1. (2025·内江)下列计算正确的是(
A.$ x^{2} · x^{4}=x^{8} $
B.$ (x-y)^{2}=x^{2}-y^{2} $
C.$ x+2 x^{2}=3 x^{2} $
D.$ (x+2)(x-2)=x^{2}-4 $
D
)A.$ x^{2} · x^{4}=x^{8} $
B.$ (x-y)^{2}=x^{2}-y^{2} $
C.$ x+2 x^{2}=3 x^{2} $
D.$ (x+2)(x-2)=x^{2}-4 $
答案：1. D
2. 为了运用平方差公式计算$ (2 x+y+z)(y-2 x-z) $，下列变形正确的是(
A.$ [2 x-(y+z)]^{2} $
B.$ [2 x+(y+z)][2 x-(y+z)] $
C.$ [y+(2 x+z)][y-(2 x+z)] $
D.$ [z+(2 x+y)][z-(2 x+y)] $
C
)A.$ [2 x-(y+z)]^{2} $
B.$ [2 x+(y+z)][2 x-(y+z)] $
C.$ [y+(2 x+z)][y-(2 x+z)] $
D.$ [z+(2 x+y)][z-(2 x+y)] $
答案：2. C
3. 填空：(1)$ (x-\frac{1}{2} y) · \_\_\_\_\_\_ =x^{2}-\frac{1}{4} y^{2} $；(2)$ m^{2}-4 m+ \_\_\_\_\_\_ =(m- \_\_\_\_\_\_ )^{2} $。
答案：3. (1) $(x+\frac{1}{2}y)$ (2) 4 2
4. (2024·鼓楼区月考)计算：$ (1+2 a)(1-2 a)(1+4 a^{2})= $
$1 - 16a^{4}$
。答案：4. $1 - 16a^{4}$
解析：
$(1 + 2a)(1 - 2a)(1 + 4a^2)$
$=(1 - (2a)^2)(1 + 4a^2)$
$=(1 - 4a^2)(1 + 4a^2)$
$=1 - (4a^2)^2$
$=1 - 16a^4$
$=(1 - (2a)^2)(1 + 4a^2)$
$=(1 - 4a^2)(1 + 4a^2)$
$=1 - (4a^2)^2$
$=1 - 16a^4$
5. 计算：
(1)$ (x+3)(x-3)(x^{2}+9) $；
(2)$ (x-\frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})(x+\frac{1}{2}) $；
(3)$ (m-2+n)(m+2+n) $；
(4)$ (-x+2 y-3)(x+2 y-3) $。
(1)$ (x+3)(x-3)(x^{2}+9) $；
(2)$ (x-\frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})(x+\frac{1}{2}) $；
(3)$ (m-2+n)(m+2+n) $；
(4)$ (-x+2 y-3)(x+2 y-3) $。
答案：5. 解: (1) 原式 $=(x^{2}-9)(x^{2}+9)=x^{4}-81$.
(2) 原式 $=(x^{2}-\frac{1}{4})(x^{2}+\frac{1}{4})=x^{4}-\frac{1}{16}$.
(3) 原式 $=(m + n - 2)(m + n + 2)=(m + n)^{2}-2^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}-4$.
(4) 原式 $=(2y - 3)^{2}-x^{2}=4y^{2}-12y + 9 - x^{2}$.
(2) 原式 $=(x^{2}-\frac{1}{4})(x^{2}+\frac{1}{4})=x^{4}-\frac{1}{16}$.
(3) 原式 $=(m + n - 2)(m + n + 2)=(m + n)^{2}-2^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}-4$.
(4) 原式 $=(2y - 3)^{2}-x^{2}=4y^{2}-12y + 9 - x^{2}$.
