21. （8分）如图，在直角梯形ABCD中，AB // CD，AD ⊥ AB，AB = 20 cm，BC = 10 cm，DC = 12 cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4 cm/s的速度沿A - B - C - D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s).
（1）t为何值时，四边形APQD是矩形？
（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.
（1）t为何值时，四边形APQD是矩形？
（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.
答案：
21. (1)由题意,得 AP = 4t cm,CQ = t cm,
∴ DQ = (12 - t)cm,BP = (20 - 4t)cm.
∵ DQ//AP,∠A = 90°,
∴ 当 AP = DQ 时,四边形 APQD 是矩形,即 4t = 12 - t,解得 t = 12/5.
(2)
∵ AB//CD,
∴ 当 BC = PQ = 10 cm 时,四边形 BCQP 是等腰梯形.如图,过 Q,C 分别作 QE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为 E,F,则 CF = AD = QE,四边形 DAEQ 为矩形,
∴ PE = BF = 20 - 12 = 8(cm),AE = DQ,
∴ 4t + 8 = 12 - t,解得 t = 4/5.
(3)不存在.理由如下:由条件得 AD = √(10² - 8²)=6(cm),
∴ 梯形 ABCD 的周长为 20 + 12 + 10 + 6 = 48(cm),面积为 (12 + 20)×6/2 = 96(cm²),若当线段 PQ 平分梯形 ABCD 周长,则 AP + DQ + AD = 1/2×48 = 24(cm),即 4t + 12 - t + 6 = 24,解得 t = 2,此时,梯形 APQD 的面积为 (8 + 10)×6/2 = 54(cm²),54 ≠ 1/2×96 = 48.
∴ 不存在某一时刻 t,使线段 PQ 恰好把梯形 ABCD 的周长和面积同时平分.
21. (1)由题意,得 AP = 4t cm,CQ = t cm,
∴ DQ = (12 - t)cm,BP = (20 - 4t)cm.
∵ DQ//AP,∠A = 90°,
∴ 当 AP = DQ 时,四边形 APQD 是矩形,即 4t = 12 - t,解得 t = 12/5.
(2)
∵ AB//CD,
∴ 当 BC = PQ = 10 cm 时,四边形 BCQP 是等腰梯形.如图,过 Q,C 分别作 QE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为 E,F,则 CF = AD = QE,四边形 DAEQ 为矩形,
∴ PE = BF = 20 - 12 = 8(cm),AE = DQ,
∴ 4t + 8 = 12 - t,解得 t = 4/5.
(3)不存在.理由如下:由条件得 AD = √(10² - 8²)=6(cm),
∴ 梯形 ABCD 的周长为 20 + 12 + 10 + 6 = 48(cm),面积为 (12 + 20)×6/2 = 96(cm²),若当线段 PQ 平分梯形 ABCD 周长,则 AP + DQ + AD = 1/2×48 = 24(cm),即 4t + 12 - t + 6 = 24,解得 t = 2,此时,梯形 APQD 的面积为 (8 + 10)×6/2 = 54(cm²),54 ≠ 1/2×96 = 48.
∴ 不存在某一时刻 t,使线段 PQ 恰好把梯形 ABCD 的周长和面积同时平分.
22. (11分)(2025·镇江期中)如图，取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM =
(2)【类比应用】
如图②，小李将矩形纸片换成边长为8 cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，点M位置不定，当QF = 2 cm时，请直接写出AP的长.
(1)【探究发现】
第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM =
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°；(2)【类比应用】
如图②，小李将矩形纸片换成边长为8 cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
(3)【拓展延伸】
在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，点M位置不定，当QF = 2 cm时，请直接写出AP的长.
答案：
22. (1)30 解析:如图①,连接 AM,由第一次折叠可得直线 EF 为 AB 的垂直平分线.
∵ 点 M 在 EF 上,
∴ AM = BM.由第二次折叠可得 AB = BM,
∴ △ABM 为等边三角形,
∴ ∠ABM = 60°,
∴ ∠PBM = 1/2∠ABM = 30°.
一题多解 由第一次折叠知 AE = BE = 1/2 AB,∠AEF = ∠BEF = 90°.由第二次折叠知 AB = MB,∠ABP = ∠MBP = 1/2∠ABM,
∴ BE = 1/2 AB = 1/2 MB,如图①,取 BM 中点 O,连接 OE.
∵ 在 Rt△BEM 中,点 O 是斜边 BM 中点,
∴ OE = 1/2 BM = OB,
∴ OE = OB = BE,
∴ △BEO 是等边三角形,
∴ ∠EBO = 60°,即∠ABM = 60°,
∴ ∠PBM = 1/2∠ABM = 30°.
