一、选择题
1. (2024·惠山区期中)给出下列 4 个命题,其中真命题的个数为(
①对顶角相等;②同旁内角的两个角的平分线互相垂直;
③同旁内角相等,两直线平行;④互补的两个角中一定是一个为锐角,另一个为钝角.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1. (2024·惠山区期中)给出下列 4 个命题,其中真命题的个数为(
A
)①对顶角相等;②同旁内角的两个角的平分线互相垂直;
③同旁内角相等,两直线平行;④互补的两个角中一定是一个为锐角,另一个为钝角.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：1. A
解析：
①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行时，同旁内角的两个角的平分线互相垂直，原命题缺少条件，是假命题；
③同旁内角互补，两直线平行，原命题错误，是假命题；
④互补的两个角可能都是直角，原命题错误，是假命题。
真命题的个数为1。
A
②两直线平行时，同旁内角的两个角的平分线互相垂直，原命题缺少条件，是假命题；
③同旁内角互补，两直线平行，原命题错误，是假命题；
④互补的两个角可能都是直角，原命题错误，是假命题。
真命题的个数为1。
A
2. 举反例说明“若 $x ＞ -5$,则 $x^{2} ＞ 25$”是假命题,下列正确的是(
A.$4 ＞ -5$,而 $4^{2} ＜ 25$
B.$6 ＞ -5$,则 $6^{2} ＞ 25$
C.$7 ＞ -5$,则 $7^{2} ＞ 25$
D.$8 ＞ -5$,则 $8^{2} ＞ 25$
A
)A.$4 ＞ -5$,而 $4^{2} ＜ 25$
B.$6 ＞ -5$,则 $6^{2} ＞ 25$
C.$7 ＞ -5$,则 $7^{2} ＞ 25$
D.$8 ＞ -5$,则 $8^{2} ＞ 25$
答案：2. A
3. 如图,$AB // CD$,$∠ BAP = 60^{\circ}-α$,$∠ APC = 50^{\circ}+2α$,$∠ PCD = 30^{\circ}-α$,则 $α$ 等于(
A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
A
)A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：3. A
解析：
解：过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠APE=∠BAP=60°-α，∠CPE=∠PCD=30°-α，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴50°+2α=(60°-α)+(30°-α)，
解得α=10°。
答案：A
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠APE=∠BAP=60°-α，∠CPE=∠PCD=30°-α，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴50°+2α=(60°-α)+(30°-α)，
解得α=10°。
答案：A
4. (2024·姑苏区二模)如图,在 $△ ABC$ 中,$∠ ACB = 70^{\circ}$,$∠ ACP = ∠ PBC$,则 $∠ BPC$ 的度数为(
A.$110^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$145^{\circ}$
D.不确定
A
)A.$110^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$145^{\circ}$
D.不确定
答案：4. A
解析：
解：在$△ ABC$中，$∠ ACB = 70°$，设$∠ ACP = ∠ PBC = x$，则$∠ PCB = 70° - x$。
在$△ PBC$中，$∠ BPC = 180° - ∠ PBC - ∠ PCB = 180° - x - (70° - x) = 110°$。
A
在$△ PBC$中，$∠ BPC = 180° - ∠ PBC - ∠ PCB = 180° - x - (70° - x) = 110°$。
A
二、填空题
5. (2024·鼓楼区期中)“偶数能被 4 整除”的逆命题是
5. (2024·鼓楼区期中)“偶数能被 4 整除”的逆命题是
如果一个数能被 4 整除，那么这个数是偶数
.答案：5. 如果一个数能被 4 整除，那么这个数是偶数
6. (2024·昆山月考)将命题“对顶角相等”用“如果……,那么……”的形式改写:
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
.答案：6. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
7. 如图,直线 $l_{1} // l_{2}$,$∠ A = 85^{\circ}$,$∠ B = 70^{\circ}$,则 $∠ 1 - ∠ 2 =$
$25^{\circ}$
.答案：7. $25^{\circ}$
8. (2024·工业园区期末)如图,在五边形 $ABCDE$ 中,若去掉一个 $30^{\circ}$ 的角后得到一个六边形 $BCDEMN$,则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数为
$210^{\circ}$
.答案：8. $210^{\circ}$
解析：
解：在五边形$ABCDE$中，内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$。
因为去掉$∠ A = 30^{\circ}$后得到六边形$BCDEMN$，六边形内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
设五边形$ABCDE$中除$∠ A$外其余四个内角和为$S$，则$S + 30^{\circ}=540^{\circ}$，即$S = 510^{\circ}$。
六边形$BCDEMN$的内角和为$S + ∠ 1 + ∠ 2 = 720^{\circ}$，所以$∠ 1 + ∠ 2 = 720^{\circ}- S = 720^{\circ}- 510^{\circ}=210^{\circ}$。
$210^{\circ}$
因为去掉$∠ A = 30^{\circ}$后得到六边形$BCDEMN$，六边形内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$。
设五边形$ABCDE$中除$∠ A$外其余四个内角和为$S$，则$S + 30^{\circ}=540^{\circ}$，即$S = 510^{\circ}$。
六边形$BCDEMN$的内角和为$S + ∠ 1 + ∠ 2 = 720^{\circ}$，所以$∠ 1 + ∠ 2 = 720^{\circ}- S = 720^{\circ}- 510^{\circ}=210^{\circ}$。
$210^{\circ}$
9. 一副三角尺如图所示叠放在一起,其中点 $B$,$D$ 重合.若固定三角尺 $AOB$,改变三角尺 $ACD$ 的位置(其中点 $A$ 的位置始终不变),当 $∠ BAD =$
$150^{\circ}$或$30^{\circ}$
时,$CD // AB$.答案：9. $150^{\circ}$或$30^{\circ}$
解析：
解：当$CD// AB$时，分两种情况：
1. 如图1，$∠ BAD = 180^{\circ}-∠ C = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$；
2. 如图2，$∠ BAD=∠ C = 30^{\circ}$。
$150^{\circ}$或$30^{\circ}$
1. 如图1，$∠ BAD = 180^{\circ}-∠ C = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$；
2. 如图2，$∠ BAD=∠ C = 30^{\circ}$。
$150^{\circ}$或$30^{\circ}$