12. (2024·秦淮区月考)请用两种方法推导公式“$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（$m$，$n$是正整数）”.
答案：12. 解: 方法一: $ (a^{m})^{n} = \underbrace{a^{m} · a^{m} · ··· · a^{m}}_{n 个} = a^{\underbrace{m + m + ··· + m}_{n 个}} = a^{nm} $;
方法二: $ (a^{m})^{n} = \underbrace{(a · a · a · ··· · a)}_{m 个}^{n} = \underbrace{a^{n} · a^{n} · a^{n} · ··· · a^{n}}_{m 个} = a^{nm} $.
方法二: $ (a^{m})^{n} = \underbrace{(a · a · a · ··· · a)}_{m 个}^{n} = \underbrace{a^{n} · a^{n} · a^{n} · ··· · a^{n}}_{m 个} = a^{nm} $.
13. (1)(2024·高新区期中)已知$2^{m}=a$，$2^{n}=b$，$m$，$n$为正整数，用含$a$，$b$的代数式表示$2^{2m + 3n}$；
(2)已知$n$为正整数，且$x^{2n}=4$，求$(x^{3n})^{2}-2(x^{2})^{2n}$的值.
(2)已知$n$为正整数，且$x^{2n}=4$，求$(x^{3n})^{2}-2(x^{2})^{2n}$的值.
答案：13. 解: (1) 因为 $ m $, $ n $ 为正整数, $ 2^{m} = a $, $ 2^{n} = b $, 所以 $ 2^{2m + 3n} = 2^{2m} · 2^{3n} = (2^{m})^{2} · (2^{n})^{3} = a^{2}b^{3} $.
(2) 原式 $ = (x^{2n})^{3} - 2(x^{2n})^{2} = 4^{3} - 2 × 4^{2} = 32 $.
(2) 原式 $ = (x^{2n})^{3} - 2(x^{2n})^{2} = 4^{3} - 2 × 4^{2} = 32 $.
14. (1)已知$4^{2x}=2^{3x - 1}$，求$x$的值；
(2)已知$3·2^{x}+2^{x + 1}=40$，求$x$的值.
(2)已知$3·2^{x}+2^{x + 1}=40$，求$x$的值.
答案：14. 解: (1) 因为 $ 4^{2x} = 2^{3x - 1} $, 所以 $ 2^{4x} = 2^{3x - 1} $, 所以 $ 4x = 3x - 1 $, 解得 $ x = -1 $.
(2) 因为 $ 3 · 2^{x} + 2^{x + 1} = 40 $, 所以 $ 3 · 2^{x} + 2 · 2^{x} = 40 $, 所以 $ 5 · 2^{x} = 40 $, 所以 $ 2^{x} = 8 $, 解得 $ x = 3 $.
(2) 因为 $ 3 · 2^{x} + 2^{x + 1} = 40 $, 所以 $ 3 · 2^{x} + 2 · 2^{x} = 40 $, 所以 $ 5 · 2^{x} = 40 $, 所以 $ 2^{x} = 8 $, 解得 $ x = 3 $.
15. 阅读下列解题过程：
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：因为$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，而$16 ＜ 27$，所以$2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题思路，解答问题：比较$2^{55}$，$3^{44}$，$4^{33}$的大小.（用“$＜$”连接）
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解：因为$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，而$16 ＜ 27$，所以$2^{100}＜3^{75}$.
请根据上述解题思路，解答问题：比较$2^{55}$，$3^{44}$，$4^{33}$的大小.（用“$＜$”连接）
答案：15. 解: 因为 $ 2^{55} = (2^{5})^{11} = 32^{11} $, $ 3^{44} = (3^{4})^{11} = 81^{11} $, $ 4^{33} = (4^{3})^{11} = 64^{11} $, 而 $ 32 ＜ 64 ＜ 81 $, 所以 $ 2^{55} ＜ 4^{33} ＜ 3^{44} $.