6. (2024·张家港期中)小妍将$ (2022 x+2023)^{2} $展开后得到$ a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1} $；小磊将$ (2023 x-2022)^{2} $展开后得到$ a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2} $，若两人计算过程无误，则$ c_{1}-c_{2} $的值为(
A.4045
B.2023
C.2022
D.1
A
)A.4045
B.2023
C.2022
D.1
答案：6. A
解析：
$(2022x + 2023)^2 = 2022^2x^2 + 2×2022×2023x + 2023^2$，故$c_1 = 2023^2$；
$(2023x - 2022)^2 = 2023^2x^2 - 2×2023×2022x + 2022^2$，故$c_2 = 2022^2$；
$c_1 - c_2 = 2023^2 - 2022^2 = (2023 - 2022)(2023 + 2022) = 1×4045 = 4045$。
A
$(2023x - 2022)^2 = 2023^2x^2 - 2×2023×2022x + 2022^2$，故$c_2 = 2022^2$；
$c_1 - c_2 = 2023^2 - 2022^2 = (2023 - 2022)(2023 + 2022) = 1×4045 = 4045$。
A
7. 4 张长为$ m $，宽为$ n $的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为$ (m+n) $的正方形，图中空白部分的面积为$ S_{1} $，阴影部分的面积为$ S_{2} $，若$ 3 S_{1}=2 S_{2} $，则$ m $，$ n $满足的关系是(
A.$ m=4.5 n $
B.$ m=4 n $
C.$ m=3.5 n $
D.$ m=3 n $
B
)A.$ m=4.5 n $
B.$ m=4 n $
C.$ m=3.5 n $
D.$ m=3 n $
答案：7. B
解析：
【解析】
首先计算$S_{1}$：
$S_{1}=\frac{1}{2}n(m + n)×2+\frac{1}{2}mn×2=n(m + n)+mn=mn + n^{2}+mn=2mn + n^{2}$
然后计算$S_{2}$：
$S_{2}=(m + n)^{2}-S_{1}=(m + n)^{2}-(2mn + n^{2})=m^{2}+2mn + n^{2}-2mn - n^{2}=m^{2}$
已知$3S_{1}=2S_{2}$，即$3(2mn + n^{2})=2m^{2}$
展开得$6mn + 3n^{2}=2m^{2}$
移项化为$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=0$，两边同时除以$n^{2}$（$n≠0$），设$\frac{m}{n}=x$，则$2x^{2}-6x - 3 = 0$
由求根公式$x=\frac{6\pm\sqrt{36+24}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
又因为$m,n$为长方形边长，$m,n＞0$，对$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=0$因式分解得$(2m + n)(m - 4n)=0$（可通过十字相乘法，$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=2m^{2}-8mn+2mn - 3n^{2}=2m(m - 4n)+n(2m - 3n)$，调整系数得到$(2m + n)(m - 4n)=0$）
解得$m = 4n$或$m=-\frac{1}{2}n$（边长不能为负舍去）
【答案】
$m = 4n$，选B
【知识点】
图形面积计算、方程求解、因式分解
【点评】
本题通过图形面积关系建立方程求解，考查对图形的观察分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.3
首先计算$S_{1}$：
$S_{1}=\frac{1}{2}n(m + n)×2+\frac{1}{2}mn×2=n(m + n)+mn=mn + n^{2}+mn=2mn + n^{2}$
然后计算$S_{2}$：
$S_{2}=(m + n)^{2}-S_{1}=(m + n)^{2}-(2mn + n^{2})=m^{2}+2mn + n^{2}-2mn - n^{2}=m^{2}$
已知$3S_{1}=2S_{2}$，即$3(2mn + n^{2})=2m^{2}$
展开得$6mn + 3n^{2}=2m^{2}$
移项化为$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=0$，两边同时除以$n^{2}$（$n≠0$），设$\frac{m}{n}=x$，则$2x^{2}-6x - 3 = 0$
由求根公式$x=\frac{6\pm\sqrt{36+24}}{4}=\frac{6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
又因为$m,n$为长方形边长，$m,n＞0$，对$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=0$因式分解得$(2m + n)(m - 4n)=0$（可通过十字相乘法，$2m^{2}-6mn - 3n^{2}=2m^{2}-8mn+2mn - 3n^{2}=2m(m - 4n)+n(2m - 3n)$，调整系数得到$(2m + n)(m - 4n)=0$）
解得$m = 4n$或$m=-\frac{1}{2}n$（边长不能为负舍去）
【答案】
$m = 4n$，选B
【知识点】
图形面积计算、方程求解、因式分解
【点评】
本题通过图形面积关系建立方程求解，考查对图形的观察分析和代数运算能力。
【难度系数】
0.3
8. (2025·成都)多项式$ 4 x^{2}+1 $加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是
$4x$
。(填一个即可)答案：8. $4x$ (答案不唯一)
9.(2024·吴中区月考)将4个数$a,b,c,d$排成2行2列,两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$,定义
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\1 - x&x + 1\end{vmatrix}=6$,则$x^{2}=$____.
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\1 - x&x + 1\end{vmatrix}=6$,则$x^{2}=$____.
答案：9. 2
10. 如果$ (2 a+2 b-3)(2 a+2 b+3)=40 $，那么$ a+b= $
$\pm\frac{7}{2}$
。答案：10. $\pm\frac{7}{2}$
解析：
设$x = 2a + 2b$，则原方程可化为$(x - 3)(x + 3) = 40$。
展开得$x^2 - 9 = 40$，即$x^2 = 49$，解得$x = \pm7$。
因为$x = 2(a + b)$，所以$2(a + b) = \pm7$，则$a + b = \pm\frac{7}{2}$。
$\pm\frac{7}{2}$
展开得$x^2 - 9 = 40$，即$x^2 = 49$，解得$x = \pm7$。
因为$x = 2(a + b)$，所以$2(a + b) = \pm7$，则$a + b = \pm\frac{7}{2}$。
$\pm\frac{7}{2}$