18. (6分)(徐州中考)如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A = 50°，则当∠BOD =
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A = 50°，则当∠BOD =
100
°时，四边形BECD是矩形.答案：18. (1)
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//DC,AB = CD,
∴ ∠OEB = ∠ODC.又
∵ O 为 BC 的中点,
∴ BO = CO.在△BOE 和△COD 中,{∠OEB = ∠ODC,∠BOE = ∠COD,BO = CO},
∴ △BOE≌△COD(AAS),
∴ OE = OD,
∴ 四边形 BECD 是平行四边形.
(2)100 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠BCD = ∠A = 50°.
∵ ∠BOD = ∠BCD + ∠ODC,
∴ 当∠BOD = 100°时,∠ODC = 100° - 50° = 50° = ∠BCD,
∴ OC = OD.
∵ BO = CO,OD = OE,
∴ DE = BC.
∵ 四边形 BECD 是平行四边形,
∴ 平行四边形 BECD 是矩形.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//DC,AB = CD,
∴ ∠OEB = ∠ODC.又
∵ O 为 BC 的中点,
∴ BO = CO.在△BOE 和△COD 中,{∠OEB = ∠ODC,∠BOE = ∠COD,BO = CO},
∴ △BOE≌△COD(AAS),
∴ OE = OD,
∴ 四边形 BECD 是平行四边形.
(2)100 解析:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠BCD = ∠A = 50°.
∵ ∠BOD = ∠BCD + ∠ODC,
∴ 当∠BOD = 100°时,∠ODC = 100° - 50° = 50° = ∠BCD,
∴ OC = OD.
∵ BO = CO,OD = OE,
∴ DE = BC.
∵ 四边形 BECD 是平行四边形,
∴ 平行四边形 BECD 是矩形.
19. （6分）（2025·长春期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上.
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
（2）在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；
（3）在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH.
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD；
（2）在图②中以线段AB为边画一个面积为12的菱形ABEF；
（3）在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH.
答案：
19. (1)如图①,四边形 ABCD 即为所求.(画法不唯一)
(2)如图②,四边形 ABEF 即为所求.
(3)如图③,四边形 ABGH 即为所求.
19. (1)如图①,四边形 ABCD 即为所求.(画法不唯一)
(2)如图②,四边形 ABEF 即为所求.
(3)如图③,四边形 ABGH 即为所求.
20. (7分)新趋势 尺规作图(2025·唐山期末)老师布置了一项作业：利用所学知识在一张长10 cm，宽8 cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形.
【解答问题】
(1)方案设计正确的是
(2)请选择一种正确的方案进行证明；
(3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少.
【解答问题】
(1)方案设计正确的是
①②
(写出序号即可)；(2)请选择一种正确的方案进行证明；
(3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少.
答案：
20. (1)①②
(2)①嘉嘉的方案:四边形 BFDE 为菱形,理由如下:
∵ EF 是 BD 的垂直平分线,
∴ EF⊥BD,OB = OD,EB = ED,FB = FD,
∴ ∠BEO = ∠DEO.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠BFO = ∠DEO,
∴ ∠BFO = ∠BEO,
∴ BF = BE,
∴ BF = BE = ED = DF,
∴ 四边形 BEDF 为菱形.
②淇淇的方案:四边形 EFGH 为菱形,理由如下:如图,连接 AC,BD,
∵ 矩形 ABCD 四条边的中点为 E,F,G,H,
∴ AC = BD,EH,FG,EF,HG 都是三角形的中位线,
∴ EH = 1/2 BD = FG,EF = 1/2 AC = HG,
∴ EH = FG = EF = HG,
∴ 四边形 EFGH 为菱形.
(3)嘉嘉的方案:
∵ 四边形 ABCD 是一张矩形纸片,AB = 8 cm,BC = 10 cm,
∴ AD = BC = 10 cm,∠A = 90°.设 BF = BE = ED = DF = x cm,则 AE = (10 - x)cm,根据勾股定理,得(10 - x)² + 8² = x²,解得 x = 41/5,故菱形 BEDF 的面积为 DE·AB = 41/5×8 = 328/5(cm²).
淇淇的方案:如图,连接 EG,FH,
∵ 矩形 ABCD 四条边的中点为 E,F,G,H,
∴ 四边形 ABFH,BCGE 都是矩形,故 BC = EG = 10 cm,FH = AB = 8 cm,故菱形 EFGH 的面积为 1/2 EG·FH = 1/2×10×8 = 40(cm²).
因为 328/5 ＞ 40,所以嘉嘉的方案构成的四边形面积最大,最大面积是 328/5 cm².
20. (1)①②
(2)①嘉嘉的方案:四边形 BFDE 为菱形,理由如下:
∵ EF 是 BD 的垂直平分线,
∴ EF⊥BD,OB = OD,EB = ED,FB = FD,
∴ ∠BEO = ∠DEO.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠BFO = ∠DEO,
∴ ∠BFO = ∠BEO,
∴ BF = BE,
∴ BF = BE = ED = DF,
∴ 四边形 BEDF 为菱形.
②淇淇的方案:四边形 EFGH 为菱形,理由如下:如图,连接 AC,BD,
∵ 矩形 ABCD 四条边的中点为 E,F,G,H,
∴ AC = BD,EH,FG,EF,HG 都是三角形的中位线,
∴ EH = 1/2 BD = FG,EF = 1/2 AC = HG,
∴ EH = FG = EF = HG,
∴ 四边形 EFGH 为菱形.
(3)嘉嘉的方案:
∵ 四边形 ABCD 是一张矩形纸片,AB = 8 cm,BC = 10 cm,
∴ AD = BC = 10 cm,∠A = 90°.设 BF = BE = ED = DF = x cm,则 AE = (10 - x)cm,根据勾股定理,得(10 - x)² + 8² = x²,解得 x = 41/5,故菱形 BEDF 的面积为 DE·AB = 41/5×8 = 328/5(cm²).
淇淇的方案:如图,连接 EG,FH,
∵ 矩形 ABCD 四条边的中点为 E,F,G,H,
∴ 四边形 ABFH,BCGE 都是矩形,故 BC = EG = 10 cm,FH = AB = 8 cm,故菱形 EFGH 的面积为 1/2 EG·FH = 1/2×10×8 = 40(cm²).
因为 328/5 ＞ 40,所以嘉嘉的方案构成的四边形面积最大,最大面积是 328/5 cm².