6. (2024·沭阳县月考)如图，$a// b$，$Rt△ ABC$的直角顶点$C$在直线$b$上. 若$∠A=43^{\circ}$，$∠2=25^{\circ}$，则$∠1$等于(
A.$18^{\circ}$
B.$22^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$32^{\circ}$
B
)A.$18^{\circ}$
B.$22^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$32^{\circ}$
答案：6. B
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=43^{\circ}$，
$\therefore ∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}$.
设直线$a$与$BC$交于点$D$.
$\because a// b$，
$\therefore ∠ ADB=∠ 2=25^{\circ}$.
$\because ∠ ADB+∠ 1=∠ B$，
$\therefore ∠ 1=∠ B-∠ ADB=47^{\circ}-25^{\circ}=22^{\circ}$.
答案：B
$\therefore ∠ B=90^{\circ}-∠ A=90^{\circ}-43^{\circ}=47^{\circ}$.
设直线$a$与$BC$交于点$D$.
$\because a// b$，
$\therefore ∠ ADB=∠ 2=25^{\circ}$.
$\because ∠ ADB+∠ 1=∠ B$，
$\therefore ∠ 1=∠ B-∠ ADB=47^{\circ}-25^{\circ}=22^{\circ}$.
答案：B
7. (2024·通州区期中)如图，在数轴上，点$A$，$B$分别表示数$2m - 1$，$1 + m$，且点$A$在点$B$的左侧.
(1)求$m$的取值范围；
(2)数轴上表示数$6 - m$的点$C$应落在
(1)求$m$的取值范围；
(2)数轴上表示数$6 - m$的点$C$应落在
点B的右侧
(填“点$A$的左侧”“线段$AB$上”或“点$B$的右侧”)，并说明理由.答案：7. 解：(1) 由题意，得 $ 2m - 1 ＜ 1 + m $，解得 $ m ＜ 2 $，所以 $ m $ 的取值范围是 $ m ＜ 2 $。
(2) 点 $ B $ 的右侧
理由：由(1)可知 $ m ＜ 2 $，所以 $ (2m - 1) - (6 - m) = 2m - 1 - 6 + m = 3m - 7 ＜ 0 $，所以点 $ C $ 在 $ A $ 的右侧。
因为 $ 1 + m - (6 - m) = 1 + m - 6 + m = 2m - 5 ＜ 0 $，所以点 $ C $ 在点 $ B $ 的右侧。综上可知，点 $ C $ 在点 $ B $ 右侧。
(2) 点 $ B $ 的右侧
理由：由(1)可知 $ m ＜ 2 $，所以 $ (2m - 1) - (6 - m) = 2m - 1 - 6 + m = 3m - 7 ＜ 0 $，所以点 $ C $ 在 $ A $ 的右侧。
因为 $ 1 + m - (6 - m) = 1 + m - 6 + m = 2m - 5 ＜ 0 $，所以点 $ C $ 在点 $ B $ 的右侧。综上可知，点 $ C $ 在点 $ B $ 右侧。
8. 证明：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
答案：
8. 解：已知：如答图，$ AB // CD $，直线 $ EF $ 分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ G $，$ H $，$ GM $ 平分 $ ∠ BGF $，$ HM $ 平分 $ ∠ DHE $。
求证：$ GM ⊥ HM $。
证明：$ \because GM $ 平分 $ ∠ BGF $，$ HM $ 平分 $ ∠ DHE $（已知），$ \therefore ∠ HGM = \frac{1}{2} ∠ BGF $，$ ∠ GHM = \frac{1}{2} ∠ DHE $（角平分线的定义），$ \therefore ∠ HGM + ∠ GHM = \frac{1}{2} (∠ BGF + ∠ DHE) $（等式的性质）。
$ \because AB // CD $（已知），$ \therefore ∠ BGF + ∠ DHE = 180^{\circ} $（两直线平行，同旁内角互补），$ \therefore ∠ HGM + ∠ GHM = \frac{1}{2} × 180^{\circ} = 90^{\circ} $（等量代换）。
$ \because ∠ HGM + ∠ GHM + ∠ M = 180^{\circ} $（三角形内角和定理），$ \therefore ∠ M = 180^{\circ} - (∠ HGM + ∠ GHM) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $（等式的性质），$ \therefore GM ⊥ HM $（垂直的定义）。
8. 解：已知：如答图，$ AB // CD $，直线 $ EF $ 分别交 $ AB $，$ CD $ 于点 $ G $，$ H $，$ GM $ 平分 $ ∠ BGF $，$ HM $ 平分 $ ∠ DHE $。
求证：$ GM ⊥ HM $。
证明：$ \because GM $ 平分 $ ∠ BGF $，$ HM $ 平分 $ ∠ DHE $（已知），$ \therefore ∠ HGM = \frac{1}{2} ∠ BGF $，$ ∠ GHM = \frac{1}{2} ∠ DHE $（角平分线的定义），$ \therefore ∠ HGM + ∠ GHM = \frac{1}{2} (∠ BGF + ∠ DHE) $（等式的性质）。
$ \because AB // CD $（已知），$ \therefore ∠ BGF + ∠ DHE = 180^{\circ} $（两直线平行，同旁内角互补），$ \therefore ∠ HGM + ∠ GHM = \frac{1}{2} × 180^{\circ} = 90^{\circ} $（等量代换）。
$ \because ∠ HGM + ∠ GHM + ∠ M = 180^{\circ} $（三角形内角和定理），$ \therefore ∠ M = 180^{\circ} - (∠ HGM + ∠ GHM) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $（等式的性质），$ \therefore GM ⊥ HM $（垂直的定义）。
9. (2024·宝应期末)证明命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”.
(1)依据命题画出的图形如图所示，请你把该命题用几何符号语言补充完整；
已知：$AB$
求证：
(2)写出证明过程.
(1)依据命题画出的图形如图所示，请你把该命题用几何符号语言补充完整；
已知：$AB$
//
$CD$，直线$GH$分别交直线$AB$，$CD$于点$E$，$F$，$EM$，$FN$分别平分∠GEB
和∠EFD
.求证：
EM // FN
.(2)写出证明过程.
答案：9. (1) $ // $ $ ∠ GEB $ $ ∠ EFD $ $ EM // FN $
(2) 证明：$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ GEB = ∠ EFD $。
$ \because EM $，$ FN $ 分别平分 $ ∠ GEB $ 和 $ ∠ EFD $，$ \therefore ∠ GEM = \frac{1}{2} ∠ GEB $，$ ∠ EFN = \frac{1}{2} ∠ EFD $，$ \therefore ∠ GEM = ∠ EFN $，$ \therefore EM // FN $。
(2) 证明：$ \because AB // CD $，$ \therefore ∠ GEB = ∠ EFD $。
$ \because EM $，$ FN $ 分别平分 $ ∠ GEB $ 和 $ ∠ EFD $，$ \therefore ∠ GEM = \frac{1}{2} ∠ GEB $，$ ∠ EFN = \frac{1}{2} ∠ EFD $，$ \therefore ∠ GEM = ∠ EFN $，$ \therefore EM // FN $。