11. 先阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 = (1 + x)[1 + x + x(1 + x)] = (1 + x)^2(1 + x) = (1 + x)^3$.
(1) 上述分解因式的方法是
(2) 若分解因式: $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^{2025}$,则需要应用上述方法
(3) 请用以上方法分解因式: $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^n$ ($n$ 为正整数),必须有简要的过程.
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 = (1 + x)[1 + x + x(1 + x)] = (1 + x)^2(1 + x) = (1 + x)^3$.
(1) 上述分解因式的方法是
提公因式
法,共应用了2
次;(2) 若分解因式: $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^{2025}$,则需要应用上述方法
2025
次,分解因式后的结果是$(1 + x)^{2026}$
;(3) 请用以上方法分解因式: $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + ··· + x(x + 1)^n$ ($n$ 为正整数),必须有简要的过程.
答案：11. (1) 提公因式 2 解析：由提公因式法的定义可得，上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了 2 次。
(2) 2025 $(1 + x)^{2026}$ 解析：由规律可得，$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{n}$，则需要应用上述方法 $n$ 次，分解因式后的结果是 $(1 + x)^{n + 1}$，
∴ $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{2025}$ 需要应用上述方法 2025 次，分解因式后的结果是 $(1 + x)^{2026}$。
(3) 原式 $= (1 + x)[1 + x + x(1 + x) + ··· + x(1 + x)^{n - 1}] = (1 + x)^{2}·[1 + x + ··· + x(1 + x)^{n - 2}] = ··· = (1 + x)^{n + 1}$。
(2) 2025 $(1 + x)^{2026}$ 解析：由规律可得，$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{n}$，则需要应用上述方法 $n$ 次，分解因式后的结果是 $(1 + x)^{n + 1}$，
∴ $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + ··· + x(x + 1)^{2025}$ 需要应用上述方法 2025 次，分解因式后的结果是 $(1 + x)^{2026}$。
(3) 原式 $= (1 + x)[1 + x + x(1 + x) + ··· + x(1 + x)^{n - 1}] = (1 + x)^{2}·[1 + x + ··· + x(1 + x)^{n - 2}] = ··· = (1 + x)^{n + 1}$。
12. 若 $a ＞ b ＞ c ＞ d$, $x = (a + b)(c + d)$, $y = (a + c)(b + d)$, $z = (a + d)(b + c)$,则 $x,y,z$ 的大小关系是
$z ＞ y ＞ x$
.答案：12. $z ＞ y ＞ x$ 解析：因为 $x = (a + b)(c + d)$，$y = (a + c)(b + d)$，$z = (a + d)(b + c)$，所以 $z - y = (a + d)(b + c) - (a + c)(b + d) = (a - b)(c - d)$。因为 $a ＞ b ＞ c ＞ d$，所以 $(a - b)(c - d) ＞ 0$，所以 $z - y ＞ 0$，所以 $z ＞ y$ ①。$x - y = (a + b)(c + d) - (a + c)(b + d) = (b - c)(d - a)$，因为 $a ＞ b ＞ c ＞ d$，所以 $x - y ＜$
解析：
因为 $a ＞ b ＞ c ＞ d$，$x=(a + b)(c + d)$，$y=(a + c)(b + d)$，$z=(a + d)(b + c)$，
所以 $z - y=(a + d)(b + c)-(a + c)(b + d)$
$=ab+ac+bd+cd-(ab+ad+bc+cd)$
$=ac+bd - ad - bc$
$=a(c - d)+b(d - c)$
$=(a - b)(c - d)$，
因为 $a ＞ b$，$c ＞ d$，所以 $a - b＞0$，$c - d＞0$，则 $(a - b)(c - d)＞0$，即 $z - y＞0$，所以 $z ＞ y$；
$y - x=(a + c)(b + d)-(a + b)(c + d)$
$=ab+ad+bc+cd-(ac+ad+bc+bd)$
$=ab+cd - ac - bd$
$=a(b - c)+d(c - b)$
$=(a - d)(b - c)$，
因为 $a ＞ d$，$b ＞ c$，所以 $a - d＞0$，$b - c＞0$，则 $(a - d)(b - c)＞0$，即 $y - x＞0$，所以 $y ＞ x$；
综上，$z ＞ y ＞ x$。
$z ＞ y ＞ x$
所以 $z - y=(a + d)(b + c)-(a + c)(b + d)$
$=ab+ac+bd+cd-(ab+ad+bc+cd)$
$=ac+bd - ad - bc$
$=a(c - d)+b(d - c)$
$=(a - b)(c - d)$，
因为 $a ＞ b$，$c ＞ d$，所以 $a - b＞0$，$c - d＞0$，则 $(a - b)(c - d)＞0$，即 $z - y＞0$，所以 $z ＞ y$；
$y - x=(a + c)(b + d)-(a + b)(c + d)$
$=ab+ad+bc+cd-(ac+ad+bc+bd)$
$=ab+cd - ac - bd$
$=a(b - c)+d(c - b)$
$=(a - d)(b - c)$，
因为 $a ＞ d$，$b ＞ c$，所以 $a - d＞0$，$b - c＞0$，则 $(a - d)(b - c)＞0$，即 $y - x＞0$，所以 $y ＞ x$；
综上，$z ＞ y ＞ x$。
$z ＞ y ＞ x$
13. 新趋势 代数推理 阅读理解
能被 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 整除的特征:如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 的倍数,则这个数就能被 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 整除.
