例 2
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AO:OC = 3:2$，$BO:OD = 5:3$。那么 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BCD} = (\quad)$，$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ACD} = (\quad)$。（填最简单的整数比）
我的思考
要想算出 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 的面积之比，可以根据等高模型直接算出组成 $\triangle ABD$ 的小三角形（$\triangle AOB$ 与 $\triangle AOD$）和组成 $\triangle BCD$ 的小三角形（$\triangle COB$ 与 $\triangle COD$）的比例关系。$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COB}} = \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC}$，则 $\frac{S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COB} + S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC}$，即 $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{AO}{OC}$。$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{S_{\triangle COB}}{S_{\triangle COD}} = \frac{BO}{OD}$，则 $\frac{S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COB}}{S_{\triangle AOD} + S_{\triangle COD}} = \frac{BO}{OD}$，即 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BO}{OD}$。也可以采用假设法，假设 $S_{\triangle AOB} = 15$，因为 $AO:OC = 3:2$，所以 $S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC} = 3:2$，则 $S_{\triangle BOC} = \frac{2}{3}×15 = 10$，又因为 $BO:OD = 5:3$，所以 $S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COD} = 5:3$，则 $S_{\triangle AOD} = \frac{3}{5}×15 = 9$，$S_{\triangle COD} = \frac{3}{5}×10 = 6$，所以 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BCD} = (15 + 9):(10 + 6) = 24:16 = 3:2$，$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ACD} = (15 + 10):(9 + 6) = 25:15 = 5:3$。
我的解答
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AO:OC = 3:2$，$BO:OD = 5:3$。那么 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BCD} = (\quad)$，$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ACD} = (\quad)$。（填最简单的整数比）
我的思考
要想算出 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 的面积之比，可以根据等高模型直接算出组成 $\triangle ABD$ 的小三角形（$\triangle AOB$ 与 $\triangle AOD$）和组成 $\triangle BCD$ 的小三角形（$\triangle COB$ 与 $\triangle COD$）的比例关系。$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COB}} = \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC}$，则 $\frac{S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COB} + S_{\triangle COD}} = \frac{AO}{OC}$，即 $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{AO}{OC}$。$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}} = \frac{S_{\triangle COB}}{S_{\triangle COD}} = \frac{BO}{OD}$，则 $\frac{S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COB}}{S_{\triangle AOD} + S_{\triangle COD}} = \frac{BO}{OD}$，即 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BO}{OD}$。也可以采用假设法，假设 $S_{\triangle AOB} = 15$，因为 $AO:OC = 3:2$，所以 $S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC} = 3:2$，则 $S_{\triangle BOC} = \frac{2}{3}×15 = 10$，又因为 $BO:OD = 5:3$，所以 $S_{\triangle AOB}:S_{\triangle AOD} = S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COD} = 5:3$，则 $S_{\triangle AOD} = \frac{3}{5}×15 = 9$，$S_{\triangle COD} = \frac{3}{5}×10 = 6$，所以 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle BCD} = (15 + 9):(10 + 6) = 24:16 = 3:2$，$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ACD} = (15 + 10):(9 + 6) = 25:15 = 5:3$。
我的解答
答案：3：2 5：3
解析：
解：因为$\frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}$，且$\triangle ABD$与$\triangle BCD$分别由$\triangle AOB$、$\triangle AOD$和$\triangle COB$、$\triangle COD$组成，根据等高模型，$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle COB}}=\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COD}}=\frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}$，所以$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COB}+S_{\triangle COD}}=\frac{3}{2}$。
因为$\frac{BO}{OD}=\frac{5}{3}$，且$\triangle ABC$与$\triangle ACD$分别由$\triangle AOB$、$\triangle COB$和$\triangle AOD$、$\triangle COD$组成，根据等高模型，$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}}=\frac{S_{\triangle COB}}{S_{\triangle COD}}=\frac{BO}{OD}=\frac{5}{3}$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COB}}{S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}}=\frac{5}{3}$。
$3:2$；$5:3$
因为$\frac{BO}{OD}=\frac{5}{3}$，且$\triangle ABC$与$\triangle ACD$分别由$\triangle AOB$、$\triangle COB$和$\triangle AOD$、$\triangle COD$组成，根据等高模型，$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOD}}=\frac{S_{\triangle COB}}{S_{\triangle COD}}=\frac{BO}{OD}=\frac{5}{3}$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COB}}{S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}}=\frac{5}{3}$。
$3:2$；$5:3$
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$BO:OD = 3:2$，$\triangle ABC$ 的面积为 $51$ 平方厘米，则 $\triangle DAC$ 的面积为多少平方厘米？
答案：BO：OD=3：2 $S_{\triangle AOB}：S_{\triangle OAD}=$
3：2 $S_{\triangle BOC}：S_{\triangle COD}=3：2$ $(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC})：$
$(S_{\triangle OAD}+S_{\triangle COD})=S_{\triangle ABC}：S_{\triangle DAC}=3：2$
$S_{\triangle DAC}=\frac{2}{3} × 51=34(平方厘米)$
3：2 $S_{\triangle BOC}：S_{\triangle COD}=3：2$ $(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC})：$
$(S_{\triangle OAD}+S_{\triangle COD})=S_{\triangle ABC}：S_{\triangle DAC}=3：2$
$S_{\triangle DAC}=\frac{2}{3} × 51=34(平方厘米)$
甲、乙两个圆柱形容器，底面积之比为 $5:3$，甲容器中水深 $9$ 厘米，乙容器中水深 $3$ 厘米，现在往两个容器中注入同样多的水，使它们的水深相等。那么甲容器中的水面上升了多少厘米？
答案：甲、乙两容器中水面上升的高度比：3：5 甲容器中
水面上升高度：(9-3)÷(5-3)×3=9(厘米)
解析 由甲、乙两个容器的底面积之比为5：3和注
入同样多的水可知，甲、乙两个容器中水面上升的高
度比为(1÷5)：(1÷3)=3：5，再结合原来两个容
器中水深相差9—3=6(厘米)解决问题。
水面上升高度：(9-3)÷(5-3)×3=9(厘米)
解析 由甲、乙两个容器的底面积之比为5：3和注
入同样多的水可知，甲、乙两个容器中水面上升的高
度比为(1÷5)：(1÷3)=3：5，再结合原来两个容
器中水深相差9—3=6(厘米)解决问题。