8. (2024·宿迁月考)已知方程$(k^{2} - 4)x^{2} + (2k - 4)x + (k + 3)y + 3k = 0$，若此方程为关于 $x,y$ 的二元一次方程，则 $k$ 的值为
-2
.答案：8. -2
解析：
要使方程$(k^{2} - 4)x^{2} + (2k - 4)x + (k + 3)y + 3k = 0$为关于$x$，$y$的二元一次方程，需满足：
1. 二次项系数为$0$：$k^{2}-4=0$，解得$k=\pm2$；
2. $x$的一次项系数不为$0$：$2k - 4≠0$，即$k≠2$；
3. $y$的系数不为$0$：$k + 3≠0$，即$k≠-3$。
综上，$k=-2$。
-2
1. 二次项系数为$0$：$k^{2}-4=0$，解得$k=\pm2$；
2. $x$的一次项系数不为$0$：$2k - 4≠0$，即$k≠2$；
3. $y$的系数不为$0$：$k + 3≠0$，即$k≠-3$。
综上，$k=-2$。
-2
9. (2024·常熟期末)已知$\begin{cases}x = 1,\\y = - 2\end{cases}$是关于 $x,y$ 的二元一次方程 $ax + by = 1$ 的解，则 $a^{2} - 4b^{2} - 4b + 5 =$ ______ .
答案：9. 6
解析：
因为$\begin{cases}x = 1\\y = - 2\end{cases}$是方程$ax + by = 1$的解，所以将$x = 1$，$y=-2$代入方程得：$a×1 + b×(-2)=1$，即$a - 2b=1$。
$a^{2}-4b^{2}-4b + 5=(a - 2b)(a + 2b)-4b + 5$，把$a - 2b = 1$代入得：$1×(a + 2b)-4b + 5=a + 2b-4b + 5=a - 2b + 5$，再代入$a - 2b = 1$，得$1 + 5=6$。
6
$a^{2}-4b^{2}-4b + 5=(a - 2b)(a + 2b)-4b + 5$，把$a - 2b = 1$代入得：$1×(a + 2b)-4b + 5=a + 2b-4b + 5=a - 2b + 5$，再代入$a - 2b = 1$，得$1 + 5=6$。
6
10. 已知 $2x^{2a - 5} + 3y^{b - 3} = 14$ 是一个二元一次方程.
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)用含 $x$ 的式子表示 $y$；
(3)直接写出满足(2)的所有 $x,y$ 的正整数解.
(1)求 $a,b$ 的值；
(2)用含 $x$ 的式子表示 $y$；
(3)直接写出满足(2)的所有 $x,y$ 的正整数解.
答案：10. 解：(1) 根据题意，得 $2a - 5 = 1$，$b - 3 = 1$，所以 $a = 3$，$b = 4$。
(2) 方程为 $2x + 3y = 14$，则 $y = \frac{14 - 2x}{3}$。
(3) 方程的正整数解为 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 4, \end{cases}$ $\begin{cases} x = 4, \\ y = 2. \end{cases}$
(2) 方程为 $2x + 3y = 14$，则 $y = \frac{14 - 2x}{3}$。
(3) 方程的正整数解为 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 4, \end{cases}$ $\begin{cases} x = 4, \\ y = 2. \end{cases}$
11. 2025 年江苏城市足球联赛引起了全国人民的关注，每场比赛都很精彩. 某球迷协会组织 36 名球迷欲租乘汽车赴比赛场地，为足球队呐喊助威. 可租用的汽车有 8 座和 4 座两种. 要求租用的车不留空座，也不超载.
(1)请你写出满足条件的租车方案；
(2)若 8 座汽车的租金是 300 元/天，4 座汽车的租金是 200 元/天，请你设计费用最少的租车方案.
(1)请你写出满足条件的租车方案；
(2)若 8 座汽车的租金是 300 元/天，4 座汽车的租金是 200 元/天，请你设计费用最少的租车方案.