如: $456 533$, $533 - 456 = 77$, $77$ 是 $7$ 的 $11$ 倍,所以 $456 533$ 能被 $7$ 整除.又如: $345 548 214$, $345 548 - 214 = 345 334$, $345 - 334 = 11$, $11$ 是 $11$ 的 $1$ 倍,所以 $345 548 214$ 能被 $11$ 整除.
(1) 用材料中的方法验证 $67 822 615$ 是 $7$ 的倍数(写明验证过程);
(2) 若对任意一个七位数,末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是 $11$ 的倍数,试验证这个七位数一定能被 $11$ 整除.
能被 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 整除的特征:如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 的倍数,则这个数就能被 $7$ (或 $11$ 或 $13$) 整除.
如: $456 533$, $533 - 456 = 77$, $77$ 是 $7$ 的 $11$ 倍,所以 $456 533$ 能被 $7$ 整除.又如: $345 548 214$, $345 548 - 214 = 345 334$, $345 - 334 = 11$, $11$ 是 $11$ 的 $1$ 倍,所以 $345 548 214$ 能被 $11$ 整除.
(1) 用材料中的方法验证 $67 822 615$ 是 $7$ 的倍数(写明验证过程);
(2) 若对任意一个七位数,末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是 $11$ 的倍数,试验证这个七位数一定能被 $11$ 整除.
答案：(1)解：对于 67822615，其末三位数为615，末三位以前的数为67822，
计算两者之差：
|67822 - 615| = 67207
对67207继续应用同样的方法，其末三位数为207，末三位以前的数为67，计算两者之差：|67 - 207| = 140（因为67＜ 207，所以用207-67）140是7的20倍，$\therefore 67822615$能被7整除。(2)设七位数的末三位数为x，末三位以前的数为y，则该七位数可以表示为：1000y + x，根据题意，|y - x|是11的倍数，即存在整数k，使得：|y - x| = 11k，分两种情况考虑：当y ≥ x时，y - x = 11ky = x + 11k将y代入七位数的表达式中，得：1000y + x = 1000(x + 11k) + x = 1001x + 11000k= 11(91x + 1000k)由于91x + 1000k是整数，所以1000y + x是11的倍数。当y ＜ x时，x - y = 11kx = y + 11k将x代入七位数的表达式中，得：1000y + x = 1000y + y + 11k = 1001y + 11k= 11(91y + k)由于91y + k是整数，所以1000y + x是11的倍数。综上，无论y和x的大小关系如何，七位数1000y + x都是11的倍数。
计算两者之差：
|67822 - 615| = 67207
对67207继续应用同样的方法，其末三位数为207，末三位以前的数为67，计算两者之差：|67 - 207| = 140（因为67＜ 207，所以用207-67）140是7的20倍，$\therefore 67822615$能被7整除。(2)设七位数的末三位数为x，末三位以前的数为y，则该七位数可以表示为：1000y + x，根据题意，|y - x|是11的倍数，即存在整数k，使得：|y - x| = 11k，分两种情况考虑：当y ≥ x时，y - x = 11ky = x + 11k将y代入七位数的表达式中，得：1000y + x = 1000(x + 11k) + x = 1001x + 11000k= 11(91x + 1000k)由于91x + 1000k是整数，所以1000y + x是11的倍数。当y ＜ x时，x - y = 11kx = y + 11k将x代入七位数的表达式中，得：1000y + x = 1000y + y + 11k = 1001y + 11k= 11(91y + k)由于91y + k是整数，所以1000y + x是11的倍数。综上，无论y和x的大小关系如何，七位数1000y + x都是11的倍数。