°.
∵BG⊥EF,
∴∠CBG+∠EFM=90°,
∴∠CBG=∠MEF.在△BCG和△EMF中,
$\begin{cases}∠ CBG = ∠ MEF\\BC = EM\\∠ C = ∠ EMF\end{cases}$
∴△BCG≌△EMF(ASA),
∴EF=BG.
(3)如图②,连接MN.
∵M,N关于EF对称,
∴MN⊥EF.过点E作EH⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD于点G,则EH⊥MG.由(2)同理可得△EHF≌△MGN,
∴NG=HF.
∵AE=2,BF=4,
∴NG=HF=4−2=2.又
∵GC=MB=1,
∴CN=NG+CG=2+1=3.
1.(1)AE=DF 解析:在正方形ABCD中,∠BAD=∠DAO+∠BAE=90°.
∵AE⊥DF,
∴∠DAO+∠ADF=90°,
∴∠BAE=∠ADF.在△ABE和△DAF中,
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ ADF\\AB = DA\\∠ ABE = ∠ DAF\end{cases}$
∴△ABE≌△DAF(ASA),
∴AE=DF.
(2)如图①,过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形,则AB=EM.在正方形ABCD中,AB=BC，
∴EM=BC;
∵EM⊥BC,
∴∠MEF+∠EFM=90°.
∵BG⊥EF,
∴∠CBG+∠EFM=90°,
∴∠CBG=∠MEF.在△BCG和△EMF中,
$\begin{cases}∠ CBG = ∠ MEF\\BC = EM\\∠ C = ∠ EMF\end{cases}$
∴△BCG≌△EMF(ASA),
∴EF=BG.
(3)如图②,连接MN.
∵M,N关于EF对称,
∴MN⊥EF.过点E作EH⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD于点G,则EH⊥MG.由(2)同理可得△EHF≌△MGN,
∴NG=HF.
∵AE=2,BF=4,
∴NG=HF=4−2=2.又
∵GC=MB=1,
∴CN=NG+CG=2+1=3.
2. (2025·苏州期末)已知正方形纸片 $ ABCD $ 和 $ EFGH $ 的面积分别为 $ S_1 $，$ S_2 $。如图①，先将正方形纸片 $ ABCD $ 的顶点 $ A $ 放置在正方形纸片 $ EFGH $ 的对称中心 $ O $ 处，此时重叠部分的面积为 $ S_3 $；如图②，再将正方形纸片 $ EFGH $ 的顶点 $ H $ 放置在正方形纸片 $ ABCD $ 的对称中心 $ O' $ 处，此时重叠部分的面积为 $ S_4 $。若 $ \frac{S_1}{S_3} = 9 $，则 $ \frac{S_2}{S_4} $ 等于
$\frac{16}{9}$
。答案：
2.$\frac{16}{9}$ 解析:如图,连接AF,AG,设AD交HG于点M,AB交FG于点N,
∵四边形EFGH,四边形ABCD都是正方形，点O为正方形EFGH的对称中心，
∴AF=AG,∠AFG=∠AGF=∠AGM=45°,∠DAB=90°,S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴∠FAG=90°=∠DAB,
∴∠FAN=∠MAG=90°−∠NAG,
∴△AGM≌△AFN,
∴S△AGM=S△AFN,
∴S₃=S△ANG+S△AGM=S△ANG+S△AFN=S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴S₂=4S₃.同理:S₄=$\frac{1}{4}$S₁.
∵$\frac{S₁}{S₃}$=9,
∴S₁=9S₃,
∴S₄=$\frac{1}{4}$S₁=$\frac{9}{4}$S₃,
∴$\frac{S₂}{S₄}$=$\frac{4S₃}{\frac{9}{4}S₃}$=$\frac{16}{9}$.
2.$\frac{16}{9}$ 解析:如图,连接AF,AG,设AD交HG于点M,AB交FG于点N,
∵四边形EFGH,四边形ABCD都是正方形，点O为正方形EFGH的对称中心，
∴AF=AG,∠AFG=∠AGF=∠AGM=45°,∠DAB=90°,S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴∠FAG=90°=∠DAB,
∴∠FAN=∠MAG=90°−∠NAG,
∴△AGM≌△AFN,
∴S△AGM=S△AFN,
∴S₃=S△ANG+S△AGM=S△ANG+S△AFN=S△AFG=$\frac{1}{4}$S₂,
∴S₂=4S₃.同理:S₄=$\frac{1}{4}$S₁.
∵$\frac{S₁}{S₃}$=9,
∴S₁=9S₃,
∴S₄=$\frac{1}{4}$S₁=$\frac{9}{4}$S₃,
∴$\frac{S₂}{S₄}$=$\frac{4S₃}{\frac{9}{4}S₃}$=$\frac{16}{9}$.
3. 如图，正方形 $ ABCD $ 的对角线交于点 $ O $，点 $ E $，$ F $ 分别在边 $ AB $，$ BC $ 上($ AE ＜ BE $)，且 $ ∠ EOF = 90° $，$ OE $，$ DA $ 的延长线交于点 $ M $，$ OF $，$ AB $ 的延长线交于点 $ N $，连接 $ MN $。
(1)求证：$ △ OMN $ 是等腰直角三角形；
(2)若正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，$ OE = EM $，则 $ MN $ 的长度为
(1)求证：$ △ OMN $ 是等腰直角三角形；
(2)若正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $，$ OE = EM $，则 $ MN $ 的长度为
$\sqrt{10}$
。答案：
3.(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°.
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰直角三角形.
(2) $\sqrt{10}$ 解析:如图,过点O作OH⊥AD于点H,OG⊥AB于点G,
∵正方形的边长为2,
∴HA=OH=OG=1.
∵OE=EM,∠OGE=∠MEA=90°,∠OEG=∠MEA,
∴△OEG≌△MEA(AAS),
∴OG=MA=1,
∴HM=2,
∴OM=ON=$\sqrt{2² + 1²}$=$\sqrt{5}$,
∴MN=$\sqrt{5 + 5}$=$\sqrt{10}$.
3.(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,
∴∠OAM=∠OBN=135°.
∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,
∴∠AOM=∠BON,
∴△OAM≌△OBN(ASA),
∴OM=ON,
∴△OMN是等腰直角三角形.
(2) $\sqrt{10}$ 解析:如图,过点O作OH⊥AD于点H,OG⊥AB于点G,
∵正方形的边长为2,
∴HA=OH=OG=1.
∵OE=EM,∠OGE=∠MEA=90°,∠OEG=∠MEA,
∴△OEG≌△MEA(AAS),
∴OG=MA=1,
∴HM=2,
∴OM=ON=$\sqrt{2² + 1²}$=$\sqrt{5}$,
∴MN=$\sqrt{5 + 5}$=$\sqrt{10}$.