答案：11. 解：(1) 设 8 座汽车租 $x$ 辆，4 座汽车租 $y$ 辆，则 $8x + 4y = 36$，即 $2x + y = 9$。
因为 $x$，$y$ 必须都为非负整数，
所以 $x$ 可取 0，1，2，3，4，
则 $y$ 的对应值分别为 9，7，5，3，1。
因此租车方案有五种：
①8 座汽车租 0 辆，4 座汽车租 9 辆；②8 座汽车租 1 辆，4 座汽车租 7 辆；③8 座汽车租 2 辆，4 座汽车租 5 辆；④8 座汽车租 3 辆，4 座汽车租 3 辆；⑤8 座汽车租 4 辆，4 座汽车租 1 辆。
(2) 因为 8 座汽车人均日租金相对较少，
所以要使费用最少，需尽量多租 8 座汽车，
所以费用最少的租车方案为 8 座汽车租 4 辆，4 座汽车租 1 辆。
因为 $x$，$y$ 必须都为非负整数，
所以 $x$ 可取 0，1，2，3，4，
则 $y$ 的对应值分别为 9，7，5，3，1。
因此租车方案有五种：
①8 座汽车租 0 辆，4 座汽车租 9 辆；②8 座汽车租 1 辆，4 座汽车租 7 辆；③8 座汽车租 2 辆，4 座汽车租 5 辆；④8 座汽车租 3 辆，4 座汽车租 3 辆；⑤8 座汽车租 4 辆，4 座汽车租 1 辆。
(2) 因为 8 座汽车人均日租金相对较少，
所以要使费用最少，需尽量多租 8 座汽车，
所以费用最少的租车方案为 8 座汽车租 4 辆，4 座汽车租 1 辆。
12. 把形如 $y = ax + b$（其中 $a,b$ 是常数，$x,y$ 是未知数）的方程称为“雅系二元一次方程”. 当 $y = x$ 时，“雅系二元一次方程”$y = ax + b$ 中 $x$ 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”. 例如，当 $y = x$ 时，“雅系二元一次方程”$y = 3x - 4$ 化为 $x = 3x - 4$，其“完美值”为 $x = 2$.
(1)求“雅系二元一次方程”$y = - 5x + 6$ 的“完美值”；
(2)$x = 3$ 是“雅系二元一次方程”$y = 3x + m$ 的“完美值”，求 $m$ 的值；
(3)“雅系二元一次方程”$y = kx + 1(k ≠ 0,k$ 是常数)存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”；若不存在，请说明理由.
(1)求“雅系二元一次方程”$y = - 5x + 6$ 的“完美值”；
(2)$x = 3$ 是“雅系二元一次方程”$y = 3x + m$ 的“完美值”，求 $m$ 的值；
(3)“雅系二元一次方程”$y = kx + 1(k ≠ 0,k$ 是常数)存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”；若不存在，请说明理由.
答案：12. 解：(1) 由题意，得 $x = -5x + 6$，解得 $x = 1$，则“雅系二元一次方程”$y = -5x + 6$ 的“完美值”为 $x = 1$。
(2) 由题意，得 $3 = 3×3 + m$，解得 $m = -6$。
(3) 若“雅系二元一次方程”$y = kx + 1$（$k ≠ 0$，$k$ 是常数）存在“完美值”，则有 $x = kx + 1$，则 $(1 - k)x = 1$。
当 $k = 1$ 时，不存在“完美值”；当 $k ≠ 1$，$k ≠ 0$ 时，存在“完美值”为 $x = \frac{1}{1 - k}$。
(2) 由题意，得 $3 = 3×3 + m$，解得 $m = -6$。
(3) 若“雅系二元一次方程”$y = kx + 1$（$k ≠ 0$，$k$ 是常数）存在“完美值”，则有 $x = kx + 1$，则 $(1 - k)x = 1$。
当 $k = 1$ 时，不存在“完美值”；当 $k ≠ 1$，$k ≠ 0$ 时，存在“完美值”为 $x = \frac{1}{1 - k}$。