7. (2025·自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 α + β =(
A.140°
B.150°
C.160°
D.170°
B
)A.140°
B.150°
C.160°
D.170°
答案：7. B
解析：
解：正六边形内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，正方形内角为$90°$。设两图形相交形成的四边形内角和为$360°$，则$α+β=360° - 120° - 90°=150°$。
B
B
8. (2024·鼓楼区期中)如图，将△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCED 内点 A'的位置，∠A = 35°，则∠1 + ∠2 的度数是
$ 70^{\circ} $
.答案：8. $ 70^{\circ} $
解析：
证明：
∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴∠A' = ∠A = 35°，∠A'DE = ∠ADE，∠A'ED = ∠AED。
在△A'DE中，∠A'DE + ∠A'ED = 180° - ∠A' = 145°。
∵∠1 + 2∠A'DE = 180°，∠2 + 2∠A'ED = 180°，
∴∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠A'DE + ∠A'ED) = 360° - 2×145° = 70°。
$70^{\circ}$
∵△A'DE由△ADE折叠得到，
∴∠A' = ∠A = 35°，∠A'DE = ∠ADE，∠A'ED = ∠AED。
在△A'DE中，∠A'DE + ∠A'ED = 180° - ∠A' = 145°。
∵∠1 + 2∠A'DE = 180°，∠2 + 2∠A'ED = 180°，
∴∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠A'DE + ∠A'ED) = 360° - 2×145° = 70°。
$70^{\circ}$
9. (2024·梁溪区期末)把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1 = 52°，∠2 = 18°，则∠3 =
$ 32^{\circ} $
.答案：9. $ 32^{\circ} $
10. (2024·高港区月考)(1)一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，这个多边形是几边形?
(2)小明求得一个多边形的内角和为 1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及小明重复加的那个角的度数是多少吗?
(2)小明求得一个多边形的内角和为 1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及小明重复加的那个角的度数是多少吗?
答案：10. 解: (1) 设这个多边形的边数是 $ n $, 由题意, 得
$ (n - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ} × 3, \therefore n = 8 $.
答: 这个多边形是八边形.
(2) 设这个多边形的边数是 $ m $, 重复加的那个角的度数是 $ x^{\circ} $,
由题意, 得 $ (m - 2) × 180^{\circ} + x^{\circ} = 1280^{\circ} $,
$ \therefore (m - 2) × 180^{\circ} = 1280^{\circ} - x^{\circ} $.
$ \because 1280^{\circ} ÷ 180^{\circ} = 7 ··· ··· 20^{\circ} $,
$ \therefore x = 20, (m - 2) × 180^{\circ} = 1260^{\circ}, \therefore m = 9 $.
答: 这个多边形的边数是 9, 重复加的那个角的度数是 $ 20^{\circ} $.
$ (n - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ} × 3, \therefore n = 8 $.
答: 这个多边形是八边形.
(2) 设这个多边形的边数是 $ m $, 重复加的那个角的度数是 $ x^{\circ} $,
由题意, 得 $ (m - 2) × 180^{\circ} + x^{\circ} = 1280^{\circ} $,
$ \therefore (m - 2) × 180^{\circ} = 1280^{\circ} - x^{\circ} $.
$ \because 1280^{\circ} ÷ 180^{\circ} = 7 ··· ··· 20^{\circ} $,
$ \therefore x = 20, (m - 2) × 180^{\circ} = 1260^{\circ}, \therefore m = 9 $.
答: 这个多边形的边数是 9, 重复加的那个角的度数是 $ 20^{\circ} $.
11. (2024·兴化月考)如图，四边形 ABCD 的内角∠BCD 的平分线与外角∠ABE 的平分线相交于点 F.
(1)若 BF // CD，∠ABC = 80°，求∠BCD 的度数；
(2)已知四边形 ABCD 中，∠A = 110°，∠D = 120°，求∠F 的度数；
(3)猜想∠F，∠A，∠D 之间的数量关系，并说明理由.
(1)若 BF // CD，∠ABC = 80°，求∠BCD 的度数；
(2)已知四边形 ABCD 中，∠A = 110°，∠D = 120°，求∠F 的度数；
(3)猜想∠F，∠A，∠D 之间的数量关系，并说明理由.
答案：11. 解: (1) $ \because ∠ ABC = 80^{\circ}, \therefore ∠ ABE = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} $.
