三、解答题
10. (2024·姜堰区期末)如图,$D$,$E$,$F$ 分别是 $△ ABC$ 的边 $BC$,$CA$,$AB$ 上的点.
(1)给出下列三个论断:①$DF // AE$;②$∠ FDE = ∠ A$;③$DE // BA$.请你用其中两个论断作为条件,另一个论断作为结论,构造一个真命题,并给出证明;
条件:
(2)在(1)的条件下,若 $∠ A = ∠ BDF = 2∠ EDC$,求 $∠ AFD$ 的度数.
10. (2024·姜堰区期末)如图,$D$,$E$,$F$ 分别是 $△ ABC$ 的边 $BC$,$CA$,$AB$ 上的点.
(1)给出下列三个论断:①$DF // AE$;②$∠ FDE = ∠ A$;③$DE // BA$.请你用其中两个论断作为条件,另一个论断作为结论,构造一个真命题,并给出证明;
条件:
①②
,结论:③
.(填序号)(2)在(1)的条件下,若 $∠ A = ∠ BDF = 2∠ EDC$,求 $∠ AFD$ 的度数.
答案：10. 解：(1)条件：①②，结论：③. 证明如下：
$\because DF// AE$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$.
$\because ∠ FDE=∠ A$，
$\therefore ∠ FDE=∠ DFB$，$\therefore DE// BA$.
条件：①③，结论：②. 证明如下：
$\because DF// AE$，$DE// BA$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$，$∠ FDE=∠ DFB$，
$\therefore ∠ FDE=∠ A$.
条件：②③，结论：①. 证明如下：
$\because DE// BA$，
$\therefore ∠ FDE=∠ DFB$.
$\because ∠ FDE=∠ A$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$，$\therefore DF// AE$.
(2) $\because ∠ FDE=∠ A$，$∠ A=∠ BDF=2∠ EDC$，$∠ FDE+∠ BDF+∠ EDC=180^{\circ}$，
$\therefore ∠ A+∠ A+\frac{1}{2}∠ A=180^{\circ}$，$\therefore ∠ A=72^{\circ}$.
$\because DF// AE$，$\therefore ∠ AFD=180^{\circ}-∠ A=108^{\circ}$.
$\because DF// AE$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$.
$\because ∠ FDE=∠ A$，
$\therefore ∠ FDE=∠ DFB$，$\therefore DE// BA$.
条件：①③，结论：②. 证明如下：
$\because DF// AE$，$DE// BA$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$，$∠ FDE=∠ DFB$，
$\therefore ∠ FDE=∠ A$.
条件：②③，结论：①. 证明如下：
$\because DE// BA$，
$\therefore ∠ FDE=∠ DFB$.
$\because ∠ FDE=∠ A$，
$\therefore ∠ A=∠ DFB$，$\therefore DF// AE$.
(2) $\because ∠ FDE=∠ A$，$∠ A=∠ BDF=2∠ EDC$，$∠ FDE+∠ BDF+∠ EDC=180^{\circ}$，
$\therefore ∠ A+∠ A+\frac{1}{2}∠ A=180^{\circ}$，$\therefore ∠ A=72^{\circ}$.
$\because DF// AE$，$\therefore ∠ AFD=180^{\circ}-∠ A=108^{\circ}$.
11. 如图,点 $D$ 在 $AB$ 上,点 $E$ 在 $AC$ 上,$BE$,$CD$ 相交于点 $O$.
(1)若 $∠ A = 50^{\circ}$,$∠ BOD = 70^{\circ}$,$∠ C = 30^{\circ}$,求 $∠ B$ 的度数;
(2)试猜想 $∠ BOC$ 与 $∠ A + ∠ B + ∠ C$ 之间的关系,并证明你猜想的正确性.
(1)若 $∠ A = 50^{\circ}$,$∠ BOD = 70^{\circ}$,$∠ C = 30^{\circ}$,求 $∠ B$ 的度数;
(2)试猜想 $∠ BOC$ 与 $∠ A + ∠ B + ∠ C$ 之间的关系,并证明你猜想的正确性.
答案：11. 解：(1) $\because ∠ A=50^{\circ}$，$∠ C=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDO=∠ A+∠ C=80^{\circ}$.
$\because ∠ BOD=70^{\circ}$，
$\therefore ∠ B=180^{\circ}-∠ BDO-∠ BOD=180^{\circ}-80^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}$.
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$.
证明：$\because ∠ BEC=∠ A+∠ B$，
$\therefore ∠ BOC=∠ BEC+∠ C=∠ A+∠ B+∠ C$.
$\therefore ∠ BDO=∠ A+∠ C=80^{\circ}$.
$\because ∠ BOD=70^{\circ}$，
$\therefore ∠ B=180^{\circ}-∠ BDO-∠ BOD=180^{\circ}-80^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}$.
(2) $∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$.
证明：$\because ∠ BEC=∠ A+∠ B$，
$\therefore ∠ BOC=∠ BEC+∠ C=∠ A+∠ B+∠ C$.