(2)同(1)可证∠ABM = 60°,
∴ ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM = 90° - 60° = 30°.在正方形 ABCD 中,AB = BC,∠A = ∠C = 90°.由折叠知 AB = BM,∠PMB = ∠A = 90°,
∴ BC = BM,∠BMQ = ∠C = 90°.在 Rt△BMQ 和 Rt△BCQ 中,{BM = BC,BQ = BQ},
∴ Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),
∴ ∠MBQ = ∠CBQ,
∴ ∠MBQ = 1/2∠CBM = 1/2×30° = 15°.
(3)AP 的长为 24/5 cm 或 8/7 cm. 解析:当点 Q 在点 F 的下方时,如图②,在正方形 ABCD 中,AD = CD = 8 cm,
∴ DQ = QF + DF = 6 cm,
∴ CQ = CD - DQ = 8 - 6 = 2(cm).由(2)知 Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),
∴ MQ = CQ = 2 cm.设 AP = x cm,由折叠知 MP = AP = x cm,
∴ PQ = MP + MQ = (x + 2)cm,PD = AD - AP = (8 - x)cm.在 Rt△PDQ 中,PD² + DQ² = PQ²,
∴ (8 - x)² + 6² = (x + 2)²,解得 x = 24/5,即 AP = 24/5 cm.
当点 Q 在点 F 的上方时,如图③,则 DQ = DF - QF = 2 cm,
∴ CQ = CD - DQ = 8 - 2 = 6(cm),
∴ MQ = CQ = 6 cm.设 AP = MP = x cm,则 PD = AD - AP = (8 - x)cm,PQ = MP + MQ = (x + 6)cm.在 Rt△PDQ 中,PD² + DQ² = PQ²,
∴ (8 - x)² + 2² = (x + 6)²,解得 x = 8/7,即 AP = 8/7 cm.综上可知,AP 的长为 24/5 cm 或 8/7 cm.
22. (1)30 解析:如图①,连接 AM,由第一次折叠可得直线 EF 为 AB 的垂直平分线.
∵ 点 M 在 EF 上,
∴ AM = BM.由第二次折叠可得 AB = BM,
∴ △ABM 为等边三角形,
∴ ∠ABM = 60°,
∴ ∠PBM = 1/2∠ABM = 30°.
一题多解 由第一次折叠知 AE = BE = 1/2 AB,∠AEF = ∠BEF = 90°.由第二次折叠知 AB = MB,∠ABP = ∠MBP = 1/2∠ABM,
∴ BE = 1/2 AB = 1/2 MB,如图①,取 BM 中点 O,连接 OE.
∵ 在 Rt△BEM 中,点 O 是斜边 BM 中点,
∴ OE = 1/2 BM = OB,
∴ OE = OB = BE,
∴ △BEO 是等边三角形,
∴ ∠EBO = 60°,即∠ABM = 60°,
∴ ∠PBM = 1/2∠ABM = 30°.
(2)同(1)可证∠ABM = 60°,
∴ ∠CBM = ∠ABC - ∠ABM = 90° - 60° = 30°.在正方形 ABCD 中,AB = BC,∠A = ∠C = 90°.由折叠知 AB = BM,∠PMB = ∠A = 90°,
∴ BC = BM,∠BMQ = ∠C = 90°.在 Rt△BMQ 和 Rt△BCQ 中,{BM = BC,BQ = BQ},
∴ Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),
∴ ∠MBQ = ∠CBQ,
∴ ∠MBQ = 1/2∠CBM = 1/2×30° = 15°.
(3)AP 的长为 24/5 cm 或 8/7 cm. 解析:当点 Q 在点 F 的下方时,如图②,在正方形 ABCD 中,AD = CD = 8 cm,
∴ DQ = QF + DF = 6 cm,
∴ CQ = CD - DQ = 8 - 6 = 2(cm).由(2)知 Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),
∴ MQ = CQ = 2 cm.设 AP = x cm,由折叠知 MP = AP = x cm,
∴ PQ = MP + MQ = (x + 2)cm,PD = AD - AP = (8 - x)cm.在 Rt△PDQ 中,PD² + DQ² = PQ²,
∴ (8 - x)² + 6² = (x + 2)²,解得 x = 24/5,即 AP = 24/5 cm.
当点 Q 在点 F 的上方时,如图③,则 DQ = DF - QF = 2 cm,
∴ CQ = CD - DQ = 8 - 2 = 6(cm),
∴ MQ = CQ = 6 cm.设 AP = MP = x cm,则 PD = AD - AP = (8 - x)cm,PQ = MP + MQ = (x + 6)cm.在 Rt△PDQ 中,PD² + DQ² = PQ²,
∴ (8 - x)² + 2² = (x + 6)²,解得 x = 8/7,即 AP = 8/7 cm.综上可知,AP 的长为 24/5 cm 或 8/7 cm.