$ \because BF $ 平分 $ ∠ ABE, \therefore ∠ ABF = ∠ EBF = 50^{\circ} $.
$ \because BF // CD, \therefore ∠ BCD = ∠ EBF = 50^{\circ} $.
(2) $ \because CF $ 平分 $ ∠ BCD, BF $ 平分 $ ∠ ABE $,
$ \therefore ∠ BCF = ∠ DCF = \dfrac{1}{2} ∠ BCD, ∠ EBF = ∠ ABF $.
$ \because ∠ A + ∠ D + ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ}, ∠ A = 110^{\circ}, ∠ D = 120^{\circ} $,
$ \therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ} - 110^{\circ} - 120^{\circ} = 130^{\circ} $,
即 $ 180^{\circ} - ∠ ABE + 2 ∠ BCF = 130^{\circ} $.
$ \because ∠ ABE = 2 ∠ EBF, ∠ EBF = ∠ F + ∠ BCF $,
$ \therefore 180^{\circ} - 2 (∠ F + ∠ BCF) + 2 ∠ BCF = 130^{\circ} $,
$ \therefore 2 ∠ F = 50^{\circ}, \therefore ∠ F = 25^{\circ} $.
(3) $ ∠ F = \dfrac{1}{2} (∠ A + ∠ D - 180^{\circ}) $. 理由如下:
$ \because ∠ A + ∠ D + ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ}, ∠ ABC = 180^{\circ} - ∠ ABE, ∠ ABE = 2 ∠ EBF, ∠ BCD = 2 ∠ BCF, ∠ EBF = ∠ F + ∠ BCF $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D + 180^{\circ} - ∠ ABE + 2 ∠ BCF = 360^{\circ} $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D - 2 ∠ EBF + 2 ∠ BCF = 180^{\circ} $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D - 2 (∠ F + ∠ BCF) + 2 ∠ BCF = 180^{\circ} $,
即 $ 2 ∠ F = ∠ A + ∠ D - 180^{\circ}, \therefore ∠ F = \dfrac{1}{2} (∠ A + ∠ D - 180^{\circ}) $.
$ \because BF $ 平分 $ ∠ ABE, \therefore ∠ ABF = ∠ EBF = 50^{\circ} $.
$ \because BF // CD, \therefore ∠ BCD = ∠ EBF = 50^{\circ} $.
(2) $ \because CF $ 平分 $ ∠ BCD, BF $ 平分 $ ∠ ABE $,
$ \therefore ∠ BCF = ∠ DCF = \dfrac{1}{2} ∠ BCD, ∠ EBF = ∠ ABF $.
$ \because ∠ A + ∠ D + ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ}, ∠ A = 110^{\circ}, ∠ D = 120^{\circ} $,
$ \therefore ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ} - 110^{\circ} - 120^{\circ} = 130^{\circ} $,
即 $ 180^{\circ} - ∠ ABE + 2 ∠ BCF = 130^{\circ} $.
$ \because ∠ ABE = 2 ∠ EBF, ∠ EBF = ∠ F + ∠ BCF $,
$ \therefore 180^{\circ} - 2 (∠ F + ∠ BCF) + 2 ∠ BCF = 130^{\circ} $,
$ \therefore 2 ∠ F = 50^{\circ}, \therefore ∠ F = 25^{\circ} $.
(3) $ ∠ F = \dfrac{1}{2} (∠ A + ∠ D - 180^{\circ}) $. 理由如下:
$ \because ∠ A + ∠ D + ∠ ABC + ∠ BCD = 360^{\circ}, ∠ ABC = 180^{\circ} - ∠ ABE, ∠ ABE = 2 ∠ EBF, ∠ BCD = 2 ∠ BCF, ∠ EBF = ∠ F + ∠ BCF $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D + 180^{\circ} - ∠ ABE + 2 ∠ BCF = 360^{\circ} $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D - 2 ∠ EBF + 2 ∠ BCF = 180^{\circ} $,
$ \therefore ∠ A + ∠ D - 2 (∠ F + ∠ BCF) + 2 ∠ BCF = 180^{\circ} $,
即 $ 2 ∠ F = ∠ A + ∠ D - 180^{\circ}, \therefore ∠ F = \dfrac{1}{2} (∠ A + ∠ D - 180^{\circ}) $.