1. 下列说法中，错误的是(
A.基本事实都是真命题
B.基本事实是判断命题真假的依据
C.所有的定理都是真命题
D.所有的命题都是定理
D
)A.基本事实都是真命题
B.基本事实是判断命题真假的依据
C.所有的定理都是真命题
D.所有的命题都是定理
答案：1. D
2. 若△ABC三个内角的大小满足条件∠A：∠B：∠C=1：3：4，则∠B的大小为(
A.22.5°
B.45°
C.67.5°
D.90°
C
)A.22.5°
B.45°
C.67.5°
D.90°
答案：2. C
解析：
设∠A、∠B、∠C的度数分别为$x$、$3x$、$4x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 3x + 4x = 180°$，
$8x = 180°$，
$x = 22.5°$，
则∠B的度数为$3x = 3×22.5° = 67.5°$。
C
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 3x + 4x = 180°$，
$8x = 180°$，
$x = 22.5°$，
则∠B的度数为$3x = 3×22.5° = 67.5°$。
C
3. (2024·海陵区月考)如图，BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠C=75°，∠EBD=60°，则∠A=(
A.35°
B.40°
C.45°
D.55°
C
)A.35°
B.40°
C.45°
D.55°
答案：3. C
解析：
解：
∵BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，∠EBD=60°，
∴∠CBD=2∠EBD=120°，
∵∠CBD是△ABC的外角，∠C=75°，
∴∠A=∠CBD - ∠C=120° - 75°=45°。
答案：C
∵BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，∠EBD=60°，
∴∠CBD=2∠EBD=120°，
∵∠CBD是△ABC的外角，∠C=75°，
∴∠A=∠CBD - ∠C=120° - 75°=45°。
答案：C
4. (2024·宜兴月考)把一副三角尺按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FE⊥CE，则∠ADE的大小为
$165^{\circ}$
.答案：4. $165^{\circ}$
5. (2024·吴江区期末)如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=
$30^{\circ}$
.答案：5. $30^{\circ}$
解析：
证明：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠PBC=∠ABP=20°，∠ABC=2∠ABP=40°．
∵CP是∠ACM的平分线，∠ACP=50°，
∴∠PCM=∠ACP=50°，∠ACM=2∠ACP=100°．
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠ACM=∠ABC+∠A，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-40°=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°．
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-20°-130°=30°．
$30^{\circ}$
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=20°，
∴∠PBC=∠ABP=20°，∠ABC=2∠ABP=40°．
∵CP是∠ACM的平分线，∠ACP=50°，
∴∠PCM=∠ACP=50°，∠ACM=2∠ACP=100°．
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠ACM=∠ABC+∠A，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-40°=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°．
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠BCP=180°-20°-130°=30°．
$30^{\circ}$
6. (2024·鼓楼区月考)一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？请用两种不同的方法说明理由.
答案：
6. 解:方法一:如答图①,连接AC并延长.
在△ADC中,∠1 = ∠D + ∠DAC,
在△ABC中,∠2 = ∠B + ∠BAC,
∴∠BCD = ∠1 + ∠2 = ∠D + ∠B + ∠BAC + ∠DAC = ∠D + ∠B + ∠BAD = $140^{\circ}$,
∴李叔叔量得∠BCD = $142^{\circ}$,就可以断定这个零件不合格.
方法二:如答图②,延长DC交AB于点M.
∵∠AMD = $180^{\circ} - ∠ A - ∠ D = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,
∴∠CMB = $180^{\circ} - ∠ AMD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$,
∴∠DCB = ∠CMB + ∠B = $120^{\circ} + 20^{\circ} = 140^{\circ}$,
∴李叔叔量得∠BCD = $142^{\circ}$,就可以断定这个零件不合格.
6. 解:方法一:如答图①,连接AC并延长.
在△ADC中,∠1 = ∠D + ∠DAC,
在△ABC中,∠2 = ∠B + ∠BAC,
∴∠BCD = ∠1 + ∠2 = ∠D + ∠B + ∠BAC + ∠DAC = ∠D + ∠B + ∠BAD = $140^{\circ}$,
∴李叔叔量得∠BCD = $142^{\circ}$,就可以断定这个零件不合格.
方法二:如答图②,延长DC交AB于点M.
∵∠AMD = $180^{\circ} - ∠ A - ∠ D = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,
∴∠CMB = $180^{\circ} - ∠ AMD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$,
∴∠DCB = ∠CMB + ∠B = $120^{\circ} + 20^{\circ} = 140^{\circ}$,
∴李叔叔量得∠BCD = $142^{\circ}$,就可以断定这个零件不合格.
7. (2024·建邺区期末)如图，AD是△ABC的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是(
A.α+β=γ
B.2α−β=γ
C.2β−α=γ
D.2γ−α=β
C
)A.α+β=γ
B.2α−β=γ
C.2β−α=γ
D.2γ−α=β
答案：7. C
解析：
解：设∠BAD=∠CAD=θ，
在△ABD中，β=α+θ，得θ=β−α，
在△ADC中，∠ACD=β−θ=β−(β−α)=α，
γ=180°−∠ACD=180°−α，
又β=180°−∠ADC，∠ADC=180°−β，
在△ADC中，∠ADC+∠ACD+θ=180°，
即(180°−β)+α+(β−α)=180°，恒成立，
由γ=∠ACE=∠BAC+α=2θ+α=2(β−α)+α=2β−α，
故2β−α=γ，选C。
在△ABD中，β=α+θ，得θ=β−α，
在△ADC中，∠ACD=β−θ=β−(β−α)=α，
γ=180°−∠ACD=180°−α，
又β=180°−∠ADC，∠ADC=180°−β，
在△ADC中，∠ADC+∠ACD+θ=180°，
即(180°−β)+α+(β−α)=180°，恒成立，
由γ=∠ACE=∠BAC+α=2θ+α=2(β−α)+α=2β−α，
故2β−α=γ，选C。